汇编
专题07 基本平面图形
一．选择题
1．（2021春•南岗区期末）下列四个说法： ①射线AB和射线BA是同一条射线； ②两点之间，线段最短； ③38°15'和38.15°相等；
④已知三条射线OA，OB，OC，若∠AOC＝∠AOB，则射线OC是∠AOB的平分线． 其中正确说法的个数为（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【思路引导】根据射线的性质；数轴上两点间的距离的定义；角平分线的定义，线段的性质解答即可．
【完整解答】解：①射线AB和射线BA表示不是同一条直线，故此选项错误； ②两点之间，线段最短，故此选项正确； ③38°15'＝38.25°，故此选项正确；
④已知三条射线OA，OB，OC，若∠AOC＝∠AOB，则OC不一定在∠AOB的内部，故此选项错误；
综上所述，正确的是②③， 故选：B．
2．（2021春•九龙坡区校级期末）如图，⊙O的半径为2，∠AOB＝90°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．π
C．2π
D．4π
【思路引导】根据扇形的面积公式计算即可． 【完整解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，
1
∴S扇形＝故选：B．
＝π，
3．（2021春•松北区期末）如图，点G是AB的中点，点M是AC的中点，点N是BC的中点，则下列式子不成立的是（ ）
A．MN＝GB C．
B．D．
【思路引导】由中点的定义综合讨论，一一验证得出结论．
【完整解答】解：A、∵点G是AB的中点，点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴GB＝
AB，MC＝AC，NC＝BC，
AC+BC＝AB，
∴MN＝MC+NC＝
∴MN＝GB，故A选项不符合题意； B、∵点G是AB的中点， ∴AG＝BG，
∴AG﹣GC＝BG﹣GC＝BC， ∵NC＝BC，
∴NC＝（AG﹣GC），故B选项不符合题意； C、∵BG+GC＝BN+NC+CG+GC＝2CN+2CG＝2GN， ∴GN＝（BG+GC），故C选项不符合题意； D、∵MN＝AB，AB＝AC+CB， ∴MN＝（AC+CB）， ∵题中没有信息说明GC＝BC，
∴MN＝（AC+GC）不一定成立，故D选项符合题意． 故选：D．
4．（2021•通辽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
2
A．∠BDE＝∠BAC
B．∠BAD＝∠B
C．DE＝DC
D．AE＝AC
【思路引导】由尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得Rt△AED≌Rt△ACD可判定D，由于DE不是AB的垂直平分线，不能证明∠BAD＝∠B．
【完整解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线， ∵∠C＝90°，
∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°， ∴∠BDE＝∠BAC， 在Rt△AED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL）， ∴AE＝AC，
∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B， 综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意， 故选：B．
5．（2021•宽城区一模）如图，已知锐角∠AOB，在射线OA上取一点C，以点O为圆心、OC长为半径作
，交射线OB于点D，连接CD；分别以点C、D为圆心、CD长为半
径作弧，两弧交于点P，连接CP、DP；作射线OP．若∠AOP＝20°，则∠ODP的度数是（ ）
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
【思路引导】由题意得OP为∠AOB的角平分线，△CDP为等边三角形，先求出∠COD与∠CPD的度数，再通过四边形内角和为360°求解．
【完整解答】解：由题意得OP为∠AOB的角平分线，△CDP为等边三角形， ∵OC＝OD，CP＝DP，OP＝OP， ∴△COP≌△DOP，
3
∴∠OCP＝∠ODP， ∵∠COD＝2∠AOP＝40°， ∠CPD＝60°，
∴∠OCP+∠ODP＝2∠ODP＝360°﹣∠COD﹣∠CPD＝260°， ∴∠ODP＝260°÷2＝130°． 故选：C．
6．（2019秋•巴州区期末）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ） A．14或15 16
【思路引导】根据不同的截法，找出前后的多边形的边数之间的关系得出答案． 【完整解答】解：如图，n边形，A1A2A3…An，
若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1， 若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等， 若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，
因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为13或14或15， 故选：C．
B．13或14
C．13或14或15
D．14或15或
7．（2018春•大庆期末）下列说法：①平方等于其本身的数有0和1；②32xy3是四次单项式；③
÷（
）＝﹣1；④平面内有4个点，过每两点画直线，可画6条其中说法正确的
个数有（ ） A．2个
