从正焦弦看圆锥曲线

西松高中 蘇惠玉老師

現行高中數學在「圓錐曲線」的單元教材方面，在「南一版」的教科書中，以平面與圓錐的截痕引入拋物線、橢圓、雙曲線的名稱，再各別以作圖方式先畫出曲線，想以不同於截痕的方式來作出曲線，再給出「定義」，然後藉由坐標系導出方程式，從方程式中看出或驗證出相配合的幾何性質。而「龍騰版」的教科書，則是從過去的生活或學習經驗中找出這樣的曲線，再給出定義，至於平面與圓錐的截痕則是安排在最後。不管是「南一版」或「龍騰版」，我想「讀者」或學生一定會有這樣的疑惑：圓錐截痕真是課本所定義的拋物線、橢圓或是雙曲線嗎？圓錐截痕與課本的定義到底有何關係？圓錐曲線的正焦弦到底有何用處？本文的重點在於我想要在圓錐截痕與課本的焦點定義方式間，做一座橋樑來連結，讓「圓錐截痕」的幾何思維方式，與課本的解析幾何式的代數思維有一個較好的聯結，這一個連結點就是阿波羅尼斯的正焦弦。

在現行高中教材中，對圓錐曲線的定義以焦點來著手，拋物線為「到焦點與到準線的距離相等」，橢圓為「到兩焦點距離和等於一定值」，雙曲線為「到兩焦點的距離差等於一定值」，利用這樣的定義方式，能夠很容易導出這三個圓錐曲線的代數方程式。在教學過程中，老師也常常會以例子提供另一種定義方式，以到準線與到焦點的距離為主，即d(P, F)ed(P, L)，當e＝1時為拋物線，當e<1時為橢圓線，當e>1時為雙曲線，e稱為離心率；在橢圓與雙曲線中，e亦可定義為兩焦點之距離與長（貫）軸的比值。

若我們從定義方式所得到的代數式來看，無論是焦點定義或是離心率的定義

x2y2方式，得到的拋物線方程式為y4cx，橢圓為221，雙曲線為

ab2x2y21。從代數方程式的表徵來看，方程式與幾何圖形之間，甚至是與「圓a2b2錐曲線」名稱的關連，都讓人感覺無從著手，一片茫然。從「圓錐截痕」的角度

來看，一平面與一圓錐相交時，若平面稍微傾斜不與對稱軸垂直，截痕為橢圓；若平面與圓錐的一條母線平行，截痕稱為拋物線；平面的傾斜度再加大，與圓錐的兩錐面都相交，截痕為雙曲線。教科書中的定義方式，或其得到的代數方程式，都與圓錐截痕沒有直接的關係。我們若要將「圓錐截痕」與「焦點定義方式」做一等價連結，大部分都是利用A. Quetelet與G. Dandelin於19世紀中所給出的一個定理：橢圓（截痕）即是平面上到兩固定點距離和為定值的點所成的軌跡。證明在平面與圓錐的截痕（此為橢圓）上下各塞一個球，其與平面相切的地方即為橢圓的焦點，再證明橢圓截痕上的任一點到此兩切點（即為焦點）的距離和為一定值即可。

若我們從史料的觀點來看「圓錐截痕」，一般認為古希臘數學家對圓錐曲線的興趣來自於「三大作圖題」中的「倍立方」問題，倍立方問題即為如何一個正

立方體的體積加倍，而且維持同樣為正立方體；換句話說，即是將一個邊長為a的正立方體體積加倍，要作出一新的正立方體之邊長x，滿足x32a3。在只能利用尺規作圖的限制下，這個問題當然沒有辦法解決；若沒有這個限制，這個問題被希波克拉提斯歸結為作出兩線段長a與2a的兩個連續比例中項。也就是說，要作出兩線段x, y滿足

axy xy2ax即為所要求的新正立方體的邊長。

希波克拉提斯的發現並沒有解決倍立方的問題，只是將問題轉換成另一形式而已。但是如何作出兩個比例中項x與y呢？Menaechmus(約350B.C.)引入新的曲線，即圓錐曲線來解決這個問題： 將連比例式拆成兩個等式：

yaxxy及，從此，可得方程式x2ay（或是

y2axy1212x）y），及y22ax（或是x。從這裡，我們可以看出拋物線的正焦a2a弦所代表的一個幾何意義，即是拋物線上一點的y座標（或x座標）為x座標（或y座標）與正焦弦的等比中項(幾何平均數)，但是，同樣是圓錐截痕的橢圓與雙曲線的正焦弦呢？正焦弦在圓錐截痕與方程式中的地位到底為何？阿波羅尼斯在他的《錐線論(Conics)》中給了我們清楚且完整的正焦弦的意涵。

