法律分析：
正确的程序是：
用人单位提前一个月通知合同到期人员，征询他们是否愿意续签劳动合同，如果愿意，则签订新的劳动合同。如果不愿意，旧的劳动合同的期限到期时，合同自然终止。老员工也可以在劳动合同到期前，与用人单位协商续签劳动合同。
法律依据：
《中华人民共和国劳动合同法》
第三条 订立劳动合同，应当遵循合法、公平、平等自愿、协商一致、诚实信用的原则。依法订立的劳动合同具有约束力，用人单位与劳动者应当履行劳动合同约定的义务。
第十条 建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。用人单位与劳动者在用工前订立劳动合同的，劳动关系自用工之日起建立。
第三十六条 用人单位与劳动者协商一致，可以解除劳动合同。
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