B．1个
C．4个
D．3个
【思路引导】根据有理数乘方的意义；一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；两点确定一条直线进行分析即可． 【完整解答】解：①平方等于其本身的数有0和1，说法正确； ②32xy3是四次单项式，说法正确； ③
÷（
）＝﹣1，说法正确；
4
④平面内有4个点，过每两点画直线，可画6条，说法错误； 说法正确的个数有3个， 故选：D．
8．（2013•雨花区校级自主招生）如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）
A．点A
B．点B
C．A，B之间
D．B，C之间
【思路引导】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理． 【完整解答】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米），
②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米）， ③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），
④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500，
⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞4500． ∴该停靠点的位置应设在点A； 故选：A． 二．填空题
9．（2020秋•碑林区校级期末）如图，将三个边长相同的正方形的一个顶点重合放置，已知∠1＝38°，∠2＝32°，则∠3＝ 20 度．
【思路引导】由题意得∠1+∠2+90°＝90°+90°﹣∠3，从而求得∠3． 【完整解答】解：由题意得：∠1+∠2+90°＝90°+90°﹣∠3．
5
∵∠1＝38°，∠2＝32°， ∴38°+32°+90°＝180°﹣∠3． ∴∠3＝20°． 故答案为：20．
10．（2020秋•香洲区期末）已知点A，B，C都在直线l上，AB＝3BC，点D，E分别为AC，BC的中点，DE＝6，则AC＝ 8或16 ．
【思路引导】分两种情况：点C在点B的左边时，点C在点B的右边时，再根据相应线段的关系进行解答即可．
【完整解答】解：当点C在点B的左边时，如图所示：
∵点D，E分别为AC，BC的中点， ∴DC＝AD＝
AC，CE＝BE＝BC，
∵DE＝DC+CE，DE＝6， ∴
AC+BC＝6，
则AC+BC＝12， 即AB＝12， ∵AB＝3BC， ∴BC＝4，
∴AC＝AB﹣BC＝8；
当点C在点B的右边时，如图所示：
∵点D，E分别为AC，BC的中点， ∴DC＝AD＝
AC，CE＝BE＝BC，
∵DE＝DC﹣CE，DE＝6， ∴
AC﹣BC＝6，
则AC﹣BC＝12， ∵AB＝AC﹣BC， ∴AB＝12， ∵AB＝3BC， ∴BC＝4，
∴AC＝AB+BC＝16．
6
综上所述，AC＝8或16． 故答案为：8或16．
11．（2021•九龙坡区模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，分别以B、D为圆心，正方形的边长为半径画圆，则图中的阴影部分面积为 8π﹣16 ．（结果保留π）
【思路引导】由图可知，阴影部分的面积是两个圆心角为90°，且半径为4的扇形的面积与正方形的面积的差，可据此求出阴影部分的面积． 【完整解答】解：由题意可得出：S阴影＝2S扇形﹣S正方形＝2×故答案为8π﹣16．
12．（2021春•金山区期末）在一直线上有A，B，C三点，AB＝16cm，BC＝AB，点O是线段BC中点，则线段OA的长度为 12或20 cm．
【思路引导】要求学生分情况讨论A，B，C三点的位置关系，即点C在线段AB内，点C在线段AB外．
【完整解答】解：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．
第一种情况：在AB内，AO＝8+4＝12cm．
第二种情况：在AB外，AO＝16+4＝20cm
故答案为20cm或12cm．
13．（2021•锡山区一模）如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为 π﹣2 ．
﹣42＝8π﹣16，
【思路引导】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S
阴影
＝S
扇形
AOB﹣S△
7
AOB可得出结论．
【完整解答】解：∵∠C＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB ＝＝π﹣2． 故答案为：π﹣2．
14．（2020秋•罗庄区期末）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有 6 个．
【思路引导】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段六条，所以出现报警次数最多6次． 【完整解答】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报， ∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA， ∴发出警报的可能最多有6个． 故答案为：6．
15．（2021•长沙模拟）如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E． ②分别以点D、E为圆心，大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F． ③作射线BF交AC于点G． 如果
