高等数学题库

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Final revision on November 26, 2020

高等数学（专升本）-学习指南

一、选择题

1．函数zlnx2y224x2y2的定义域为【 D 】

A．x2y22 B．x2y24 C．x2y22 D．2x2y24 2．设f(x)在xx0处间断，则有【 D 】 A．f(x)在xx0处一定没有意义；

f(x)limf(x))； B．f(x00)f(x0); (即xlimx0xx0limf(x)不存在，或limf(x)； C．xx0xx0D．若f(x)在xx0处有定义，则xx0时，f(x)f(x0)不是无穷小

2313．极限lim22nn2nnn【B 】 n211A． B． C．1 D． 0

424．设ytan2x，则dy【 A 】

A．2tanxsec2xdx B．2sinxcos2xdx C．2secxtan2xdx D．2cosxsin2xdx 5．函数y(x2)2在区间[0,4]上极小值是【 D 】 A．-1 B．1 C．2 D．0

6．对于函数fx,y的每一个驻点x0,y0，令Afxxx0,y0，Bfxyx0,y0，

Cfyyx0,y0，若ACB20，则函数【C】

A．有极大值 B．有极小值 C．没有极值 D．不定 7．多元函数fx,y在点x0,y0处关于y的偏导数fyx0,y0【C】 A．limfx0x,y0fx0,y0fx0x,y0yfx0,y0 B．lim

x0xxx0C．limy0fx0,y0yfx0,y0fx0x,y0yfx0,y0 D．lim

y0yy8．向量a与向量b平行，则条件：其向量积ab0是【B】

A．充分非必要条件 B．充分且必要条件

C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 9．向量a、b垂直，则条件：向量a、b的数量积ab0是【B】 A．充分非必要条件 B．充分且必要条件

C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 10．已知向量a、b、c两两相互垂直，且a1，b2，c3，求

abab【C】

A．1 B．2 C．4 D．8 11．下列函数中，不是基本初等函数的是【B】

sinx12yylnxA．y BC ． ． D．y3x5 cosxexxy212．二重极限limx2y4【D】

x0y01A．等于0 B．等于1 C．等于 D．不存在

213．无穷大量减去无穷小量是【D】

A．无穷小量 B．零 C．常量 D．未定式

1cos2x【C】 14．limx0sin23x121A．1 B． C． D．

39915．设yex(sinxxcosx)，则y'【D】 A．ex(sinxxcosx) B．xexsinx

C．ex(cosxxsinx) D．ex(sinxxcosx)xexsinx

16．直线L1上的一个方向向量s1m1,n1,p1，直线L2上的一个方向向量

s1m2,n2,p2，若L1与L2平行，则【B】 A．m1m2n1n2p1p21 B．

m1n1p1 m2n2p2C．m1m2n1n2p1p20 D．

m1n1p11 m2n2p217．平面1上的一个方向向量n1A1,B1,C1，平面2上的一个方向向量

n2A2,B2,C2，若1与2垂直，则【C】 A．A1A2B1B2C1C21 B．

A1B1C1 A2B2C2A1B1C11 A2B2C2C．A1A2B1B2C1C20 D．

18．若无穷级数un收敛，而un发散，则称称无穷级数un【C】

n1n1n1A．发散 B．收敛 C．条件收敛 D．绝对收敛 19．下面哪个是二次曲面中抛物柱面的表达式【A】 A．x2ay B．x2ay2

x2y2x2y2C．221 D．221

abab20．设D是矩形：0xa,0yb，则dxdy【 A 】

DA. ab B. 2ab C. k(ab) D. kab 21．设fxx1，则ffx1【 D】

A．x B．x1 C．x2 D．x3 22．利用变量替换ux,vA．uzzyz化为新的方程【 A 】 ，一定可以把方程xyxyxzzzzz B．vz C．uz D．vz uvvux223．曲线ye在点(0,1)处的切线斜率是【 A 】

111A． B．e C．2 D．e2

222n24．limn【 A 】

n3111A．0 B． C． D．

432sinx【 C】

xxA．cosx B．tanx C．0 D．1

25．lim26．已知向量m3,5,8，n2,4,7，p5,1,4，求向量a4m3pn在y轴上的投影及在z轴上的分量【A】

A．27，51 B．25，27 C．25，51 D．27，25

27．向量a与x轴与y轴构成等角，与z轴夹角是前者的2倍，下面哪一个代表的是a的方向【C】

A．2，2，4 B．4，4，8

C．4，4，2 D．，2，2

28．已知向量a垂直于向量b2i3jk和ci2j3k，且满足于

ai2j7k10，求a=【B】

A．7i5jk B．7i+5j+k C．5i3jk D．5i+3j+k

29．若无穷级数un收敛，且un收敛，则称称无穷级数un【D】

n1n1n1A．发散 B．收敛 C．条件收敛 D．绝对收敛 30．设D是方形域：0x1,0y1，xyd【 D 】

DA. 1 B.