阿波羅尼斯 (Apollonius of Perga, 約262B. C. ~ 約190B. C.) 的《錐線論》共八卷，其中第七卷已失傳。前四卷為基礎部分，後四卷為拓廣的內容。第一卷為這三個曲線的一般性質；第二卷為直徑(diameters)、軸和漸近線的性質；第三卷中含有現今所知的焦點性質。阿波羅尼斯在第一卷中，即先定義何謂「圓錐」，以及「直徑」： Of any curved line which is in one plane I call that straight line the diameter

which, drawn from the curved line, bisects all straight lines drawn to this curved line parallel to some straight line; ……

亦即，直徑為過一組平行弦中點的線段，其端點在曲線上。 阿波羅尼斯在卷一的第11、12、13命題，引入何謂拋物線、雙曲線與橢圓。他從過圓錐中心軸的縱切面來討論（即下面各圖中的三角形

ABC，BC圓為底圓）：

設有一圓錐，頂點為A，底為圓BC。令其被過軸的平

面所截成的三角形為ABC [I. 3]。又圓錐被另一與底交於直線DE的平面所截，DE與線段BC垂直。設這樣在圓錐表面形成的截痕為DFE，其直徑為FG [I. 7 and def. 4]，平行於軸三角形的一邊AC。又設過F點作直線FH垂直於直線FG，並且使它按比例：正方形BC : 矩形BA, AC:: FH : FA作出。

在截線上任取點K，過K作直線KL平行DE。

我認為正方形KL＝矩形HF, FL。1

這樣的截痕DFE，阿波羅尼斯稱為「拋物線」：And let such a section be called a parabola。

此命題的結論，若以直角座標系的角度來看，任一點K的縱座標（y座標）為KL，橫座標（x座標）為LF，即可得方程式y2px，此處p＝HF，即一般所稱的「參量」 (parameter)或是「正焦弦」(latus rectum)。

他在命題12中引入何謂雙曲線：

設有一圓錐，頂點為A，底為圓BC。令其被過軸的平面所截成的三角形為ABC [I. 3]。又圓錐被另一與底交於直線DE的平面所截，DE與線段BC垂直。設這樣在圓錐表面形成的截痕為DFE，其直徑為FG [I. 7 and def. 4]，延長FG與AC，交於圓錐頂點外一點H。直線AK為過A點平行直徑FG，交BC於K點。從F作FG的垂直線FL，使得 正方形KA : 矩形BK, KC : : FH : FL 在截線上任取點M，過M作直線MN平行DE。過N作直線NOX平行FL，連接HL，延長至X，連直線LO，XP平行FN。

我認為正方形MN＝平行四邊行FX，其正方形貼合 (applied to) 到FL，以FN為寬度，並超過一個圖形LX，相似於矩形HF, FL。2

他稱這樣的截痕DFE為「雙曲線」：And let such a section be called an hyperbola。

此命題的結論，若以直角座標系的角度來看，任一點M的縱座標（y座標）為MN，橫座標（x座標）為FN，即可得方程式y2px同樣為「正焦弦」(latus rectum)，2a=HF，為貫軸長。

在命題13中：

設有一圓錐，頂點為A，底為圓BC。令其被過軸的平面所截成的三角形為ABC。又圓錐被另一平面所截，此平面一方面與軸三角形交於兩邊，另一方面，延長後既不平行圓錐的底也不相反 (subcontrariwise)，DE為此平面與軸三角形在圓錐表面的交點。截平面與圓錐的底所在之平面的交線為FG，垂直線段BC，ED為截痕的直徑 [I. 7 and Def. 4]。過E作直線EH垂直ED，過A作直線AK平行ED，滿足

正方形AK：矩形BK, KC : : DE：EH 在截線上任取點L，過L作直線LM平

pxx，此處p＝FL，2a行FG。

我認為正方形LM等於某一面積，其貼合 (applied to) 到EH，以EM為寬度，並缺乏一個圖形，相似於矩形DE, EH。3

他稱這樣的截痕為「橢圓」：And let such a section be called an ellipse。

此命題的結論，若以直角座標系的角度來看，任一點L的縱座標（y座標）為LM，橫座標（x座標）為EM，即可得方程式y2px同樣為「正焦弦」(latus rectum)，2a=ED，為長軸長。

阿波羅尼斯在命題11證明完畢之後，寫道：

And let such a section be called a parabola, and let HF be called the straight line to which the straight lines drawn ordinatewise to the diameter FG are applied in square and let it also be called the upright side (óρθíα).