，求
＝
．
【思路引导】如图，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N．证明GM＝GN，可得结论．
8
【完整解答】解：如图，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N．
由作图可知，BG平分∠ABC， ∵GM⊥BA，GN⊥BC， ∴GM＝GN，
∴＝＝＝，
故答案为：．
16．（2020秋•北碚区期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕．若∠ABE＝30°，则∠DBC为 60 度．
【思路引导】根据折叠思想，通过角的和差计算即可求解．
【完整解答】解：∵BD、BE为折痕，∴BD、BE分别平分∠CBC′、∠ABA′ ∴∠A′BE＝∠ABE＝30°， ∠DBC＝∠DBC′
∵∠A′BE+∠ABE+∠DBC+∠DBC′＝180° ∴∠ABE+∠DBC＝90° ∴∠DBC＝60°． 故答案为60°
17．（2019秋•旌阳区期末）如图，两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O，下列结论： ①∠AOB＝∠COD； ②∠AOB+∠COD＝90°； ③∠AOD+∠BOC＝180°；
④若OB平分∠AOC，则OC平分∠BOD；
⑤∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线，其中正确的有 ①③④⑤ ．（填序
9
号）
【思路引导】①由∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，可得∠AOB＝∠COD； ②∠AOB+∠COD＝90°不一定和是90°；
③∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，∠AOD＝∠AOC+∠COD，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COD+∠BOC＝90°+90°＝180°；
④∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝45°，所以OC平分∠BOD；
⑤由已知可得∠BOE＝∠COE，∠AOE＝∠DOE，所以∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线．
【完整解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC＝90°，∴∠AOB＝∠COD． 故①正确；
又∵∠AOB＝∠COD不一定等于45°，∴∠AOB+∠COD≠90°， 故②错误；
又∵∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，∠AOD＝∠AOC+∠COD，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COD+∠BOC＝90°+90°＝180°， 故③正确；
又∵OB平分∠AOC，∴
，∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝
90°﹣45°＝45°，∴∠COD＝∠BOC，∴OC平分∠BOD， 故④正确；
又∴∠AOB＝∠COD，∴∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线， 故⑤正确．
∴综上，正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤．
18．（2020•山西模拟）如图，四边形ABCD和ECGF均为正方形，且点A，D，F在半圆的弧上，点B，C，G在半圆的直径上，点D，E，C在一条直线上，若半圆的半径为则阴影部分的面积为
π﹣5 ．
，
10
【思路引导】连接OA，OF，设正方形ABCD的边长为a，正方形EFGD的边长为b，⊙O的半径为R．证明a2+b2＝R2＝5，即可解决问题．
【完整解答】解：连接OA，OF，设正方形ABCD的边长为a，正方形EFGD的边长为b，⊙O的半径为R．
则OB＝
，OG＝
，
而OC＝BC﹣OB＝OG﹣CG， ∴有：a﹣
＝
﹣b得到：•
+
＝a+b，
两边平方得：R2﹣a2+2整理得：
•
+R2﹣b2＝a2+2ab+b2
＝a2+b2+ab﹣R2
两边再次平方得：R4﹣（a2+b2）R2+a2b2＝（a2+b2+ab）2﹣2（a2+b2+ab）R2+R4， 整理得：a2+b2＝R2＝5， ∴阴影部分的面积＝故答案为：π﹣5．
19．（2020秋•北碚区校级月考）如图，扇形AOB的圆心角是90°，半径为4cm，分别以OA、OB为直径画圆，则图中阴影部分的面积为 8cm2 ．
×π×5﹣5＝π﹣5．
【思路引导】过点C作CD⊥OB，CE⊥OA，则△AOB是等腰直角三角形，由∠ACO＝90°，可知△AOC是等腰直角三角形，由HL定理可知Rt△OCE≌Rt△ACE，故可得出
11
S扇形OEC＝S扇形AEC，
阴影
与弦OC围成的弓形的面积等于与弦AC所围成的弓形面积，S
＝S△AOB即可得出结论．
【完整解答】解：如图，连接AB，OC，过点C作CD⊥OB，CE⊥OA，
∵OB＝OA，∠AOB＝90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∵OA是直径， ∴∠ACO＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形， ∵CE⊥OA，
∴OE＝AE，OC＝AC， ∴Rt△OCE≌Rt△ACE（HL）， ∵S扇形OEC＝S扇形AEC， ∴
