凸函数的等价定义及几何特征

沈阳工程学院学报(自然科学版)

JournalofShenyangInstituteofEngineering(NaturalScience)

Vol15No13Ju.l2009

凸函数的等价定义及几何特征

岳贵鑫

(辽宁省交通高等专科学校人事处,沈阳110122)

摘 要:从凸函数的基本概念出发,在此基础上引申出了凸函数的等价定义,并通过例题说明了凸函数的定义及等价定义在证明不等式中的应用.讨论了凸函数几何特征,并以实际算例介绍了凸函数的几何性质的应用,对凸函数研究有一定的应用价值.

关键词:凸函数;等价定义;几何特征

中图分类号:O17413 文献标识码:

A 文章编号:1673-1603(2009)03-0298-03

a+b2 凸函数是一类重要的函数,在数学的各个方面都有着重要的应用.这里从凸函数的定义出发,讨论凸函数的等价定义和几何特征,并在此基础上给出其应用.

即满足e

[

1ab

(e+e).于是不等式成立.2

x

在利用凸函数定义证明不等式时,关键是要找到合适的辅助函数(曲线)y=f(x),如例1中的y=e在xI(-],+]),yI(-],+])时,再利用凸函数

1 凸函数的定义

定义1(凸函数的定义)

[1]

设y=f(x)为定义在

的定义,设出合适的x1、x2、K,如例1中的x1=a,x2=b,K=

1,这样就可以直接得出所求证的不等式,当然x1、2

区间I上的函数,若对I上的任意2点x1,x2和PKI(0,1)总有

f(Kx1+(1-K)x2)[Kf(x1)+(1-K)f(x2)则称f(x)为区间I上的凸函数.反之如果总成立

f(Kx1+(1-K)x2)\\Kf(x1)+(1-K)f(x2)

(2)

则称f(x)为区间I上的凹函数.如果将式(1)、(2)中的不等式改为严格不等式

f(Kx1+(1-K)x2)Kf(x1)+(1-K)f(x2)则相应的称为严格凸函数和严格凹函数.例1 利用凸函数的定义证明不等式

1ab(e+e)2x

证明 设y=e,根据定义1,经验证后得出函数

e

a+b

2

(1)

x2、K也可以取不同的值也能得出所要求证的不等式.

2 凸函数的等价定义

定义2(凸函数的等价定义)定义,Px1f(x2)-f(x1)f(x3)-f(x1)f(x3)-f(x2)

[[

x2-x1x3-x1x3-x2

成立,则称f(x)为凸函数.

定义3(凸函数的等价定义)定义,Px11x11x21x3

成立,则称f(x)为凸函数.

例2 利用凸函数的等价定义证明不等式

e

a+b

2

[2]

设f(x)在I上有

[2]

设f(x)在I上有

[

f(x1)f(x2)\\0f(x3)

y=e在xI(-],+])时为yI(-],+])上的凸函数.

1根据定义1,可令x1=a,x2=b,K=.有

2a+b11 y()=y(a+(1-)b)[

222

11

y(a)+(1-)y(b)22

收稿日期:2008-09-21

作者简介:岳贵鑫(1968-),男(满族),辽宁鞍山人,副教授,硕士.

x

[

x

1ab

(e+e)2

证明 如例1,y=e在xI(-],+])时为yI(-],+])上的凸函数.令

第3期

岳贵鑫:凸函数的等价定义及几何特征

x1=a,x2=

x

#299 #

a+b

,x3=b2

践中去发掘.

因y=e在xI(-],+])时为yI(-],+])上的凸函数,由定义2可知:取

f(x2)-f(x1)f(x3)-f(x1)

[

x2-x1x3-x1

于是有

e-ee-e[

a+bb-a

-a2

整理可得

e于是有

e

结论得证.

也可以运用定义3来证明.证明 令

a+b,x3=b2

由定义3,则f(x)为凸函数可知

x1=a,x2=1x11x21x3

其等价于

1

a

ee

a

a+b2a+b2

a+b23 凸函数的几何特征

为了便于使用,通常把定义1改写成如下等价形式,设K,K,有K,(K1=K2=1K1+K2=11,K2I(0,1)),则定义1可以改写成如下形式:

f(K1x1+K2x2)[K1f(x1)+K2(x2)

如图1所示,设A1、A2是凸函数y=f(x)曲线上的2个点,它们对应的横坐标x10,K1+K2=11x1+K2x2,过点x作ox轴的垂线交函数于A,交A1、A2于B,则式子x=K1x1+K2x2左端即为A点纵坐标,右端即为B点纵坐标.因此,凸函数的几何意义就是:其函数曲线任意2点A1与A2之间的部分位于弦A1A2的下方或曲线在任一点切线上方.

aba

1ba

-e[(e-e)

2

a

1ba[(e+e)2

f(x1)f(x2)\\0,f(x3)

图1 凸函数的几何性质

1a+b2

a+b2 根据以上几何特征,下面推导一个关于凸函数的

\\0

直接不等式

[3]

.