12 C. 13 D. 14

31．若fxexaxx1，x0为无穷间断点，x1为可去间断点，则a【C A．1 B．0 C．e D．e1

32．设函数f(x),g(x)是大于零的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0， 则当axb时，有【 A 】

A．f(x)g(b)f(b)g(x) B．f(x)g(a)f(a)g(x) C．f(x)g(x)f(b)g(b) D．f(x)g(x)f(a)g(a) 33．函数函数2yx35可能存在极值的点是【 B 】

】

A．x5 B．x0 C．x1 D．不存在 34．yxtanx3secx，则y'【 D 】 A．tanx3secxtanx B．tanxxsec2x

C．xsec2x3secxtanx D．tanxxsec2x3secxtanx

35．设yxsin1x，则dy【 C 】

A．(sin1x1xcos1x)dx B．(cos1x11xsinx)dx

C．(sin1x1xcos1x)dx D．(cos1x1xsin1x)dx

36．设直线x3yky4与平面2x9y3z100平行，则k等于【 A 】

A. 2 B. 6 C. 8 D. 10

37．若f(x,y)2x2y，则f'x(1,0)【 A 】

A. 4 B. 0 C. 2 D. 1

38．f'x(x,y)和f'y(x,y)在点(x0,y0)连续是f(x,y)在点(x0,y0)可微分的【 A A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件 39．在xoy面上求一个垂直于向量a5,3,4，且与a等长的向量b=【D】

A．271715,15,0 B．2517,1517,0

C．172715,15,0 D．1517,2517,0

40．微分方程xdydxyx3的通解是【B 】 A. x3x3x3x34cx B. 2cx C. 2c D. 4cx 二、判断题 1．

y1,y2是齐次线性方程的解，则C1y1C2y2也是。（ 对 ）

2．yfy,y（不显含有x），令yp，则yp。（错 ） 3．对于无穷积分，有bbfxdxtlimtfxdx。（对 ）

】 4．fx在x0的邻域内可导，且fx00，若：当xx0时，fx0；当xx0时，fx0。则x0为极小值点。（错）

5．fx在a,b上连续，在a,b上有一阶导数、二阶导数，若对于

xa,b,fx0,则fx在a,b上的图形是凸的。（对） 6．二元函数z2x2y2的极大值点是0,0。（对 ）

dz1。（错） dx8．设V由0x1，0y1，0z1所确定，则dv1。（对 ）

7．设zarctanxy，其中yex，则

v9．函数zlnxlny的定义域是x,y|x0,y0。（对 ） 10．设zxexy，则11．

z1xyexy。（对） xy1,y2是齐次线性方程的线性无关的特解，则C1y1C2y2是方程的通解。(对)

xxdxdvdxvy。(对) ，设v，则

ydydydyybbta12．齐次型微分方程

fxdx，其中a为瑕点。(对) 13．对于瑕积分，有afxdxlimt14．fx在x0的邻域内可导，且fx00，若：当xx0时，fx0，当xx0时，fx0。则x0为极大值点。(错)

15．设yf(x)在区间I上连续，x0是fx的内点，如果曲线yf(x)经过点

x,fx时，曲线的凹凸性改变了，则称点x,fx为曲线的拐点。(对)

16．设D是矩形区域x,y|0x1,0y3，则dxdy1 （错 ）

0000D17．若积分区域D是1x2y24，则dxdy3。（对 ）

D18．设V是由zxy，1z4所确定，函数fz在1,4上连续，那么

22vfzdxdydz4e1。（对）

19．设不全为0的实数1，2，3使1a2b3c0，则三个向量a,b,c共面。（对）

20．二元函数z6xx24yy2的极大值点是极大值f3,236。（对 ）

21．若yC1y1C2y2y*为非齐次方程的通解，其中

y1,y2为对应齐次方程的解，

y*为非齐次方程的特解。(错)

22．若函数fx在区间a,b上连续，则a,b，使得fxdxfba。

ab(对)

23．函数fx在x0点可导fx0fx0。(对)