与弦OC围成的弓形的面积等于
与弦AC所围成的弓形面积，
与弦BC所围成的弓形面积，
同理可得，与弦OC围成的弓形的面积等于
∴S阴影＝S△AOB＝×4×4＝8（cm2）． 故答案为8cm2．
20．（2017•武汉模拟）已知AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，D为DC至点E，使CE＝CD，若AB＝4面积为 12﹣2π ．
【思路引导】如图，连接CO，延长OC到G，使得CG＝CO，连接OD，GE．由△OCD≌△GCE（SAS），推出OC＝OD＝CG＝GE，推出点E的运动轨迹是以G为圆心，GC为半径的圆上的一部分（即弧CF，∠CGF＝90°），当点D从点A运动到点C时，线段BE扫过的面积＝S△CBF﹣S弓形CFE，由此计算即可解决问题．
【完整解答】解：如图，连接CO，延长OC到G，使得CG＝CO，连接OD，GE．
上的一动点，延长
，当点D从点A运动到点C时，线段BE扫过的
12
∵CD＝CE，CO＝CG，∠DCO＝∠GCE， ∴△OCD≌△GCE（SAS）， ∵OC＝OD＝CG＝GE，
∴点E的运动轨迹是以G为圆心，GC为半径的圆上的一部分（即弧CF，∠CGF＝90°），
∴当点D从点A运动到点C时，线段BE扫过的面积＝S△CBF﹣S
弓形
CFE＝×4×4﹣
（
故答案为12﹣2π， 三．解答题
﹣××2）＝12﹣2π，
21．（2021春•榆林期末）如图，已知△ABC，利用尺规作∠C的平分线CD．（保留作图痕迹，不写作法）
【思路引导】利用尺规作出∠ACB的角平分线CD即可． 【完整解答】解：如图，射线CD即为所求．
22．（2020秋•城厢区期末）已知∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD的内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系，并说明理由．
（2）如图2，当射线OA，OB都在∠COD的外部时，过点O作射线OE，OF，满足∠
13
BOE＝∠BOC，∠DOF＝∠AOD，求∠EOF的度数．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝3：7？若存在，求出∠GOF的度数；若不存在，请说明理由．
【思路引导】（1）根据已知条件，∠AOB和∠COD是直角，可得出∠BOD和∠AOC与∠BOC的关系式，再根据∠AOC与∠AOB和∠BOD列出等量关系，即可得出答案； （2）根据已知条件∠BOE＝
∠BOC，可设∠BOE＝a，则∠BOC＝4a，再根据周角的关
系可得到∠AOD的等量关系，再根据∠DOF＝∠AOD，可得到∠AOF的等量关系式，由∠BOE、∠AOB和∠AOF可列出等量关系，即可得到答案；
（3）分两种情况，①当射线OG在∠EOF内部时，由∠GOF：∠GOE＝3：7，可得出结果，当射线OG在∠EOF外部时，由∠GOF：∠GOE＝3：7，可得出结果． 【完整解答】（1）∠AOD+∠BOC＝180°． 证明：∵∠AOB和∠COD是直角， ∴∠AOB＝∠COD＝90°， ∵∠BOD+∠BOC＝∠COD， ∴∠BOD＝90°﹣∠BOC， 同理：∠AOC＝90°﹣∠BOC，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°+90°﹣∠BOC＝180°﹣∠BOC， ∴∠AOD+∠BOC＝180°；
（2）解：设∠BOE＝a，则∠BOC＝4a， ∵∠BOE+∠EOC＝∠BOC， ∴∠EOC＝∠BOC﹣∠BOE＝3a，
∵∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB＝360°， ∴∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠BOC﹣∠AOB ＝360°﹣90°﹣4a﹣90° ＝180°﹣4a，
14
∵∠DOF＝∠AOD，
∴∠DOF＝（180°﹣4a）＝135°﹣3a， ∴∠AOF＝
∠AOD＝（180°﹣4a）＝45°﹣a，
∴∠EOF＝∠BOE+∠AOB+∠AOF＝a+90°+45°﹣a＝135°， ∠EOF的度数为135°；
（3）①当射线OG在∠EOF内部时， ∴∠GOF：∠GOE＝3：7， ∴∠GOF＝
（∠GOF+∠GOE）＝
∠EOF＝
135°＝40.5°；
②当射线OG在∠EOF外部时， ∵∠GOF：∠GOE＝3：7， ∴∠GOF＝＝＝＝
∠EOF
（∠DOF+∠COD+∠EOC） （135°﹣3a+90°+3a）
（∠GOF+∠GOE）
＝67.5°．
综上所述，∠GOF 的度数是40.5°或67.5°．
23．（2020秋•朝阳区期末）已知∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线． （1）若OC平分∠AOB， ①依题意补全图1； ②∠MON的度数为 80° ．
（2）当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数是否改变？若不变，求∠MON的度数；若改变，说明理由．
15
【思路引导】（1）①根据题意补全图； ②根据MON的度数；
（2）由OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线，得出∠MON＝∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）＝【完整解答】解：（1）①依题意补全图1
AOB，从而得出答案．
，∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝40°，得出∠
图1
②
∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝40°， ∴∠MON＝∠CON+∠MOC＝80°； （2）∠MON的度数不变．
∵OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线， ∵
，
， ，
∴∠MON＝∠AOB﹣（∠AOM+∠BON） ＝∠AOB﹣＝
，
∵∠AOB＝120°， ∴∠MON＝80°．
24．（2020秋•清涧县期末）如图所示，点O在直线AB上，∠BOC＝∠BOD，∠DOE＝2∠AOE．
（1）求∠COE的度数；
（2）若∠BOC＝20°，求∠AOD的度数．
16
【思路引导】（1）根据∠BOD与∠AOD互补，平角的意义，可得出∠BOD+∠AOD＝180°，再根据∠BOC＝∠BOD，∠DOE＝2∠AOE．求出∠EOC；
（2）根据∠BOC＝∠BOD，∠BOC＝20°，得出∠BOD＝60°，进而求出答案． 【完整解答】解：（1）因为点O在直线AB上，所以
，
．
，∠DOE＝2∠AOE，
因为∠BOD+∠AOD＝180°， 所以（2）因为
所以∠BOD＝60°．
所以∠AOD＝180°﹣60°＝120°．
25．（2020秋•乾安县期末）已知O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图①所示，若∠AOC＝60°，则∠DOE的度数为 30° ；若∠AOC＝a，则∠DOE的度数为
（用含a的式子表示）；
，∠BOC＝20°，
；
（2）将图①中的∠DOC绕点O顺时针旋转至②的位置，试探究∠DOE和∠AOC度数之间的关系，并说明理由．
【思路引导】（1）首先求得∠COB的度数，然后根据角平分线的定义求得∠COE的度数，再根据∠DOE＝∠COD﹣∠COE即可求解；解法与①相同，把①中的60°改成α即可；
（2）把∠AOC的度数作为已知量，求得∠BOC的度数，然后根据角的平分线的定义求
17
得∠COE的度数，再根据∠DOE＝∠COD﹣∠COE求得∠DOE，即可解决． 【完整解答】解：（1）∵∠AOC＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC ＝180°﹣60° ＝120°，
又∵OE平分∠BOC， ∴∠COE＝
∠BOC＝×120°＝60°，
又∵∠COD＝90°， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE ＝90°﹣60° ＝30°；
∠DOE＝90°﹣（180﹣a） ＝90°﹣90°+
a＝a；
故答案为：30°；a；
（2）∠DOE＝∠AOC，理由如下： ∵∠BOC＝180°﹣∠AOC 又∵OE平分∠BOC ∴∠COE＝
∠BOC＝（180°﹣∠AOC）
＝90°﹣∠AOC
又∵∠DOE＝90°﹣∠COE ＝90°﹣（90°﹣∠AOC） ＝∠AOC．
26．（2020秋•锦江区校级期末）平面内一定点A在直线CD的上方，点O为直线CD上一动点，作射线OA，OE，OA′，当点O在直线CD上运动时，始终保持∠COE＝90°，∠AOE＝∠A′OE，将射线OA绕点O顺时针旋转75°得到射线OB．
（1）如图1，当点O运动到使点A在射线OE的左侧时，若OB平分∠A′OE，求∠AOE的度数；
（2）当点O运动到使点A在射线OE的左侧时，且∠AOC＝4∠A′OB时，求∠AOE的
18
度数；
（3）当点O运动到某一时刻时，满足∠A′OB＝120°，求出此时∠BOE的度数．
【思路引导】（1）设∠AOE的度数为x，由题意知∠A′OE＝x，∠EOB＝75°﹣x，根据2∠EOB＝∠A′OE列出方程，解之可得答案；
（2）分射线OB在∠A′OE内部和射线OB在∠A′OE外部两种情况求解即可； （3）当OE在CD上方时，分∠A′OB＝120°、∠A′OB＝120°求解，同理OE在CD下方时分别求解即可．
【完整解答】解：（1）设∠AOE的度数为x， 由题意知∠A′OE＝x，∠EOB＝75°﹣x， ∵OB平分∠A′OE， ∴2∠EOB＝∠A′OE， ∴2（75°﹣x）＝x， 解得x＝50，
答：∠AOE的度数为50； （2）①如图2，
当射线OB在∠A′OE内部时，设∠AOE的度数为y， 由题意知，∠A′OE＝y，∠EOB＝75°﹣y， ∵∠COE＝90°， ∴∠AOC＝90°﹣y， ∵∠AOC＝4∠A′OB， ∴∠A′OB＝（90°﹣y），
19
∵∠A′OB+∠EOB＝∠A′OE， ∴（90°﹣y）+75°﹣y＝y， 解得y＝②如图3，
；
当射线OB在∠A′OE外部时，设∠AOE的度数为y， 由题意知，∠A′OE＝y，∠EOB＝75°﹣y， ∵∠COE＝90°， ∴∠AOC＝90°﹣y， ∵∠AOC＝4∠A′OB， ∴∠A′OB＝（90°﹣y），
∵∠AOE+∠A′OE+∠A′OB＝75°， ∴y+y+（90°﹣y）＝75°， 解得y＝30， 答：∠AOE的度数为
或30；
（3）如图4，当∠A′OB＝120°时，
由图可得：∠A′OA＝∠A′OB﹣∠AOB＝120°﹣75°＝45°， 又∵∠AOE＝∠A′OE， ∴∠AOE＝22.5°，
20
∴∠BOE＝75°+22.5°＝97.5°； 如图5，当∠A′OB＝120°，
由图可得∠A′OA＝360°﹣120°﹣75°＝165°， 又∵∠A′OE＝∠AOE， ∴∠AOE＝82.5°，
∴∠BOE＝75°+82.5°＝157.5°； 当射线OE在CD下面时，如图6、7，
∠BOE＝22.5°或82.5°，
综上，∠BOE的度数为157.5°或97.5°或22.5°或82.5°．
27．（2020秋•成都期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧．
