2013年福建高考理科数学试卷(带详解)

（理工农医类）

一．选择题

1．已知复数z的共轭复数z12i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于 （ ） A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【测量目标】复平面

【考查方式】给出复数z的共轭复数，判断z在复平面内所在的象限. 【难易程度】容易 【参考答案】D

【试题解析】由z12i，得z＝1－2i，故复数z对应的点(1，－2)在第四象限．

2．已知集合A1,a,B1,2,3,则“a3”是“AB”的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件.

【考查方式】给出元素与集合间的关系两个命题，判断两个命题之间的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】A

【试题解析】若a＝3，则A＝{1,3}B，故a＝3是AB的充分条件；(步骤1)

而若AB，则a不一定为3，当a＝2时，也有AB．故a＝3不是AB的必要条件．故选A．（步骤2）

x23．双曲线 y21的顶点到其渐近线的距离等于 （ ）

4A．

254524 B． C． D．55 55【测量目标】双曲线的简单几何性质.

【考查方式】给出双曲线的方程，判断顶点到其渐近线的距离. 【难易程度】容易 【参考答案】C

x21【试题解析】双曲线－y2＝1的顶点为(±2,0)，渐近线方程为yx，（步骤1）

42|2|225即x－2y＝0和x＋2y＝0.故其顶点到渐近线的距离d.（步骤2） 5145

4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70),

[70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 （ ） A．588 B．480 C．450 D．120

第4题图

【测量目标】频率分布直方图.

【考查方式】给出频率分布直方图，判断一定范围内的样本容量. 【难易程度】容易 【参考答案】B

【试题解析】由频率分布直方图知40～60分的频率为(0.005＋0.015)×10＝0.2，故估计不少于60分的学生人数为600×(1－0.2)＝480.

5．满足a,b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a,b)的个数为（ ） A．14 B．13 C．12 D．10 【测量目标】实系数一元二次方程.

【考查方式】给出含参量系数的一元二次方程，判断方程有序数对的个数. 【难易程度】容易 【参考答案】B

【试题解析】a＝0时，方程变为2x＋b＝0，则b为－1,0,1,2都有解；（步骤1） a≠0时，若方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，则Δ＝22－4ab0，即ab1.（步骤2）

当a＝－1时，b可取－1,0,1,2.当a＝1时，b可取－1,0,1.当a＝2时，b可取－1，0，故满足条件的有序对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.（步骤3）

6．阅读如图所示的程序框图，若输入的k10，则该算法的功能是 （ ）

A．计算数列2n1的前10项和 B．计算数列2n1的前9项和 C．计算数列2n1的前10项和 D．计算数列2n1的前9项和



第6题图

【测量目标】循环结构程序框图，等比数列的通项.

【考查方式】给出程序框图的输入值，判断给出的程序框图的功能. 【难易程度】容易 【参考答案】A

【试题解析】当k＝10时，执行程序框图如下： S＝0，i＝1； S＝1，i＝2； S＝1＋2，i＝3； S＝1＋2＋22，i＝4； …

S＝1＋2＋22＋…＋28，i＝10； S＝1＋2＋22＋…＋29，i＝11.

7．在四边形ABCD中，AC(1,2)，BD(4,2)，则四边形的面积为 （ ）

A．5 B．25 C．5 D．10 【测量目标】向量的数量积运算.

【考查方式】给出四边形两条边的向量坐标，判断四边形的面积. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】∵ACBD＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC⊥BD.（步骤1）

又|AC|＝1225，|BD|＝422216425， S1四边形ABCD＝

2|AC||BD|＝5.（步骤2） 8．设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是 （ A．xR,f(x)f(x0) B．x0是f(x)的极小值点

C．x0是f(x)的极小值点 D．x0是f(x)的极小值点 【测量目标】函数单调性的综合应用.

【考查方式】给出函数f(x)的极值点x0(x00)，判断f(x)及f(x)的极值点.

【难易程度】容易 【参考答案】D

【试题解析】选项A，由极大值的定义知错误；（步骤1）

对于选项B，函数f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点，故不正确；（步骤2）对于C选项，函数f(x)与－f(x)图象关于x轴对称，x0应是－f(x)的极小值点，故不正确；（步骤3） 而对于选项D，函数f(x)与－f(－x)的图象关于原点成中心对称，故正确．（步骤4）

9．已知等比数列{an}的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2...am(n1)m,

cnam(n1)1am(n1)2...am(n1)m(m,nN*),则以下结论一定正确的是 （ A．数列{bmn}为等差数列，公差为q B．数列{b2mn}为等比数列，公比为q C．数列{cn}为等比数列，公比为qm2 D．数列{cmmn}为等比数列，公比为q

【测量目标】等差、等比数列的性质，通项与求和.

