内蒙古财经大学本科学年论文
反常积分敛散性的判定方法
作 学 专 年 学
者 院 业 级 号
陈志强
统计与数学学院 数学与应用数学 2012 级 122094102 魏运 教授 75 分
指导教师 导师职称 最终成绩
目 录
摘要 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
.. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯..1 .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯..1
关键词⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
引言 ----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯ . 2
1.无穷限反常积分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯..2
2.瑕积分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯3
3. 反常积分的性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯3
二、反常积分的收敛判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. 4
1 无穷积分的收敛判别⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯4
(1). 定义判别法
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯ 4
(2). 比较判别法
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯ 4
(3).
柯西判别法 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯ 5
(4) 阿贝尔判别法 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯.6 (5).
狄利克雷判别法 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯7
2 瑕积分的收敛判别⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯ . . ⋯8
(1). 定义判别法 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯ 8
(2). 定理判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯.9.
(3). 比较判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
.. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯9
(4). (5).
柯西判别法 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯9 阿贝尔判别法 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯.10 狄利克雷判别法 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯10.
(6).
参考文献 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯11
摘要
在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由
此得到了定积分的两种形式的推广： 无穷限反常积分和瑕积分。 我们将这两种积分统称为反常积分。 因为反常积分涉及到一个收敛问题， 所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。 本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结， 并给出了相关定理的证明， 举例说明其应用，理判断反常积分的敛散性。
关键词：反常积分
瑕积分 极限 这样将有助于我们灵活的运用各种等价定敛散性
1
引言
近些年以来，一些数学工作者对反常积分敛散性的判别方法做了研究并取得了许多重要的进展。如华东师范大学数学系编，数学分析（上册） ，对反常积分积分的定义，性质的运用及讲义其判别收敛性的方法。 华中科技大学出版的数学分析理论方法与技巧， 也对反常积分敛散性判别做了详细的讲解， 还用图形的方法说明其意义。引申出反常积分敛散性的等价定义，并通过例题说明其应用。
众多学者研究的内容全而广， 实用性很高，尤其是在研究敛散性的判别很明显，这对我现所研究的论文题目提供了大量的理论依据和参考文献， 对我完成此次论文有很大的帮助， 但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究， 而本文将对其进行归纳总结，举例说明其应用。
一 、 预备知识
1. 无穷限反常积分 定义 设函数 f ( x) 在 ａ，＋∞）有定义，若 f (x) 在 ａ， 上可积（ ）
1.1 [ [ A] A>a
且当 A→＋∞时， lim
a
A Aa
f ( x)dx 存在，称反常积分
f (x)dx 发散。
a
f ( x)dx 收敛，否则
称反常积分
a
f ( x)dx 与
对反常积分
f ( x)dx 与
a
f ( x)dx 可类似的给出敛散性定 义 。
注意：只有当
f ( x)dx 和
f ( x)dx 都收敛时，才认为
f ( x)dx 是收敛的。
2．. 瑕积分
定义 1：设 f(x) 在a 的任何邻域内均无界，则称a 为 f(x) 的一个瑕点
定义 2：设 f(x) 在
[
a,b
) 内有定义，且 b 为唯一瑕点，若
lim
b δ
δ 0
a
f ( x)dx 存
b
在，称瑕积分
f (x)dx 收敛
a
定义 3：设 C
a, b
且为f(x)
的一个瑕点，若
c
d
a
f ( x)dx 和 c f ( x)dx
b a
均收敛，则称瑕积分
f ( x)dx
3. 反常积分的性质
2
(1)Cauchy 收敛原理： a
f ( x)dx
对 ε
A
A A >A
收敛
>0，
0
0 >a, 当
1 >
2 A2
时，有f ( x ) dx
A1
<ε
g ( x)dx
(2) 线性性质：若
f ( x)dx 与
都收敛，则对任意常数 k1, k2 ，
a
a
a
k1 f ( x) k2 g ( x) dx 也 收 敛 ， 且 有
k1 (
f 2 )
x = k1
( f (kx)dx ) kg
a
2g ( x)dx
d
a
a
(3) 积分区间可加性
，
若
f ( x)dx
收 敛
， 则
a
b
ba,
,
f ( x)dx =
f ( x)dx
f ( x)dx .