（1）若AB＝15，DE＝6，线段DE在线段AB上移动． ①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的长； （2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式
＝，求
的值．
21
【思路引导】（1）根据已知条件得到BC＝5，AC＝10，
①由线段中点的定义得到CE＝2.5，求得CD＝3.5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝10﹣3.5＝6.5；
②如图1，当点F在点C的右侧时，当点F在点C的左侧时，由线段的和差即可得到结论；
（2）当点E在线段BC之间时，如图3，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝x，当点E在点A的左侧，如图4，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，求得DC＝EC+DE＝y+1.5x，得到y＝4x，于是得到结论． 【完整解答】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝15， ∴BC＝5，AC＝10， ①∵E为BC中点， ∴CE＝2.5， ∵DE＝6， ∴CD＝3.5，
∴AD＝AC﹣CD＝10﹣3.5＝6.5； ②如图1，
当点F在点C的右侧时， ∵CF＝3，BC＝5， ∴AF＝AC+CF＝13， ∴AD＝
；
当点F在点C的左侧时，
∵AC＝10，CF＝3， ∴AF＝AC﹣CF＝7， ∴AF＝3AD＝7， ∴AD＝； 综上所述，AD的长为
或；
（2）当点E在线段BC之间时，如图3，
22
设BC＝x， 则AC＝2BC＝2x， ∴AB＝3x， ∵AB＝2DE， ∴DE＝1.5x， 设CE＝y，
∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，
∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y， ∵∴
∴y＝x， ∴CD＝1.5x﹣
x＝
x，BD＝3x﹣（0.5x+y）＝
x，
，
，
∴＝＝；
当点E在点A的左侧，如图4，
设BC＝x，则DE＝1.5x， 设CE＝y，
∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，
∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x， ∵∴∴y＝4x，
∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x， ∴
，
＝，BE＝EC+BC＝x+y，
，
23
当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解， 综上所述
的值为
或
．
28．（2020秋•荔湾区期末）如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC． （1）求∠AOD的度数；
（2）作射线OE，使∠BOE＝∠COE，求∠COE的度数；
（3）在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，若∠DOF＝3∠BOH，求∠AOH的度数．
【思路引导】（1）根据平角定义和角平分线定义即可得结果；
（2）根据题意分两种情况画图：①如图1，当射线OE在AB上方时，②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝∠COE，利用角的和差进行计算即可；
（3）根据题意分四种情况画图：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，利用角的和差进行计算即可． 【完整解答】解：（1）∵∠BOC＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝
AOC＝70°；
（2）①如图1，当射线OE在AB上方时，∠BOE＝∠COE，
∵∠BOE+∠COE＝∠BOC，
24
∴∠COE+∠COE＝40°， ∴∠COE＝24°；
②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝∠COE，
∵∠COE﹣∠BOE＝∠BOC， ∴∠COE﹣∠COE＝40°， ∴∠COE＝120°；
综上所述：∠COE的度数为24°或120°；
（3）①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时， 作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，
设∠BOH＝x°，则∠DOF＝3x°，∠FOC＝∠COD﹣∠DOF＝70°﹣3x°， ∵∠AOH＝∠AOD+∠DOF+∠FOH＝70°+3x°+90°＝160°+3x°， ∠EOH＝∠BOC﹣∠COE﹣∠BOH＝40°﹣24°﹣x°＝16°﹣x°， ∴∠FOH＝∠FOC+∠COE+∠EOH＝70°﹣3x°+24°+16°﹣x°＝90°， ∴x°＝5°，
∴∠AOH＝160°+3x°＝175°；
②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，
25
∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°， ∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°， ∠AOF+∠BOF＝180°，
∴3x°﹣70°+90°﹣x°＝180°， 解得x°＝80°， ∵∠COB＝40°， ∵80°＞40°，