【考查方式】给出由等比数列{an}的m项组成的数列 {bn}，{cn}，

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） ）判断它们的性质 【难易程度】中等 【参考答案】C

【试题解析】∵{an}是等比数列，∴

amnmamn1m=qmnmm(n1)mqm，（步骤1）

amn1amn2…amnmcn1m2mm

∴＝＝(q)＝q.（步骤2）

amn11amn12…amn1mcn

10．设S，T，是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数yf(x)满足：(i)T{f(x)|xS};(ii) 对任意x1,x2S,当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）

A．AN,BN B．A{x|1*x3},B{x|x8或0x10}

C．A{x|0x1},BR D．AZ,BQ

【测量目标】函数的图象与性质.

【考查方式】定义集合间的一种新关系，判断给出的集合是否符合. 【难易程度】较难 【参考答案】D

【试题解析】由题意(1)可知，S为函数y＝f(x)的定义域，T为函数y＝f(x)的值域．

由(2)可知，函数y＝f(x)在定义域内单调递增，对于A，可构造函数y＝x－1，x∈N*，y∈N，满足条件；（步骤1）

8,x1,对于B，构造函数y5满足条件；（步骤2）

x1,1x3,2ππ对于C，构造函数ytanx，x∈(0,1)，满足条件；（步骤3）

22对于D，无法构造函数其定义域为Z，值域为Q且递增的函数，故选D．（步骤4）

二．填空题

11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a，则时间“3a10”发生的概率为________ 【测量目标】几何概型.

【考查方式】利用几何概型求解事件概率. 【难易程度】容易 【参考答案】

2 31132. 【试题解析】由3a－1＞0得a，由几何概型知P3131

12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．侧视图．俯视图均如图所示，且图

中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________

第12题图

【测量目标】由三视图求几何体的表面积

【考查方式】给出一个几何体的三视图，判断此几何体图形并求球的表面积. 【难易程度】容易 【参考答案】12π

【试题解析】由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体， 球的直径2r22222212，所以r3，故该球的表面积为S球＝4πr2＝4π×3＝12π.

13．如图△ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC为_______________

22,AB32,AD3则BD的长3

第13题图

【测量目标】诱导公式，余弦定理.

【考查方式】给出一个三角形的边角函数值，利用解三角形求线段长. 【难易程度】中等 【参考答案】3

π.（步骤1） 222π22∵sin∠BAC＝，∴sinBAD，

323【试题解析】∵AD⊥AC，∴∠DAC＝∴cos∠BAD＝22.（步骤2） 322＝3. 32由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2ABADcos∠BAD＝(32)＋32－2×32×3×∴BD＝3.（步骤3）

x2y214．椭圆:221(ab0)的左．右焦点分别为F1,F2，焦距为2c，若直线y3(xc)与椭圆

ab的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于__________

【测量目标】直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单几何性质.

【考查方式】给出直线与椭圆的交点与椭圆两焦点形成的角的关系，及椭圆的焦距，判断椭圆离心率.

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【难易程度】中等 【参考答案】31

【试题解析】由直线y＝3(x＋c)知其倾斜角为60°， 由题意知∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°. 故|MF1|＝c，|MF2|＝3c．（步骤1） 又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴(3＋1)c＝2a， 即e231.（步骤2） 311. 1x12015．当xR,x1时，有如下表达式:1xx2...xn...两边同时积分得：

1201dxxdxxdx...xdx...1201202120n1dx. 1x从而得到如下等式：1111211311()()...()n1...ln2. 22232n12请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：

11112121311n1nC0C()C()…+C()nnnn22232n12

【测量目标】微积分基本定理求定积分，二项式定理.

【考查方式】根据给出的运用定积分计算的技巧，求解等式的值. 【难易程度】较难

13[()n11] n120122nn【试题解析】由CnCnx…CnxCnx＝(1＋x)n，

【参考答案】两边同时积分得：C0n1201dxC1n120xdxC2n120xdx…C2nn120xndx

(1x)ndx，

101111211n1CnCnCn…Cn22232n12111＝1xn11n10n1212n123n1120

n11131. n1n12三．解答题

16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率

为

22，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有35一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品． （1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X,Y，求X3的概率；

（2）若小明,小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？

【测量目标】古典概型，离散型随机变量的分布列和期望.

