统计学公式大全

第1章 随机事件及其概率

nPm（1）排列组合公式 nCmm! 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 (mn)!m! 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 n!(mn)!（2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。 为必然事件，Ø为不可能事件。 不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：（3）一些常见排列 （4）随机试验和随机事件 （5）基本事件、样本空间和事件 AB （6）事件的关系与运算 如果同时有AB，BA，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：AB，或者AB。AB=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率：i1AAii1i ABAB，ABAB 设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 （7）概率的公理化定义 3° 对于两两互不相容的事件A1，A2，…有 PAiP(Ai)i1i1 常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件A的概率。 1,2n， 1° 2° P(1)P(2)P(n)（8）古典概型 1。 n设任一事件A，它是由1,2m组成的，则有 P(A)=(1)(2)(m) =P(1)P(2)P(m) mA所包含的基本事件数 基本事件总数n（9）几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A， P(A)（10）加法公式 （11）减法公式 L(A)。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。 L()P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B)=1- P(B) 定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称P(AB)为事件A发生条件下，事P(A)（12）条件P(AB)概率 件B发生的条件概率，记为P(B/A)。 P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

（13）乘法公式 例如P(Ω/B)=1P(B/A)=1-P(B/A) 乘法公式：P(AB)P(A)P(B/A) 更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有 P(A1A2…An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2…An1)。 ①两个事件的独立性 设事件A、B满足P(AB)P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立，且P(A)0，则有 P(B|A)P(AB)P(A)P(B)P(B)P(A)P(A) （14）独立性 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。 必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。 Ø与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 设事件B1,B2,,Bn满足 1°B1,B2,,Bn两两互不相容，P(Bi)0(i1,2,,n)， （15）全概公式 2°则有 ABii1n， P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。 设事件B1，B2，…，Bn及A满足 1° B1，B2，…，Bn两两互不相容，P(Bi)>0，i2° 则 （16）贝叶斯公式 1，2，…，n， ABii1n，P(A)0， P(Bi/A)P(Bi)P(A/Bi)P(B)P(A/B)jjj1n，i=1，2，…n。 此公式即为贝叶斯公式。 P(Bi)，（i1，2，…，n），通常叫先验概率。P(Bi/A)，（i1，2，…，n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了（17）伯努利概型 “由果朔因”的推断。 我们作了n次试验，且满足  每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；  n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；

 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。 用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1pq，用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0kn)次的概率， Pn(k)Cnpkqnkk，k0,1,2,,n。 第二章 随机变量及其分布

（1）离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,…， 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： Xx1,x2,,xk,|P(Xxk)p1,p2,,pk,。 显然分布律应满足下列条件： （1）pk0，k1,2,， （2）k1（2）连续型随机变量的分布密度 pk1。 设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数x，有 F(x)xf(x)dx， 则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 密度函数具有下面4个性质： 1° f(x)0。 2° f(x)dx1。 （3）离散与连续型随机变量的关系 P(Xx)P(xXxdx)f(x)dx 积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(Xxk)pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