在將阿波羅尼斯所使用的文字翻譯成英文時，所使用的「參量」（parameter），例如卷一命題11中的FH，命題12中的FL以及命題13中的EH，原是 “the straight lines drawn ordinatewise to the diameter are applied in square”，亦即「沿直徑的縱座標所做的直線，都以正方形貼合到其上的直線」。在《錐線論》這本書的後段，這一段話翻譯簡化成「the parameter of the ordinatewise to the diameter」。如拋物線 (parabola) 時，KL上的正方形面積等於以FL為一邊，貼合到HF上的長方形面積（貼合意即矩形的另一邊與HF重合）。雙曲線 (hyperbola)時，MN上的正方形面積等於以FN為一邊，貼合到FL（正焦弦）上的長方形再超出一個長方形的面積。橢圓 (ellipse)時，LM上的正方形面積，等於以EM（正焦弦）為一邊，貼合到EH的長方形再缺少一個長方形的面積。

在阿波羅尼斯命名parabola., hyperbola, ellipse時，即是利用圓錐截痕上一正方形與正焦弦為一邊的長方形面積作比較，相等、大於或是小於來命名。事實上，這種「面積貼合」的方式，來自於畢達哥拉斯學派的「application of areas」的方法，畢達哥拉斯或其學派的人，將二次方程式的解（一個幾何量的解）與一已知線段的長度作比較時，以下三種情形有一種會發生：短於 (fall short)、超過 (exceed) 或是當好 (fit)；這三種情況被命名為elleipsis, “defect”；hyperbole, “excess”；parabole, “a placing beside”。

阿波羅尼斯在卷一的命題11寫到這個線段（參量），也叫做óρθíα（原文中的英譯為upright side，即豎直邊），拉丁文翻譯時譯作 latus rectum，也成為一個英文名詞，即是「正焦弦」之意。當一個平面跟圓錐相截時，在這個截痕的圖形中，它的「正焦弦」這一段長度即已經固定，阿波羅尼斯利用「比例（a : b :: c: d）」，並以垂直於「直徑」的方式作出這一段線段。在古希臘人比例式中，「::」意指「類比analogia」，史家M. Fried認為阿波羅尼斯所用的「類比」，不只是比例式的抽象操弄而已，更是「類比」於它所代表的幾何意義。他認為，圓錐截痕中的「直徑」與「正焦弦」合成一個圓錐截痕的「圖象」(figure)，經由這個圖像，可以「類比」出這個圓錐截痕的特性。所以，阿波羅尼斯將正焦弦稱為 “upright

pxx，此處p＝EH，2aside”，即是意指這個矩形的一邊，再者阿波羅尼斯以這個矩形來表徵圓錐截痕，我們可以輕易的將這種方式改成直角座標系中的方程式表徵形式：

y2pxp2x。 2ap2x，我們可以看到圓錐曲線的幾何面向與代數面2a從這個方程式y2px向作一個比較好的結合，正焦弦這一段長度也不再只是需要背誦的數字而已。在圓錐曲線的各式各樣定義方式中，如果從拋物線（相等）、橢圓（小於）、雙曲線（大於）的原始意義當成起點，再以正焦弦作融會貫通的黏和劑，圓錐曲線的學習就不再是瑣碎、無聊的代數式操弄；拋物線、橢圓、雙曲線也不再各自為政，而是真正融合一體的「圓錐曲線」，也才能達到真正的「數形合一」的教學目標。 註解：

1. 命題11在此段文字前面的原文為：

如果一圓錐被過其軸的一個平面所截，同時又被另一與圓錐的底交於一直線的平面所截，其交線垂直於軸三角形的底邊。進而，如果截痕的直徑平行於軸三角形的一邊，那麼任一連接圓錐截痕和其直徑的直線，且平行於截平面與圓錐底之交線，其平方將等於兩線段所包含的矩形，其中一線段