【考查方式】给出实际的数学模型，利用求解对立事件的概率及离散型随机变量的分布，求解概率及期望. 【难易程度】容易

【试题解析】解法一：(1)由已知得小明中奖的概率为记“这2人的累计得分X3”的事件为A， 则事件A的对立事件为“X＝5”，（步骤1）

22，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响． 3522411，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝， 35151511即这2人的累计得分X3的概率为.（步骤2）

15因为P(X＝5)＝

(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．（步骤3）

22

352424所以E(X1)＝2，E(X2)＝2，

3355812从而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝.（步骤4）

35由已知可得，X1～B2,，X2～B2,，

因为E(2X1)＞E(3X2)，

所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．（步骤5） 解法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为

22，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．（步骤1） 35记“这2人的累计得分X3”的事件为A，

则事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件，（步骤2）

22122222211，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝1，(步骤3) 355355351511所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，

1511即这2人的累计得分X3的概率为.（步骤4）

15因为P(X＝0)＝1(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：

X1 0 2 4 P

X2 P 0 3 6 1 99 254 912 254 94 25 （步骤5） 所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝

1949498912412，E(X2)＝0×＋3×＋6×＝. 32525255因为E(X1)＞E(X2)，

所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．（步骤6）

17．（本小题满分13分）已知函数f(x)xalnx(aR)

（1）当a2时，求曲线yf(x)在点A(1,f(1))处的切线方程； （2）求函数f(x)的极值．

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【测量目标】导数的几何意义，利用导数求函数的极值.

【考查方式】利用导数的几何意义求解曲线的切线方程及函数的极值. 【难易程度】容易

【试题解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)＝1－(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f(x)＝1－

a.（步骤1） x2(x＞0)， x因而f(1)＝1，f(1)＝－1，（步骤2）

所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋y－2＝0.（步骤3）

axa＝，x＞0知： xx①当a0时，f(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a＞0时，由f(x)＝0，解得x＝a．(步骤4)

又当x∈(0，a)时，f(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f(x)＞0，

(2)由f(x)＝1－

从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．（步骤5） 综上，当a0时，函数f(x)无极值；

当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．（步骤6）

18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标

为(0,10)．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1,A2,…A9和B1,B2,…B9，连结OBi，过Ai*做x轴的垂线与OBi交于点Pi(iN,1*（1）求证：点Pi(iN,1i9)．

i9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；

（2）过点C做直线与抛物线E交于不同的两点M,N，若△OCM与△OCN的面积比为4:1，求直

线的方程．

第18题图

【测量目标】抛物线的标准方程，简单的几何性质，直线与抛物线的位置关系.

【考查方式】根据平面几何图形及坐标和三角形的面积关系，求解抛物线和直线方程. 【难易程度】中等

【试题解析】解法一：(1)依题意，过Ai(i∈N*,1i9)且与x轴垂直的直线方程为x＝i， Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为y＝

ix.（步骤1） 10xi,

设Pi的坐标为(x，y)，由i

yx,10

得y＝

12

x，即x2＝10y. 10所以点Pi(i∈N*,1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2＝10y.（步骤2） (2)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋10.（步骤3） 由ykx10.得x2－10kx－100＝0， 2x10y.x1x210k,①

xx100,②12此时Δ＝100k2＋400＞0，直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N.（步骤4） 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则因为S△OCM＝4S△OCN，所以|x1|＝4|x2|.（步骤5）

又x1x2＜0，所以x1＝－4x2， 分别代入①和②，得3x210k,3解得. k224x2100,3x＋10，即3x－2y＋20＝0或3x＋2y－20＝0.（步骤6） 2所以直线l的方程为y＝

19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，AB//DC，

AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0)．

（1）求证：CD平面ADD1A1;

（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为

6，求k的值； 7（3）现将与四棱柱ABCDA1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：

若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f(k)，写出f(k)的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）

第19题图

【测量目标】空间立体几何线面垂直，线面角.

