轴对称及将军饮马问题.教师版

轴对称及“将军饮马”问题

知识点睛

轴对称图形：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称． 如下图，ABC是轴对称图形．

两个图形轴对称：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 如下图，ABC与A'B'C'关于直线l对称，l叫做对称轴．A和A'，B和B'，C和C'是对称点．

轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系：

轴对称图两个图形形 轴对称

区图形1个图形 2个图形 别 的个数 对称一条或多只有1条 轴的条 条数 联系 二者都的关于对称轴对称的 对称轴的性质：

对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

线段的垂直平分线：

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

如图，直线l经过线段AB的中点O，并且垂直于线段AB，则直线l就是线段AB的垂直平分线．

线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，点P是线段AB垂直平分线上的点，则PAPB．

线段垂直平分线的判定：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

成轴对称的两个图形的对称轴的画法： 如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．

成轴对称的两个图形的主要性质： ①成轴对称的两个图形全等

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线 轴对称变换的方法应用：

轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来．常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想．

轴对称变换应用时有下面两种情况：

⑴图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换； ⑵图形中有垂线条件时，可考虑用此变换．

重、难点

重点：理解轴对称的概念，并且熟悉掌握轴

对称的性质以及作图，同时理解轴对称变换的概念，能很好的做出轴对称

例题精讲

板块一、轴对称与轴对称图形的认识

【例 1】

下列”QQ表情”中属于轴对称图形的是( )

A． B． C． D．

【解析】

C

【巩固】(08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是 ( )

【解析】

C

【例 2】

(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )

A． B

C． D． 【解析】 Ｄ

．

【巩固】(2004泸州)下列各种图形不是轴对称图形的是( )

【解析】

C．

【巩固】(2003吉林)下面四个图形中，从几何图形的性质

考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图

形，并简述你的理由．

答：图形__________；理由是__________．

【解析】 ②;四个图形中，只有图②不是轴对称图形．

【例 3】

如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．

【解析】 轴对称图形：1，3，4，6，8，10

成轴对称的图形有：2，5，7，9

【例 4】 (09黑龙江哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形，

又是中心对称图形的是( )

【解析】

D

【巩固】(2004北京)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形

【解析】

C

【例 5】

(2003四川)我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案中是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )

【解析】

C

【例 6】

(2003北京市海淀区)羊年话”羊”字象征着美好和吉祥，•下列图案都与”羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是( )

A．1； B．2； B．3； D．4

【解析】

B

【巩固】⑴(08山东省青岛市)下列图形中，轴对称图形的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

⑵如图所示的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

⑴B；⑵Ｃ 【例 7】 (上海)正六边形是轴对称图形，它有 条

对称轴． 6．【解析】 点拨：可以画出例图进行分析，明确正n边形有n条对称轴．

【解析】

【巩固】(2003河北省)下列图案中，有且只有三条对称轴的是( )

【解析】

D

【巩固】⑴(08苏州)下列图形中，轴对称图形的是 ．．．．．

⑵下列图形中对称轴最多的是( )

A．圆 B．正方形 C．等腰三角形 D．线段

【解析】 ⑴D；⑵Ａ

【例 8】

作出下图所示的图形的对称轴：

【解析】

答案见右上图．

【巩固】作出下图所示的成轴对称图形的对称轴：

【解析】

答案见右上图．

【例 9】

求作线段AB的垂直平分线

AB

【解析】

略

【例10】

已知：如图，ABC及两点M、N．求作：点P，使得PMPN，且P点到ABC两边所在的直线的距离相等．

BNCAM

【解析】

因为是两边所在的直线，所以有两个答案．

答案一：ABC内角平分线与线段MN的垂直平分线的交点

BNPAMC

答案二：ABC外角平分线与线段MN的垂直平分线的交点

BPNCAM

【例11】

(2003长沙)如图，请根据小文在镜中的像写出他的

运动衣上的实际号码：_______．

【解析】

108

【例12】

(2004河南)如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若

ABCDABBC，有下面的结论：①AB∥CD ②ACBD ③AOOC ④，其中正确的结论有_______．

DlAOCB

【解析】

①②③

【巩固】(2003安徽)如图，l是四边形ABCD的对称轴，如果

AD∥BC，有下列结论：①AB∥CD ②ABBC ③ABBC ④

AOOC．其中正确的结论是_________．(•把你认为

lA正确的结论的序号都填上)

BODC

【解析】

①、②、④

【例13】

(2003南宁市)尺规：把右图(实线部分)补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案(不用写作法、保留作图痕迹)．

