南京市中考数学复习题及答案 (293)

27．（11分）在解决数学问题时，我们常常从特殊入手，猜想结论，并尝试发现解决问题的

策略与方法．

【问题提出】求证：如果一个定圆的内接四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形的对边的平方和是一个定值． 【从特殊入手】

我们不妨设定圆O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．请你在图①中补全特殊位置时的图形，并借助所画图形探究问题的结论． 【问题解决】

已知：如图②，定圆O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD． 求证： AB2+CD2＝AD2+BC2＝4R2 ． 证明：

【分析】【从特殊入手】：根据正方形的性质、勾股定理计算；

【问题解决】：根据题意写出已知、求证，连接CO并延长交定圆O于E，连接DE，根据圆周角定理证明∠ACB＝∠DCE，得到AB＝DE，根据勾股定理计算． 【解答】解：【从特殊入手】 如图，AC、BD是互相垂直的直径， ∴四边形ABCD是正方形， ∴AB2＝2R2，CD2＝2R2， ∴AB2+CD2＝4R2， 同理，AD2+BC2＝4R2， ∴AB2+CD2＝AD2+BC2＝4R2； 【问题解决】

已知：如图②，定圆O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD． 求证：AB2+CD2＝AD2+BC2＝4R2，

证明：连接CO并延长交定圆O于E，连接DE，

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∵AC⊥BD，

∴∠DBC+∠ACB＝90°， ∵CE是定圆O的直径， ∴∠DEC+∠DCE＝90°，

由圆周角定理得，∠DBC＝∠DEC， ∴∠ACB＝∠DCE， ∴

＝

，

∴AB＝DE，

在Rt△EDC中，DE2+CD2＝4R2， ∴AB2+CD2＝4R2， 同理，AD2+BC2＝4R2， ∴AB2+CD2＝AD2+BC2＝4R2， 故答案为：AB2+CD2＝AD2+BC2＝4R2．

【点评】本题考查的是圆的知识的综合应用，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．

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