1be

故将行列式的第1行乘以加到第2行和第3行,可得到下面的行列式:

1ab-a1

21b-a

打开整理

a+b

b-abaa

(e-e)-(b-a)(e2-e)\\02

b

设y=f(x)为函数,A1A2为f(x)上的任一弦,设A1(x1,f(x1)),A2(x2,f(x2))不妨设x1f(x2)-f(x1)

(x-x1),xI(x1,x2)

x2-x1

ee

a+b2a

a

y=f(x1)+

-e\\0

a

从而由上所述凸函数的几何性质,有f(x1)+

f(x2)-f(x1)

(x-x1)[f(x),xI(x1,x2)

x2-x1

e-e

b

于是有下面定理.

定理1 凸函数的几何不等式f(x1)+

f(x2)-f(x1)

(x-x1)[f(x) xI(x1,x2)

x2-x1

n

n

所以

e

结论得证.

当然还有凸函数的其他等价定义,这有待于在实

a+b2

[

1ab(e+e)2

a+bna+b例3 证明不等式()[,a,b>0.

22证明 取y=f(x)=x,x>0,则f(x)为凸函数,

n

##300

沈阳工程学院学报(自然科学版)

第5卷

由凸函数的几何不等式有

f(x)bnan

)+()

1nana+ba+b1a()<()+(-)2a+bba2a+b

-a+ba+b

(

化简后得

(

a+bn1nn

)[(a+b)22

f(x2)-f(x1)

(x-x1)

x2-x1

综合以上可知,利用凸函数定义及几何特性证明不等式,关键是要根据所证不等式,选取相关的函数及适当的x1、x2,此法虽具有一定的构造性,但证明的过程却相对简洁.参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].3版.北京:高等教

育出版社,2003.

[2]白景华.凸函数的性质、等价定义及应用[J].开封大学学

报,2003,17(2).

[3]刘玉莲.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,

2003.

ab11,x2=,x=(x1+x2)=a+ba+b22

Theequivalentdefinitionandgeometriccharacteristicsofconvexfunction

YUEGu-ixin

(LiaoningProvincialCollegeofCommunications,Shenyang110122,China)

Abstract:Startingfromthebasicdefinitionofconvexfunction,thisarticleextendstheequivalentdefinitionofconvexfunction.Theapplicationofconvexfunctiondefinitionanditsequivalentdefinitioninprovinginequalityareexplained

byexamples.Atthesametime,thegeometriccharacteristicsofconvexfunctionarediscussed,theapplicationareintro-ducedthroughexamples.Ithassomevalueinconvexfunctionresearch.

Keywords:convexfunction;equivalentdefinitionofconvexfunction;geometricfeatures(上接第218页)

Discussiononthefourfansofultrasupercriticalboiler

YINJun,YINMin-quan,GONGYan-jun

1a

1b

2

(1a.OperationDepartmen;t1b.ProductionTechnologyOffice,ShandongZouxianPowerPlan,tZoucheng273522,China;

2.DadongBranchBureauofShenyangEnvironmentalProtectionBureau,Shenyang110042,China)

Abstract:Now,thepowerindustryisrapidlydeveloping,newunitscontinuouslygointoproduction,andmoreandmoreplantsselectboilerswithlargecapacityandhighparameter.Withtheaddingofauxiliarymechanicalparametersmatchingwithboiler,thetechnologyrequireshigherandhigher.Furthermore,newnationalenvironmentalprotectionispublishedandimproved.Notonlythenewlybuiltunitsarerequiredtoputintoproduceatthesametime,butalsotheoldunitsarerequiredtooadddesulfurizationanddenitrificationequipmen.tSothenumberofboilerfansbecomesfourfromtwo.Becausethestructure,principleandfunctionsoffansaredifferen,ttheefficienciesaredifferen.tAimingatallkindsoffansinstalledinzouxianpowerplan,tsomeproblemsofoperation,maintenance,manufacturingandinsta-llingareanalyzedanddiscussed.Suggestionsareproposed,thisprovidesomereferenceforfansselectionandequip-mentsmanagemen.t

Keywords:boiler;kindsoffans;efficiencyanalysis;equipmentmanagement