【解析】 答案见右上图．

板块二、轴对称的应用

【例14】

如图，ABC和A'B'C'关于直线l对称，且B90，A'B'6cm，

求B'的度数和AB的长．

LA'ABC'CB'

【解析】 ∵ABC和A'B'C'关于直线l成轴对称

∴BB'，ABA'B'；又 ∵B90，A'B'6cm

∴B'90，AB6cm．

【例15】 如图，有一块三角形田地，ABAC10cm，作AB的垂直平

分线ED交AC于D，交AB于E，量得BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长．

【解析】 ∵ED垂直平分AB ∴DADB，

∵BDDCBC17m， ∴ADDCBC17m

∵AC10m，

∴BC7m．

【巩固】如图，ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交

AC于E，BE5厘米，BCE的周长是18厘米，则BC等

AE于多少厘米？

BDC∵ED垂直平分BC ∴EBEC，

∵BEC的周长为18cm ∴BC8cm．

【解析】 【例16】

如图，已知AOB40，CD为OA的垂直平分线，求ACB的度数．

ADOCB∵CD垂直平分OA ∴COCA ∴OA ∵O40

【解析】

∴A40

∴ACBAO80．

【例17】

(2004陕西)已知：如图，在ABC中，ABBC2，ABC120，

BC平行于x轴，点B•的坐标是(3,1)． ⑴画出ABC关于y轴对称的A'B'C'；

⑵求以点A、B、B'、A'为顶点的四边形的面积．

【解析】

⑴画图正确

⑵过A点作ADBC，交BC的延长线于点D，则 ABD180ABC60， 在RtABD中，

BD＝AB·cos∠ABD＝2×1＝1 2 AD＝AB·sin∠ABD=2×32＝3 又知点B的坐标为(-3，1)

13 可得点A的坐标为4， ∵AA'y轴，BB'y轴 ∴AA'∥BB' ∵AB与A'B'不平行

∴以点A，B，B'，A'为顶点的四边形是等腰梯形 由点A、B的坐标可求得 AA'248，BB'236

1 ∴梯形ABB'A'的面积＝1(AA′+BB′)·AD＝×22(8+6)×3=73．

板块三、轴对称在几何最值问题中的应用

【例18】

已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与

A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；

若不存在，请说明理由．

【解析】 点B与点A重合，或者点B是点A关于直线l的对称点．

【例19】

如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？

ABa

【解析】 答案见右上图．

【巩固】若此题改成，在a上找到M、N两点，且MN10，M在

N的左边，使四边形ABMN的周长最短．

ABB‘ABaMNa

B''

【解析】

见右上图．

【例20】

(”五羊杯”邀请赛试题)如图，AOB45，角内有点P，在角的两边有两点Q、R(均不同于O点)，求作Q、R，使得PQR的周长的最小．

AAQPPOOBRB【解析】

见右上图．

【巩固】如图，M、N为ABC的边AC、BC上的两个定点，在AB上求一点P，使PMN的周长最短．

CMNAB

【解析】

见右上图．

【例21】

(2000年全国数学联赛)如图，设正ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PAPM的最大值和最小值分别记为s和t．求st的值．

22AAMMBPCM'

【解析】 作点M关于BC的对称点M'，连接AM'、PM'． 由点M、M'关于BC对称可知，PMPM'． 故PAPMPAPM'≥AM'

当且仅当A、P、等号成立，故t(AM')M'共线时，

另外两个临界位置在点B和点C处． 当点P位于点C处时，PAPMACCM23； 当点P位于点B处时，PAPMABBM3．

2BPC27．

故s(23)743，st43．

本题也可作点A关于BC的对称点A'，连接A'M、PA'．

2222

【例22】

已知如图，点M在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA的边的距离和最小．

AOAOMMPBBM'