a
a
b
(4) 若
f ( x) dx
f ( x)dx
f ( x) dx 。
a
收敛，则
a
≤
a
二、反常积分的敛散性判别法
1.无穷积分的敛散性判别 （1）定义判别法
设函数 f 定义在无穷区间[ a, ) 上，且在任何有限区间[a,u] 上可积. 如果存在极限
lim
u
a f ( x)dx
J ，
u则称 a f (x)dx收敛，否则发散，即相应定积分的极限存在广义积分收敛，定积分的极限不存在广义积分发散
例 1.1 计算无穷积分 0px
xe dx （ p 是常数，且 p 0 ）
解：
px
x px
px
1 px
1
p e1 0 xe dx0
2
2
e dx
p
pxx
0 p
p e
0
式中 lim xe
lim
px
xxlim x1 px 0
e
pe
3
x
(2). 比较判别法的普通形式
： f ( x), g ( x) 在 a,
有 定 义 ， 且
0 f ( x) g ( x)( x a)
f ( x)dx <
a
（a）g ( x)dx <
a
（b） a
f ( x)dx =+
sin x
0
a
g ( x)dx =+
例 1.2 讨论
dx 的收敛性
1
x 2
sin x
1 1 x
2
解：由于 1
dx
x π
2， x 0,
因为
0
收敛。
1
x
2
sin x dx 为绝对
0
2 为收敛，所以根据比较判别法
1x 2
(3). 比较判别法的极限形式： f ( x), g ( x) 在 a,
有定义，且非负，且
lim f ( x)
x
l
g ( x)
则：
l = 0a
（ ）当
时，
a
g ( x)dx <
a
f ( x)dx <
（ ）
b
g ( x)dx
=
l
+ 时， a
时，
a
f ( x)dx =
（c） 0 a a f ( x)dx 具有相同点敛散性。 证：（ 1) 若 lim x f ( x ) g ( x ) l ，由极限的性质，存在常数 A（A>a） 使 得当 x A 时成立 f ( x) < l + 1 g ( x) 即 f (x) < (l + 1) g ( x) 于是由比较判别法，当 g ( x )dx 收敛时 a 4 f ( x)dx 也收敛 a （ ）若 lim 2 x?? f ( x) = l > 0 ，由极限的性质，存在常数 （ g ( x) a ）， A A 使得当 x A 时成立 f ( x ) > l ' g ( x ) 其中 0 < l < l f ( x ) > l g ( x) ' ' 于是由比较判别法，当 g ( x)dx 发散时 a f ( x)dx a 也发散 例 1.3 讨论 1 5 x dx 的敛散性 2 1 3 x 4 3 x 3 3 2 x 1 解： lim x 4 2 1 ，而 1 1 dx 收敛， x 3 x 4 3 x 1 3 5 x 2 x 1 3 x 4 所以 13 4 3 2 dx 收敛 1 x 3 x 5 x 2 x 总结：使用比较判别法， 需要一个敛散性判别结论明确， 同时又形成简单的函 1 数作为比较对象，在上面的例子中我们都是取 好能满足这俩个条件 4). 柯西判别法： ( 设 f ( x) 在 a, p x p 为比较对象的，因为它们正 有定义，在任何有限区间 [a, u ] 上可积，且 lim x f x x λ 则有： 当 p 1, 0 λ 时， a f ( x) dx 收敛 当 p 1 ，时， f ( x) dx 发散 a (5). 阿贝尔判别法： f ( x) g ( x)dx 满足： a （ a） f ( x) 单调有界 5 （ b） g ( x)dx 收敛 a 则 a f ( x) g ( x )dx 收敛 M>0，使 f ( x ) 证： 由于存在 M A2 ( x a ) 再 由（ 2 ）可 知， 对 ε \" >0, A 0 a , 当A>A>A 时，有 210 f ( x ) g ( x)dx < ε A1 又 A 2 A1 ζ A1 f ( x) g ( x )dx = f ( A1 ) g ( x)dx f ( A2 ) A2 ζ g ( x )dx M ε εε （ + ）=2 M 再次由柯西准则知 Abel 定理成立。 