（4）分布函数 设X为随机变量，x是任意实数，则函数 F(x)P(Xx) 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 P(aXb)F(b)F(a) 可以得到X落入区间(a,b]的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1° 0F(x)1, x； 2° F(x)是单调不减的函数，即x1x2时，有 F(x1)F(x2)； 3° F()limF(x)0， F()limF(x)1； xx4° F(x0)F(x)，即F(x)是右连续的； 5° P(Xx)F(x)F(x0)。 对于离散型随机变量，F(x)xkxxpk； 对于连续型随机变量，F(x)（5）八大分布 0-1分布 二项分布 f(x)dx 。 P(X=1)=p, P(X=0)=q 在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,,n。 kP(Xk)Pn(k)Cnpkqnk， 其中q1p,0p1,k0,1,2,,n， 则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为X~B(n,p)。 当n1时，P(Xk)pqk1k，k0.1，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布 设随机变量X的分布律为 P(Xk)kk!e，0，k0,1,2， 则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X~()或者P()。 泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。 超几何分布 knkk0,1,2,lCM•CNM P(Xk),nlmin(M,n)CN随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。 几何分布 P(Xk)qk1p,k1,2,3,，其中p≥0，q=1-p。 随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。 设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数f(x)在[a，b]上为常数 均匀分布 1，即 ba1a≤x≤b ,f(x)ba 其他， 0,则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。 分布函数为 0， xb。 当a≤x1指数分布 f(x) ex, x0, 0, x0, 其中0，则称随机变量X服从参数为的指数分布。 X的分布函数为 x1e, x0, F(x) 0, x<0。 记住积分公式： x0nexdxn! 正态分布 设随机变量X的密度函数为 20为常数，其中、则称随机变量X服从参数为、2X~N(,)。 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为f(x)1e(x)222， x， f(x)具有如下性质： 1° f(x)的图形是关于x对称的； 2° 当x时，f()1222X~N(,)(t)X的分布函数为 若x，则122F(x)edt2。。 为最大值； 参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为X~N(0,1)，其密度函数记为x2 12(x)e2，x， 分布函数为 (x)1x2(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 et22dt。 1。 2X2如果X~N(,)，则~N(0,1)。 x2xP(x1Xx2)1。 Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝

（6）分位数 （7）函数分布 下分位表：P(X)＝； 上分位表：P(X)＝。 离散型 已知X的分布列为 x1,x2,,xn,X ， P(Xxi)p1,p2,,pn,Yg(X)的分布列（yig(xi)互不相等）如下： g(x1),g(x2),,g(xn),Y， P(Yyi)p1,p2,,pn,若有某些g(xi)相等，则应将对应的pi相加作为g(xi)的概率。 连续型 先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。 第三章 二维随机变量及其分布

（1）联合分布 离散型 如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。 设=（X，Y）的所有可能取值为(xi,yj)(i,j1,2,)，且事件{=(xi,yj)}的概率为pij,,称 P{(X,Y)(xi,yj)}pij(i,j1,2,) 为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： Y X y1 p11 p21 y2 p12 p22 … … … … yj p1j p2j … … … x1 x2  xi  pi1   pij  …      这里pij具有下面两个性质： （1）pij≥0（i,j=1,2,…）； （2）ijpij1.

连续型 对于二维随机向量(X,Y)，如果存在非负函数f(x,y)(x,y)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|ax1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2) ≥F(x,y1); （3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即 F(x,y)F(x0,y),F(x,y)F(x,y0); （4）F(,)F(,y)F(x,)0,F(,)1. （5）对于x1x2，y1y2， F(x2，y2)F(x2，y1)F(x1，y2)F(x1，y1)0. （4）离散型与连续型的关系 P(Xx，Yy)P(xXxdx，yYydy)f(x，y)dxdy

（5）边缘分布 离散型 X的边缘分布为 Pi•P(Xxi)pij(i,j1,2,)； jY的边缘分布为 P•jP(Yyj)pij(i,j1,2,)。 i连续型 X的边缘分布密度为 fX(x)fY(y)（6）条件分布 离散型 f(x,y)dy； Y的边缘分布密度为 f(x,y)dx. 在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为 P(Yyj|Xxi)pijpi•pijp•j ；在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为 P(Xxi|Yyj)连续型 , 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为 f(x|y)f(x,y)； fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为 f(y|x)（7）独立性 一般型 离散型 f(x,y) fX(x)F(X,Y)=FX(x)FY(y) pijpi•p•j 有零不独立 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形 连续型 二维正态分布 f(x,y)121212ex22(x)(y)y112222(1)112212, ＝0 随机变量的函数 若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立， h,g为连续函数，则： h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。 特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。 例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。

（8）二维均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 1SDf(x,y)0,(x,y)D 其他其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。 例如图3.1、图3.2和图3.3。 y 1 D1 O 1 图3.1 x y 1 O 图3.2 1 D2 2 x y d D3 c O a b x 图3.3