【解析】

见右上图．

【例23】

已知：A、B两点在直线l的同侧， 在l上求作一点M，使得|AMBM|最小．

【解析】

见右上图．

【巩固】已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点

M，使得|AMBM|最大．

【解析】

见右上图．

【例24】

(07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD中，AB8，

且DM2，N是AC上的一动点，求DNMNM是DC上的一点，

的最小值与最大值．

ADMNNADM

【解析】 找点D关于AC的对称点，

由正方形的性质可知，B就是点D关于AC的对称

点，

连接BN、BM，由DNMNBNMNBM可知，

BCBC

当且仅当B、N、M三点共线时，DNMN的值最小，

该最小值为6810．

当点N在AC上移动时，有三个特殊的位置我们要考察： BM与AC的交点，即DNMN取最小值时； 当点N位于点A时，DNMNADAM8217；

当点N位于点C时，DNMNCDCM8614．故DNMN的最大值为8217．

【巩固】例题中的条件不变，求DNMN的最小值与最大值． 【解析】 当DNMN时，DNMN有最小值为0，此时点N位于DM的

垂直平分线与AC的交点处．

DNMNDM2，当点N与点C重合时，等号成立，此

时有最大值2．

22【巩固】(黑龙江省中考题)如图，已知正方形ABCD的边长

为8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一个动点，则DNMN的最小值是

ADM

【解析】 连接BM交AC于N，此点即为所求．所以根据勾股定理，

BC

DNMN10．

【例25】

(2004郸县改编)某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路同时向新落成的A、B两个居民小区送电，分支点为M，已知居民小区A、B到主干线l的距离分别为AA2千米，BB2千米，且AB4千米．

⑴ 居民小区A、B在主干线l的两旁如图⑴所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？ ⑵ 如果居民小区A、如图⑵所示，B在主干线l的同旁，

那么分支点M在什么地方时总线路最短？此时分支点M与A距离多少千米？

11111lB1BAABlB1A1(1)A1

lB1B(2)

lB1B2MBAA1MAA1

【解析】 ⑴ 连结AB，AB与l的交点就是所求的分支点M，分支

点开在此处总线路最短，

如图，因为BBMAAM90，BMBAMA． 所以BBM≌AAM． 所以AM2．

由勾股定理，得AMBM22，ABAMBM42，所以分支点M在线段AB上距A点22千米处，最短线段的长度为42千米；

⑵ 如图，作B点关于直线l的对称点B，连结AB交

AM直线l于点M，此处即为分支点，由图可知，

的长度为2千米．

点拨：在解本题时，应注意线段最短，在第⑵问中也可以先画A点的对称点A2．

111111111221

【例26】

(09山东临沂)如图，A，B是公路l(l为东西走向)两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC1km，B村到公路l的距离BD2km，B村在A村的南偏东45方向上． ⑴ 求出A，B两村之间的距离；

⑵ 为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹，简明书写作法)．

北

A C

【解析】

东

D B l N A D l O C P M

B

⑴ 方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得

AB45．

∴ACO和BDO都是等腰直角三角形． ∴AO2，BO22．

∴A，B两村的距离为ABAOBO22232km

方法二：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E．易证四边形CDBE是矩形， ∴CEBD2．

在RtAEB中，由A45，可得BEEA3． AB3332km

∴A，B两村的距离为32km． ⑵ 作图正确，痕迹清晰．

作法：①分别以点A，B为圆心，以大于1AB的长为半232径作弧，

两弧交于两点M，N，作直线MN； ②直线MN交l于点P，点P即为所求．

家庭作业

【习题1】

(08苏州)下列图形中，轴对称图形的是 ．．．．．

【解析】

D

【习题2】

⑴(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )

A． B．

C． D．

⑵(08山东烟台)下列交通标志中，不是轴对称图形的是( )

⑶(08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是 ( )

【解析】

⑴Ｄ；⑵Ｃ；⑶Ｃ．

【习题3】

如图，ABC中，A90，BD为ABC的平分线，DEBC，E是的中点，求C的度数．

BEBCADC∵BD平分ABC ∴ABDEBD

∵DE垂直平分BC ∴BDCD，DBEC ∴ABDDBEC ∵A90

∴ABDDBEC30．

【解析】 【习题4】

(四川省竞赛题)如图，在等腰RtABC中，CACB3，E的上一点，满足BE2，在斜边AB 上求作一点P使得PCPEBC长度之和最小．

AAE'PPCEBCEB【解析】

见右上图．

【习题5】

在正方形ABCD中，E在BC上，BE2，CE1，P在BD上，求PE和PC的长度之和的最小值．

ADPBECADPE‘BEC

【解析】 当E'、P、C三点共线时，PEPC有最小值13．

备选

【备选1】(2004天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )

【解析】

C

【备选2】判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．

⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼

【解析】 是轴对称图形的有：⑵，⑷，⑹，⑺，⑼；分别有1条，

1条，4条，1条，2条对称轴．

【备选3】(2008年荆门市中考题)如图，菱形ABCD的两条

对角线分别长6和8，点M、N分别是变AB、BC 的中点，在对角线AC求作一点P使得PMPN的值最小．

DPCMNBDN'AAMPNBC

【解析】

见右上图．