是從截痕的頂點開始，到上述直線在直徑上截取的部分 (the straight line cut off by it on the diameter beginning from the section’s vertex)；另一線段則滿足這樣的比例：它比上圓錐頂點與截痕頂點之間的線段，等於軸三角形底邊上的正方形比上軸三角形其餘兩邊所包含的矩形 (another straight line which has the ratio to the straight line between the angle of the cone and the vertex of the section that the square on the base of the axial triangle has to the rectangle contained by the remaining two sides of the triangle.)。這樣的截痕叫做拋物線 (And let such a section be called a parabola.)。 2. 命題12在此段文字前面的原文為：

如果一圓錐被過其軸的平面所截，同時又被另一與圓錐的底交於一直線的平面所截，其交線垂直於軸三角形的底邊。又如果截痕的直徑延長後與軸三角

形的一邊交於圓錐頂點之外，那麼任一連接圓錐截痕和其直徑，且平行於截平面與圓錐底之交線的直線，其平方將等於某一面積，此面積貼合 (applied to) 到一直線上，此直線滿足這樣的比例：沿著直徑增加到其與軸三角形一邊之交點的直線長(the straight line added along the diameter of the section and subtending the exterior angle of the triangle)比上此直線，等於從圓錐頂點連到三角形底並平行直徑的直線上的正方形，比上剛剛的直線在三角形底上交點所成兩線段所作之矩形。這個面積的寬度是截痕與直線的連線，在直徑上截取的從截痕頂點開始的一段，並超出一個圖形，這個圖形相似於，並

且在位置上也相似一個矩形，為以包含直徑延長至軸三角形外之那個交點的直線與這個參量 (the parameter)（見附錄2）所成的矩形。將這樣的截痕稱作雙曲線 (And let such a section be call an hyperbola)。 3. 命題13在此段文字前面的原文為：

如果一圓錐被過其軸的平面所截，同時又被另一平面所截，此平面一方面交

軸三角形的兩邊，另一方面與底既不平行也不相反 (subcontrariwise)。又如果圓錐的底所在的平面，與此截平面交於垂直於軸三角形的底邊或其延長線的一直線，那麼從圓錐截痕上任一點作向此截痕的直徑，且平行於截平面與圓錐底所在之平面之交線的直線，其平方將等於某一面積，此面積貼合 (applied to) 到一直線上，此直線滿足這樣的比例：此截痕的直徑比上此直線，等於從圓錐頂點連到三角形底邊並平行直徑的直線上的正方形，比上這直線所截得的從三角形兩邊開始的線段所包含的矩形。這個面積的寬度是截痕與直徑的連線在直徑上所截取的從截線頂點開始的線段，並缺少一個圖形，這個圖形相似於，並且在位置上也相似一個矩形，為以直徑與這個參量 (the parameter)所成的矩形。將這樣的截痕稱作橢圓 (And let such a section be call an ellipse)。

參考文獻

Apollonius (1952), Conics (tr. R. C. Taliaferro), in Great Books of the Western World, Encyclopaedia Britannica.

Bunt, L. N. H. et al (1988), The Historical Roots of Elementary Mathematics. New York: Dover.

Eves, H. (1976), An Introduction to the History of Mathematics, New York: Holt, Rinehart and Winston. Fauvel, J and J. Gray ed.( 1987), The History of Mathematics: A Reader. London: The Open University. Fried, M. (2003), The Use of Analogy in Book VII of Apollonius’ Conica, in Science in Context 16(3).

Isoda, Masami (2000), The Use of Technology in Teaching Mathematics with

History--Teaching with modern technology inspired by the history of mathematics, in Proceedings of the HPM 2ooo Conference. Taipei: Department of Mathematics NTNU.

Lui, K.W. (2003), Study of Conic Sections and Prime Numbers in China: Cultural Influence on The Development, Application and Transmission of Mathematical Ideas, The University of Hong Kong.

Van Maanen, Jan A (1995), “Alluvial Deposits, Conic Sections, and Improper Glasses, or History of Mathematics Applied in the Classroom”, in F. Swetz et al

eds., Learn From The Masters!. Washington, DC: The Mathematical Association of America.

Kline, M. (1983), 《數學史—數學思想的發展》，林炎全、洪萬生、楊康景松譯，台北：九章出版社。 李文林主編 (2000)，《數學珍寶》，台北：九章出版社。 梁宗巨 (1995)，《數學歷史典故》，台北：九章出版社。