（9）二维正态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 f(x,y)121212ex22(x)(y)y112222(1)112212, 其中1,2,10,20,||1是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布， 22记为（X，Y）～N（1,2,1,2,). 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布， 22即X～N（1,1),Y~N(2,2). 22但是若X～N（1,1),Y~N(2,2)，(X，Y)未必是二维正态分布。 （10）函数分布 Z=X+Y 根据定义计算：FZ(z)P(Zz)P(XYz) 对于连续型，fZ(z)＝f(x,zx)dx 22两个独立的正态分布的和仍为正态分布（12,12）。 n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 Cii， 2Ci2i2 iiZ=max,min(X1,X2,…Xn) 若X1,X2Xn相互独立，其分布函数分别为Fx1(x)，Fx2(x)Fxn(x)，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为： Fmax(x)Fx1(x)•Fx2(x)Fxn(x) Fmin(x)1[1Fx1(x)]•[1Fx2(x)][1Fxn(x)]

2分布 设n个随机变量X1,X2,,Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和 WXi2 i1n的分布密度为 nu11u2e2nnf(u)2220,u0, u0.22我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为W～(n)，其中 n21xxedx. 20所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。 n2分布满足可加性：设 Yi2(ni), 则 ZYi~2(n1n2nk). i1kt分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且 X~N(0,1),Y~2(n), 可以证明函数 T的概率密度为 XY/n n1t22f(t)1nnn2t1(n)t(n) n12 (t). 我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。

F分布 设X~(n1),Y~(n2)，且X与Y独立，可以证明22FX/n1的概率密度函数为 Y/n2n1n2n12f(y)n1n2n222yn12n112n11yn2n1n22,y0 0,y0我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2). F1(n1,n2)1 F(n2,n1)第四章 随机变量的数字特征

（1）一维随机变量的数字特征 期望 期望就是平均值 离散型 设X是离散型随机变量，其分布律为P(Xxk)＝pk，k=1,2,…,n， 连续型 设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)， E(X)E(X)xkpk k1nxf(x)dx （要求绝对收敛） （要求绝对收敛） 函数的期望 Y=g(X) Y=g(X) nE(Y)g(xk)pk k1E(Y)g(x)f(x)dx  方差 2D(X)=E[X-E(X)]， 标准差 D(X)[xkE(X)]2pk kD(X)[xE(X)]2f(x)dx (X)D(X)，

矩 ①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即 νk=E(X)= k①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即 νk=E(X)=kxikipi, xkf(x)dx, k=1,2, …. ②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期 k=1,2, …. ②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X望为X的k阶中心矩，记为k，的k阶中心矩，记为k，即 即 kE(XE(X))k.=kE(XE(X))k ， .= (xiiE(X))kpi(xE(X))kf(x)dx, k=1,2, …. 2k=1,2, …. 切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式 2P(X)2 切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率 P(X) 的一种估计，它在理论上有重要意义。 （2）期望的性质 （1） E(C)=C （2） E(CX)=CE(X) （3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(CXii1ni)CiE(Xi) i1n（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 （3）方差的性质 （1） D(C)=0；E(C)=C 2（2） D(aX)=aD(X)； E(aX)=aE(X) 2（3） D(aX+b)= aD(X)； E(aX+b)=aE(X)+b 22（4） D(X)=E(X)-E(X) （5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。 0-1分布B(1,p) 期望 方差 （4）常见分布

p p(1p)

的期望和方差 二项分布B(n,p) 泊松分布P() np np(1p)  1 p 1p 2pnMMNn1 NNN1几何分布G(p) 超几何分布H(n,M,N) nM Nab 2均匀分布U(a,b) (ba)2 12指数分布e() 正态分布N(,) 21 12  n 0 2 2n 2分布 t分布 （5）二维随机变量的数字特征 期望 nn(n>2) n2E(X)xipi• i1E(X)xfX(x)dx E(Y)yjp•j j1nE(Y)yfY(y)dy 函数的期望 E[G(X,Y)]＝ E[G(X,Y)]＝ G(x,yiijj)pij －－G(x,y)f(x,y)dxdy 方差 D(X)[xiE(X)]2pi• iD(X)[xE(X)]2fX(x)dx D(Y)[xjE(Y)]2p•j jD(Y)[yE(Y)]2fY(y)dy 