∴x°＝80°不符合题意舍去；
③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，
∵∠AOF＝∠DOF+∠AOD＝3x°+70°， ∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°， ∠AOF+∠BOF＝180°，
∴3x°+70°+90°﹣x°＝180°， 解得x°＝10°，
∴∠AOH＝180°﹣∠BOH＝180°﹣x°＝170°； ④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，
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∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°， ∠BOF＝∠FOH+∠BOH＝90°+x°， ∠AOF+∠BOF＝180°，
∴3x°﹣70°+90°+x°＝180°， 解得x°＝40°，
∴∠AOH＝∠AOF+∠FOH＝50°+90°＝140°． 综上所述：∠AOH的度数为175°或170°或140°．
29．（2021春•温江区校级月考）如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM＝且小于等于180°）
（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝ 100 °；
（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数；
（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值．
∠AOC，∠BON＝∠BOD．（本题中所有角均大于0°
【思路引导】（1）当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，可得∠MON＝∠MOB+∠BON，再根据已知条件进行计算即可；
（2）根据∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），分两种情况画图：①当0＜n＜60时，如（图1），②当60＜n＜120时，如（图2），结合（1）进行角的和差计算即可；
27
（3）根据∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），∠MON＝2∠BOC，分两种情况画图：①当0＜n＜60时，如图3，②当60＜n＜180时，如图4，结合（2）进行角的和差计算即可． 【完整解答】解：（1）∵∠AOM＝∴∠MOC＝
∠AOC，∠BON＝∠BOD，
∠AOC，∠DON＝∠BOD，
当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2， ∴∠MON＝∠MOB+∠BON ＝＝
∠AOC+×120°+
BOD 60°
＝80°+20° ＝100°； 故答案为：100°；
（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60）， ①当0＜n＜60时，如（图1），
∵∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°， ∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣n°， ∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON ＝
（120°﹣n°）+n°+（60°﹣n°）
＝100°；
②当60＜n＜120时，如（图2），
28
∵∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°， ∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝n°﹣60°， ∴∠MON＝∠MOC+∠DOC+∠DON ＝
（120°﹣n°）+60°+（n°﹣60°）
＝100°；
综上所述：∠MON的度数为100°；
（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（正整数），∠MON＝2∠BOC， ①当0＜n＜60时，如图3，
∵∠BOC＝n°，
∴∠MON＝2∠BOC＝2n°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°， ∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°， ∴∠MON＝∠MOC+∠DOC﹣∠DON ＝
（120°+n°）+60°﹣（n°+60°）
＝100°， ∴2n°＝100° ∴n＝50；
②当60＜n＜180时，如图4，
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0＜n＜180且n≠60a，其中a为∵∠BOC＝n°，
∴∠MON＝2∠BOC＝2n°，
∴∠AOC＝360°﹣（∠AOB+∠BOC）＝360°﹣（120°+n°）＝240°﹣n°， ∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°， ∴∠MON＝360°﹣∠AOM﹣∠AOB﹣∠BON ＝360°﹣（240°﹣n°）﹣120°﹣（60°+n°）
＝140°， ∴2n°＝140°， ∴n＝70；
综上所述：n的值为50或70．
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