例 1.4 证 sin λ arctan xdx (0< λ 1 ) 收敛 1 x x sinxλx 利用阿贝尔判别法， 因为 dx 收敛，又 arctan x 在 1, 上 1 单调有界，故 1 sin x arctan xdx 是收敛的 λ x (6). Dirichlet 判别法： a f ( x) g ( x)dx 满足 （1）f(x) 单调且趋于 0（x 0） A （2） a g ( x)dx 有界（ a>A） 则 a f ( x) g ( x)dx 收敛。 A a A M g ( x) dx 证：由于存在 M>0， g (x)dx 有界，所以有 又由于 f a （ x ） 2 0 （ x 1 ε ζ ) 故 对 对 ε>0, A0 2 ε ( a , 当 A2 >A1 > A0 时 ， 有 1 ε f ( A )- f ( A )< ζ 即 a f ( A ) < A a ， f ( A ) < ， 所 以 f ( x ) d x (g ) x d x 6 g) x2 Md x 同 理 有 A2 A1 ζ g ( x ) dx 2 M ， 故 当 A2, ζ a >A1 f ( A1 ) 时 A0， A1 ζ 有 A2 A1 f ( x ) g ( x ) dx f ( A2 ) g ( x ) dx g ( x ) dx 4 M ε sin xx 例 1.5 证积分 A dx 收敛，但不绝对收敛 1 证： 1 sin xdx 1 cos A cos 1 2 ，而 单调且当 x 时趋于 0， x 故 由 Dirichlet 判 别 法 知 s A 1 xi x ns x xi n x x 2 s s xi i 1n n sin xdx 1 x = 1 收 敛 ； 但 - cos 2 x 2 x 2 x 而 cos 2 xdx 1 sin 2 A sin 1 2 1 1 ， 2 x 单调趋于 0 ， 故 o2sx c 1 dx 收敛，而 2 x 1 dx 发散，故 1 2 x A sin xdx 发散 1 例 1.6 积分 当 p 1 0 x dx 的敛散性 p 0 时是可积的；当 p < 0 时，它是不可积的，因为这时被积 p > - 1 时收敛；当 p 函数在 [0 , 1] 上无界。但作为反常积分，当 1 时 发散；因为当 p 1 时有 lim 1 p x dx lim 1 δp 1 p 1/ p 1 ,若p 1 δ 0 δ δ 0 1 ,若p<- 1 而当 p = - 1 时有 lim 1 δ x dx lim ln 1 ln δ 1 δ 0 δ 0 例 1.7 积分 0 x dx 作为反常积分，当 p < - 1 时它收敛；当 p p 1 时 它 发 散 。这 是 因 为 当 p 1 时 有 7 lim δ 0 1 δ x dx p lim δ δ 0 1 p 1 1 1 1/ p 1 ,若p 1 若 , p>-1 p 1 而当 p=-1 时有 lim x dx lim ln δ ln 1 δ 0 δ 0 δ 2. 瑕积分的收敛判别 （1）定义判别法 设函数 f 定义在无穷区间(a,b] 上，在点 a 的任一右邻域上无界，但在任何内闭区间有限区间 [u,b] (a,b] 上有界且可积. 如果存在极限 lim u a b u f ( x)dx J ， 则称反常积分 a 例 2.1 f ( x)dx 收敛. ，否则发散 x dx 的值 21 x x 1 计算瑕积分 0 解：被积函数 f ( x) x x 0 为其瑕点 . 