协方差 对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩11为X与Y的协方差或相关矩，记为XY或cov(X,Y)，即 XY11E[(XE(X))(YE(Y))]. 与记号XY相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为XX与YY。 相关系数 对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称 XYD(X)D(Y) 为X与Y的相关系数，记作XY（有时可简记为）。 ||≤1，当||=1时，称X与Y完全相关：P(XaYb)1 完全相关正相关，当1时(a0)，负相关，当1时(a0)， 而当0时，称X与Y不相关。 以下五个命题是等价的： ①XY0； ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵 XXYXXY YYkl混合矩 对于随机变量X与Y，如果有E(XY)存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为kl；k+l阶混合中心矩记为： uklE[(XE(X))k(YE(Y))l]. （6）协方差的性质 (i) (ii) (iii) (iv) cov (X, Y)=cov (Y, X); cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).

（7）独立和不相关 （i） （ii） 若随机变量X与Y相互独立，则XY0；反之不真。 若（X，Y）～N（1,2,1,2,）， 则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。 22第五章 大数定律和中心极限定理

（1）大数定律 X 切比雪夫大数定律 设随机变量X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）（2）中心极限定理 XN(,2n) 列维－设随机变量X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具有林德伯相同的数学期望和方差：格定理 E(Xk),D(Xk)20(k1,2,)，则随机变量 YnXk1nkn n的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有 nXnk1k1limFn(x)limPxnnn2此定理也称为独立同分布的中心极限定理。 棣莫弗－拉普拉斯定理 xet22dt. 设随机变量Xn为具有参数n, p(0（1）数理统计的基本概念 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。 总体中的每一个单元称为样品（或个体）。 个体

样本 我们把从总体中抽取的部分样品x1,x2,,xn称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，x1,x2,,xn表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，x1,x2,,xn表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。 样本函数和统计量 设x1,x2,,xn为总体的一个样本，称  （x1,x2,,xn） 为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（x1,x2,,xn）为一个统计量。 常见统计量及其性质 样本均值 样本方差 1nxxi. ni1n12S2(xx). in1i1样本标准差 1nS(xix)2. n1i1 样本k阶原点矩 1nkMkxi,k1,2,. ni1样本k阶中心矩 1n(xix)k,k2,3,. Mkni1E(X)，D(X)2n， E(S2)2，E(S*2)2n12, n1n2其中S*(XiX)，为二阶中心矩。 ni1

（2）正态总体下的四大分布 正态分布 设x1,x2,,xn为来自正态总体N(,)的一个样本，则样本函数 2ut分布 defx/n~N(0,1). 2设x1,x2,,xn为来自正态总体N(,)的一个样本，则样本函数 tdefxs/n~t(n1), 其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。 2分布 设x1,x2,,xn为来自正态总体N(,)的一个样本，则样本函数 2w2def(n1)S22~2(n1), 2其中(n1)表示自由度为n-1的分布。 F分布 2设x1,x2,,xn为来自正态总体N(,1)的一个样本，而2y1,y2,,yn为来自正态总体N(,2)的一个样本，则样本函数 F其中 defS12/12S/2222~F(n11,n21), 1n1S(xix)2, n11i1211n2S(yiy)2; n21i122F(n11,n21)表示第一自由度为n11，第二自由度为n21的F分布。 （3）正态总体下分布的性质 X与S2独立。 第七章 参数估计

（1）点估计 矩估计 设总体X的分布中包含有未知数1,2,,m，则其分布函数可以表成F(x;1,2,,m).它的k阶原点矩vkE(Xk)(k1,2,,m)中也包含了未知参数1,2,,m，即vkvk(1,2,,m)。又设x1,x2,,xn为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为 1nkxi (k1,2,,m). ni1这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有 1nv1(1,2,,m)nxi,i11n2v2(1,2,,m)xi,ni1 nv(,,,)1xim.m12mni1由上面的m个方程中，解出的m个未知参数(1,2,,m)即为参数（1,2,,m）的矩估计量。 ˆ)为g()的矩估计。 若为的矩估计，g(x)为连续函数，则g(