24．fx在x0处二阶可导，且fx00，fx00。若fx00，则x0为极大值点。(对)

fx，则xa为一条水平渐近线。(错) 25．若limxa26．设表示域：x2y2z21，则zdv1。（错）

1xecex。（对） 228．设a3，b5，c4，且满足abc0，则abbcca6。

27．微分方程yyex的通解为y（错）

4x1yz。（对） 29．zlnx,则22xx2xyx30．设D为O0,0，A1,0与B0,1为顶点三角形区域，

Dfx,ydxdy10dxfx,ydy。（对）

0x31．若yCyCyy*为非齐次方程的通解，其中

1122y1,y2为对应齐次方程的解，

y*为非齐次方程的解。（错 ）

32．若Fx为fx的一个原函数，则afxdxFbFa。（对 ） 33．函数可微可导，且dyfx0xfx0dx。（对）

34．fx在x0处二阶可导，且fx00，fx00。若fx00，则x0为极小值点。（对）

bfxb，则yb为一条铅直渐近线。（错） 35．若limx36．二元函数z3x2y2的最小值点是0,0。（对）

37．微分方程yy2sinx的一个特解应具有的形式是axbsinxcxdcosx。（对）

2zx38．设zxlnxy，则（错 ） 2xyxy39．微分方程y2y2yex的通解为yabxexcx2ex。（对） 40．设V由xyzk，0x1，0y1，z0所确定，且xdxdydzv7，则414。（对 ） 3三、填空题

ksinx2x0yy() 。 1．若，则22x10x22．求yarcsinx的导数y 。 3．设yarctan1，则dy 。 x4．设aik,b2i3jk,求ab 。

x展开成x的幂级数是 。

2xx21x2sin6．极限x 。 limx0sinx5．将函数f(x)3x34x227．求lim3 。

x7x5x23x23x2sinx8．lim2 。

xxx2cosx9．设ABC的顶点为A(3,0,2),B(5,3,1),C(0,1,3)，求三角形的面积是 。 10．无穷级数(1)nn012(nn1)的和是 。 2nx2axb2，则a_____，b_____。 11．已知lim2x2xx212．已知yx1x2，求y