【考查方式】给出四棱柱中的线段及线面关系，求解线面关系及线面所成角问题. 【难易程度】中等

【试题解析】(1)取CD的中点E，连结BE.（步骤1） ∵AB∥DE，AB＝DE＝3k，

∴四边形ABED为平行四边形，

∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.（步骤2） 在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k，

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∴BE2＋CE2＝BC2， ∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD，（步骤3） 又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．

∵AA1⊥平面ABCD，CD平面ABCD， ∴AA1⊥CD．又AA1∩AD＝A， ∴CD⊥平面ADD1A1.（步骤4）

第19图

(2)以D为原点，DA，DC，DD1的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(4k,0,0)，C(0，6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，（步骤5） 所以AC＝(－4k,6k,0)，AB1＝(0,3k,1)，AA1＝(0,0,1)．

ACn0,设平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，则由

AB1n0,4kx6ky0,得

3kyz0.取y＝2，得n＝(3,2，－6k)．（步骤6） 设AA1与平面AB1C所成角为θ，则 sin θ＝|cos〈AA1，n〉|＝＝AA1n

|AA1||n|6k36k2136， 7解得k＝1，故所求k的值为1.（步骤7）

第19图

(3)共有4种不同的方案．

5272k26k,0k,18f(k)＝（步骤8）

536k236k,k.18

20．（本小题满分14分）已知函数f(x)sin(x)(0,0π)的周期为π，图象的一个对称中

心为(,0)，将函数f(x)图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图象向右平移

π4π个单位长度后得到函数g(x)的图象． 2（1）求函数f(x)与g(x)的解析式；

（2）是否存在x0(,)，使得f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确

定x0的个数；若不存在，说明理由．

（3）求实数a与正整数n，使得F(x)f(x)ag(x)在(0,nπ)内恰有2013个零点．

【测量目标】三角函数的图象及其变换，同角三角函数的基本关系，等差数列的性质，函数零点的求解与判断.

【考查方式】给出三角函数的周期及对称中心，求解函数关系式及变换后的函数关系式；判断在某一区内是否存在x0,使得三角函数值呈等差数列；判断复合函数零点个数与区间的关系. 【难易程度】较难

【试题解析】解法一：(1)由函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的周期为π，ω＞0，得ω＝

ππ642π＝2. Tπ,0，φ∈(0，π)， 4πππ故fsin20，得，所以f(x)＝cos 2x.（步骤1）

424又曲线y＝f(x)的一个对称中心为将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y＝cos x的图象，再将y＝cos x的图象向右平移(2)当x∈ππ个单位长度后得到函数g(x)=cosx的图象，所以g(x)＝sin x.（步骤2）

22211ππ,时，＜sin x＜，0＜cos 2x＜，

22264所以sin x＞cos 2x＞sin xcos 2x.（步骤3）

ππ,内是否有解． 64ππ设G(x)＝sin x＋sin xcos 2x－2cos 2x，x∈,，

64问题转化为方程2cos 2x＝sin x＋sin xcos 2x在则G′(x)＝cos x＋cos xcos 2x＋2sin 2x(2－sin x)．（步骤4）

ππππ,，所以G′(x)＞0，G(x)在,内单调递增． 646412ππ又G<0，G>0，

4642ππ且函数G(x)的图象连续不断，故可知函数G(x)在,内存在唯一零点x0，

64ππ即存在唯一的x0∈,满足题意．（步骤5）

64(3)依题意，F(x)＝asin x＋cos 2x，令F(x)＝asin x＋cos 2x＝0.

因为x∈当sin x＝0，即x＝kπ(k∈Z)时，cos 2x＝1，从而x＝kπ(k∈Z)不是方程F(x)＝0的解，（步骤6）

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所以方程F(x)＝0等价于关于x的方程acos2x，x≠kπ(k∈Z)．现研究x∈(0，π)sinx(π，2π)时方程

cos2x的解的情况．（步骤7） sinxcos2x令hx，x∈(0，π) (π，2π)，

sinxa则问题转化为研究直线y＝a与曲线y＝h(x)，x∈(0，π)

(π，2π)的交点情况．

cosx(2sin2x1)π3πh(x)，令h′(x)＝0，得或.（步骤8） xx2sinx22当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表： x π0， 2π 2π，π 23ππ， 23π 23π2π ，2h′(x) ＋ 0 － － 0 ＋ h(x) 1 －1 当x＞0且x趋近于0时，h(x)趋向于－∞， 当x＜π且x趋近于π时，h(x)趋向于－∞， 当x＞π且x趋近于π时，h(x)趋向于＋∞，

当x＜2π且x趋近于2π时，h(x)趋向于＋∞.（步骤9）

故当a＞1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内无交点，在(π，2π)内有2个交点； 当a＜－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点；