极大似然估计 当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为f(x;1,2,,m)，其中1,2,,m为未知参数。又设x1,x2,,xn为总体的一个样本，称 L(1,2,,m)f(xi;1,2,,m) i1n为样本的似然函数，简记为Ln. 当总体X为离型随机变量时，设其分布律为P{Xx}p(x;1,2,,m)，则称 L(x1,x2,,xn;1,2,,m)p(xi;1,2,,m) i1n为样本的似然函数。 若似然函数L(x1,x2,,xn;1,2,,m)在1,,,m处取2到最大值，则称1,,,m分别为1,2,,m的最大似然估计值，2相应的统计量称为最大似然估计量。 lnLni 0,i1,2,,m iiˆ)为g()的极大若为的极大似然估计，g(x)为单调函数，则g(似然估计。 （2）估计量的评选标准 无偏性 设(x1,x2,,xn)为未知参数的估计量。若E （）=，则称 为的无偏估计量。 E（X）=E（X）， E（S）=D（X） 2有效性 设11(x1,x,2,,xn)和22(x1,x,2,,xn)是未知参数的两个无偏估计量。若D(1)D(2)，则称1比2有效。 

一致性 设n是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有 nlimP(|n|)0, 则称n为的一致估计量（或相合估计量）。 ˆ)0(n),则为的一致估计。 若为的无偏估计，且D(只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。 （3）区置信区间估计 间和置信度 设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本x1,x,2,,xn出发，找出两个统计量11(x1,x,2,,xn)与22(x1,x,2,,xn)(12)，使得区间[1,2]以1(01)的概率包含这个待估参数，即 P{12}1, 那么称区间[1,2]为的置信区间，1为该区间的置信度（或置信水平）。 单正总体期望方差区间计 态的和的估设x1,x,2,,xn为总体X~N(,)的一个样本，在置信度为1下，我们来确定和的置信区间[1,2]。具体步骤如下： （i）选择样本函数； （ii）由置信度1，查表找分位数； （iii）导出置信区间[1,2]。 已知方差，估计均值 （i）选择样本函数 22ux0/n~N(0,1). (ii) 查表找分位数 xP1. 0/n（iii）导出置信区间 00x,x nn

未知方差，估计均值 （i）选择样本函数 t xS/n~t(n1). (ii)查表找分位数 xP1. S/n（iii）导出置信区间 SSx,x nn方差的区间估计 （i）选择样本函数 w(n1)S22~2(n1). （ii）查表找分位数 (n1)S2P21. 21（iii）导出的置信区间 n1n1S,S 21第八章 假设检验

基本思想 假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。 为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。 这里所说的小概率事件就是事件{KR}，其概率就是检验水平α，通常我们取α=0.05，有时也取0.01或0.10。 基本步骤 假设检验的基本步骤如下： (i) 提出零假设H0； (ii) 选择统计量K； (iii) 对于检验水平α查表找分位数λ； (iv) 由样本值x1,x2,,xn计算统计量之值K； 将K与进行比较，作出判断：当|K|(或K)时否定H0，否则认为H0相容。

两类错误 第一类错误 当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即 P{否定H0|H0为真}=； 此处的α恰好为检验水平。 当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即 P{接受H0|H1为真}=。 第二类错误 两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时，变小，则变大；相反地，变小，则变大。取定要想使变小，则必须增加样本容量。 在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把α取得很小，如0.01，甚至0.001。反之，则应把α取得大些。 单正态总体均值和方差的假设检验

条件 零假设 统计量 对应样本 函数分布 否定域 H0:0 已知 2|u|uUx0 12 H0:0 H0:0 H0:0 0/nN（0，1） uu1 uu1 |t|tTx0S/n 12(n1) 未知 2H0:0 H0:0 t(n1) tt1(n1) tt1(n1) 未知 2H0: 22w(n1)S2202w(n1)或 2(n1) 2w212(n1)

2H0:20 2H0:20 w12(n1) 2w(n1)