二次函数与几何图形面积

专题3: 二次函数中的面积计算问题

例1. 如图，二次函数

图象与

轴交于A,B两点(A在B的左边)，与

轴交于点C，顶点为M ，

为直角三角形, 图象的对称轴为直线

，点

是抛物线上位于

两点之间的一个动点，则的面积的最大值为（ ）

A．

B．

C．

D．

练习：1、如图，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．

例2.如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.

（1）求抛物线和直线AB的解析式；

（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ；

（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB＝

S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

练习：2、如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（点A转到点C的位置），抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)经过C、D、B三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为P，求△PAB的面积；

（3）抛物线上是否存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

练习：3、如图1，抛物线y＝x 2－2x＋k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－3）．（图2、图3为解答备用图）

（1）k＝_____________，点A的坐标为_____________，点B的坐标为_____________；

（2）设抛物线y＝x 2－2x＋k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

练习：4、已知二次函数y＝x 2＋ax＋a－2．

（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；

（2）设a ＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为

时，求出此二次函数的解析式；

（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为

？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．