当－1＜a＜1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内有2个交点．（步骤10） 由函数h(x)的周期性，可知当a≠±1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，nπ)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，nπ)内恰有2 013个交点；（步骤11） 又当a＝1或a＝－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)(π，2π)内有3个交点，由周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n＝671×2＝1 342.（步骤12） 综上，当a＝1，n＝1 342或a＝－1，n＝1 342时，函数F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2 013个零点．（步骤13）

解法二：(1)、(2)同解法一．

(3)依题意，F(x)＝asin x＋cos 2x＝－2sin2x＋asin x＋1. 现研究函数F(x)在(0,2π]上的零点的情况．

设t＝sin x，p(t)＝－2t2＋at＋1(－1t1)，则函数p(t)的图象是开口向下的抛物线，（步骤1） 又p(0)＝1＞0，p(－1)＝－a－1，p(1)＝a－1.

当a＞1时，函数p(t)有一个零点t1∈(－1,0)(另一个零点t2＞1，舍去)，F(x)在(0,2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(π，2π)；

当a＜－1时，函数p(t)有一个零点t1∈(0,1)(另一个零点t2＜－1，舍去)，F(x)在(0,2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(0，π)；

当－1＜a＜1时，函数p(t)有一个零点t1∈(－1,0)，另一个零点t2∈(0,1)，F(x)在(0，π)和(π，2π)分别有两个零点．（步骤2）

由正弦函数的周期性，可知当a≠±1时，函数F(x)在(0，nπ)内总有偶数个零点，从而不存在正整数n满足题意．

当a＝1时，函数p(t)有一个零点t1∈(－1,0)，另一个零点t2＝1； 当a＝－1时，函数p(t)有一个零点t1＝－1，另一个零点t2∈(0,1)，（步骤3）

从而当a＝1或a＝－1时，函数F(x)在(0,2π]有3个零点．由正弦函数的周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n＝671×2＝1 342. 综上，当a＝1，n＝1 342或a＝－1，n＝1 342时，函数F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2 013个零点．（步骤4） 21．（本题满分14分） （1）（本小题满分7分）矩阵与变换

12已知直线l:axy1在矩阵A对应的变换作用下变为直线l':xby1． 01（Ⅰ）求实数a,b的值；

（Ⅱ）若点p(x0,y0)在直线上，且Ax0x0，求点p的坐标． y0y0【测量目标】矩阵与行列式初步.

【考查方式】根据直线方程在矩阵的变换求未知字母，利用点在直线上和矩阵乘积，求点坐标. 【难易程度】容易 【试题解析】（I）设直线l：ax＋y＝1上任意点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的象是M′(x′，y′)．

x1 2xx2y， y0 1yyxx2y,得（步骤1）

yy.由又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1，即x＋(b＋2)y＝1， 依题意得a=1,a=1,解得（步骤2）

b2=1,b1.x0x0x0x02y0,，得解得y0＝0.（步骤3） yyyy,0000（II）由A又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1.

故点P的坐标为(1,0)．（步骤4）

（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为(2,)，直线的极坐标方程为cos()a，且点A在直线上．

（I）求a的值及直线的直角坐标方程； （II）圆C的参数方程为π4π4x1cos，（为参数），试判断直线与圆的位置关系．

ysin【测量目标】坐标系与参数方程.

【考查方式】利用极坐标及极坐标方程求直角坐标方程，根据圆的参数方程判断直线与圆的位置关系. 【难易程度】中等

【试题解析】（I）由点A2,ππcos在直线ρ＝a上，可得a2. 44所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，

从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.（步骤1） （II）由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1， 所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1，（步骤2） 因为圆心C到直线l的距离d＝21＝＜1，

22所以直线l与圆C相交．（步骤3）

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（3）（本小题满分7分）不等式选讲：设不等式x2＜a(aN)的解集为A，且

（I）求a的值；

（II）求函数f(x)xax2的最小值．

*31A，A． 22【测量目标】绝对值不等式，基本不等式求最值.

【考查方式】根据绝对值不等式的解集判断未知参量的值，利用基本不等式求绝对值函数的最值. 【难易程度】中等 【试题解析】（I）因为解得

3131∈A，且A，所以21＜a23.又因为a∈N*，所以a＝1.（步骤1） 2（II）因为|x＋1|＋|x－2||(x＋1)－(x－2)|＝3，

当且仅当(x＋1)(x－2) 0，即－1x2时取到等号．所以f(x)的最小值为3.（步骤2）