依定义求得 1 0 1 2 在 [0,1)上连续，从而在任何 [0, u] [0,1) 上可积， x 2 dx lim u 1 u 0 x dx lim(1 2 1 u ) 1 2 1 x 1 x x 1 (2)定理判别法（柯西收敛原理） b f ( x)dx 瑕积分 a （瑕点为 a）收敛的充要条件是：任给 ε>0 ，存 δ 在 u > 0 ， u , 1 2 δ a a 总 有 只 要 b u1 f ( x) d 2 b x ( 1 2 ) f =0< u ε x (d x) u u (3). 比较法则 设f(x) 定义于何 ( a, b ) ，a 为其瑕点，且在任 u, b a, b 上可积， 如果 lim x a p f ( x) λ x 0 8 当 p 1, 0 λ 时， f ( x) dx 收敛 a 当 p 1 ， 0 λ 时， a f ( x) dx 发散 ( 4). 柯西判别法 设 x=a 是 f(x) 的瑕点，如果 f ( x) c x a p c 0 , p 1 那么 b a f ( x)dx 绝对收敛；如果 f ( x) c x a p c 0 , p 1 那么 b a f ( x)dx 发散 例2.2讨论 1 e 0 dx x p ln x 的敛散性（ p R ） 解： x=0 是其唯一奇点。 1 p 当 0 < p < 1 时 ， 取 q 2 p ,1 ， 则 l i x q 1 e 0 p m 0 dx p ，由柯西判别法知， 收敛 x 0 x ln x x ln x 1 2 类似的， 当 p > 1 时 ， 取 q p 1, p ， 则 l i m x x 0 q 1 e 由柯西判别法知， dx p 发散 x ln x p 当 x ln x p = 1 时 ， 可 以 直 接 用 Newton-leibniz 0 公式得到 1 e dx p l i m η 0 x ln x 0 l n xl n 1 e 1 1 e dx 因此,当0< p < 1 时，反常积分 0 x ln x 收当敛 ; 当 p p1时，反常积 分 9 1 e 0 dx x ln x p 发散 ( 5). 阿贝尔判别法 设 f(x) 在 x=a 有奇点， b f ( x)dx 收敛，g(x) 单调有界，那么积分 a b a f ( x)g ( x)dx 收敛 (6). 狄利克雷判别法 b 设 f(x) 在 x=a 有奇点， f ( x)dx 是 η的有界函数， a η b g(x) 单调且当 x a 时趋于零，那么积分 f ( x) g ( x)dx a sin 1 1 2.3 讨论积分x 例 dx 0 r 2 的收敛情形 0 xr s i1 ( n 当0< r < 1) 时 ， x r x 1 r ，积分绝对收敛，又 x 1 1 1 1 1sin 1 x 1 1 sin dx cos 1 cos 2 r dx1 x2 r 2 sin dx η x 2 x η 0 x 0 x x 当2- r 2 - r > 0 即 r < 2 时，由狄利克雷判别法，从 x 单调趋向于零（ x 推 知 积 分 收 敛 .当 r = 2 时 1 1 s1 n 0时o无极限 dxi1 1 当 ηc s， c 0 x2 x η 所 以 积s 1 1i n 发r0 r x 0x d 2 散 x 参考文献 10 0 ），o 分 s , 【1】欧阳光中，《 数学分析 》第三版下册，高等教育出版社 【 2】陈纪修，《数学分析》第二版下册，高等教育出版社 【 3】陈天权，《 数学分析讲义 》第一册，北京大学出版社 【 4】中国科学院，《 数学分析习题详解 》第二版上册，吉林大学出版社 【 5】华东师范大学数学系，《 数学分析 》第四版下册，高等教育出版社 11 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容