x3x4 。

213．(2cosxcscx)dx 。

14．求平行于z轴，且过点M11,0,1和M22,1,1的平面方程是 。

15．无穷级数16．lim(n1)!的收敛发散性是 。 n1nn1tanxsinx 。

x0tan33x1dx 。 17．计算广义积分1x218．设y3x(xcotx)cosx，则y' 。 19．幂级数(1)n1(1n11)x2n的收敛区间是 。

n(2n1)(1)n1x2n120．幂级数的收敛域是 。

n(2n1)n1四、解答题

1．圆柱形罐头，高度H与半径R应怎样配，使同样容积下材料最省

IxyzdV2．求，其中V是由平面x0，y0，z0及xyz1所围成的区

V域。 3．求

Ix2y2d，其中是圆环a2x2y2b2。

，其中是由yx2,x1,y0所围成的区域。

4．求二重积分

Ix2y2d5．求zx3y33xy的极值。 五、证明题 1． 2．

求证：当λ>1时，级数求证级数：

1n2为一绝对收敛级数。

的和是1。

3．求证：级数en1发散。

4．求证：limx0y0xy不存在。 xy5．求证方程在0与1之间至少有一个实根。 高等数学（专升本）-学习指南答案

一、选择题 1．D

解：z的定义域为：

22xy20 2x2y24，故而选224xy0D。

2．D

解：由基本定理知D正确。 3．B

解：有题意，设通项为：

21lim原极限等价于：n22nnn111lim n2n22n24．A

解：对原式关于x求导，并用导数乘以dx项即可，注意三角函数求导规则。

dy2tanxsec2x，即dy2tanxsec2xdx 所以，dx5．D

解：对y关于x求一阶导，并令其为0，得到2x20； 解得x有驻点：x=2，代入原方程验证0为其极小值点。 6．C

解：由多元函数极值的性质得到C 7．C

解：由多元函数偏微分的基本定义得到C 8．B

解：由向量积的基本定义及计算性质得到B 9．B

解：由基本定义及概念得到B 10．C

解：因为向量a与b垂直，所以sina,b1，故而有： 11．B

解：因为ylnx2是由ylnu，ux2复合组成的，所以它不是基本初等函数。 12．D

xy2klim解：xkyx2y41k2y0与k相关，因此该极限不存在。

13．D

解：所谓的无穷大量，或者无穷小量只是指的是相对而言，变量的一种变化趋势，而非具体的值。

所以，相对的无穷大量减去相对的无穷小量没有实际意义，是个未定式。 14．C

解：根据原式有： 15．D

解：对原式直接求导，注意乘积项的求导即可。

16．B

由两直线平行的的判定性质直接可以得到B 17．C

解：由平面垂直的基本性质得到C 18．C

解：由无穷级数收敛的定义得到A 19．A

解：由抛物柱面的基本定义得到A 20．A

解：关于单位1对于一个矩形区域进行二重积分就是计算矩形区域的面积。 由题意知：0xa,0yb，则：dxdya0b0ab

D21．D

解：由于f(x)x1，得 f(f(x)1)(f(x)1)1＝f(x)2 将f(x)x1代入，得f(f(x)1)=(x1)2x3 22．A

解：z是x，y的函数，从ux，v可得xu，yuv，故z是u，v的函数，又因为ux，v。

所以z是x,y的复合函数，故

zzzyzzzz1zzzy0，从而 12，

yuvxxuvxzzyxyx左边=xxyyxuxvxvxuuu 因此方程变为： u23．A

xx212解：yee。

2x12所以，在点(0,1)处，切线的斜率是：e2yzzz ux01 224．A 解：因为021 3n2n2limnlim， n3n32n所以limn0

n325．C

解：因为 1sinx1有界，

sinx0 所以 limxx26．解：A

因此 Prjya27，azk51k 27．解：C

设a的方向角为、、，按题意有

=，=2

由于 cos2cos2cos21 即 cos2cos2cos221 化简得到cos22cos210 解得 cos0 或cos2 2因为、、都在0到的范围里，因此可以通过解反三角函数得到：

4，4，2或者2，2，

28．解：B

因为a垂直于向量b和c，故而a必定与bc平行，因此 又因为ai2j7k10

即：7i5jki2j7k10 解得 1，所以 a7i+5j+k 29．解：D

由无穷级数收敛的定义得到D 30．解：D

31．C

x解：由于x0为无穷间断点，所以(ea)x00，故a1。若a0，则x1也是

无穷间断点。由x1为可去间断点得ae，故选C。 32．A

解：考虑辅助函数F(x)f(x)f(x)g(x)f(x)g(x),则F(x)0, g(x)g2(x)33．B

解：由作图知道，函数在第二象限是减函数，在第一象限是增函数。 当x=0时，函数取得最小值y=5。 34．D

解：yxtanx3secxxtanx3secxtanxxsec2x3secxtanx 35．C

解：对y关于x求一阶导有：

111dy(sincos)dx 所以，

xxx36．A

解：直线的方向向量为3,k,4，平面的法向量为2,9,3。 因为直线和平面平行，所以两个向量的内积为0。 即：329k340 得到：k2 37．A

解：因为fxx,y2x2y4x

x所以fx1,0414 38．A

解：由定理直接得到：如果函数zfx,y的偏导数该点的全微分存在。 39．D

解：由题意设向量bx,y,0，因为a垂直于b且ab，所以有：

zz,在点x,y连续，则函数在xyba05x3y0 ，即：22222222xy50xy0534由以上方程解得x1525y，，x，y同号 171725152515,,0或者b,,0 故而所求向量b1717171740．B

dyy32解：xyxyx

dxx12px令，qxx

x由一阶线性非齐次微分方程的公式有：

二、判断题 1．对

解：根据齐次线性方程解的性质可以直接得到。 2．错

解：根据微分方程解的性质得到yp3．对

解：根据反常积分的性质直接得到。 4．错

解：根据极值判定定理第一充分条件，x0为极大值点。 5．对

解：根据函数凹凸性及其判定定理可以直接得到。 6．对

解：原式中x20，当且仅当x=0时，取到极小值0 ； 同样，y20，当且仅当y=0时，取到极小值0 。

所以，函数的极小值点位于（0，0） 7．错

解：直接求微计算： 8．对

解：由题意得到积分区域V为各向尺度为1的立方体，其体积即为1。 9．对

解：由对数定义得到x,y|x0,y0。 10．对

解：由偏导数计算法则可以求得。 11．对

解：根据齐次线性方程解的性质可以直接得到。 12．对

解：根据微分方程解的性质可以直接得到。 13．对

解：根据反常积分的性质直接得到。 14．错

解：根据极值判定定理第一充分条件，x0为极小值点。 15．对

解：根据函数拐点及其判定定理可以直接得到。 16．错

解：显然该积分表示长为3，宽为1的矩形面积，值应为3。 17．对

dp。 dy解：1x2y24是一个外环半径为2，内环半径为1的圆环，积分式dxdy是在圆

D环上单位1的二重积分，所以求的是圆环的面积。 原式=42123 18．对

解：fzdxdydzv20dtrerdr0124e1。

19．对

解：由共面定义直接得到。 20．对

解：分别关于x、y的因子项求同向极值可求得。 21．错

解：根据齐次线性方程解的性质，y1与y2必须是线性无关的解，y*是其特解。 22．对

解：根据积分中值定理直接得到。 23．对

解：根据导数的定义直接得到。 24．对

解：根据极值判定定理第二充分条件可以直接得到。 25．错

解：根据函数渐近线的定义和概念可以得到，xa为一条铅直渐近线。 26．错

解：由定义得知表示以原点为中心，半径为1的正球体，故而z轴方向关于球体的积分值为0。 27．对

解：y'yex对应的线性一阶齐次方程是： 结合原方程，等式右边项含x，所以通项公式为： 将通项公式带入原式，得到： 代入

dyyex，得到： dx11最后得到：ye2xCexexCex

2228．错

解：经计算向量积得到模值为36。 29．对

解：由偏导数计算法则可以求得。 30．对

解：根据三点连线得到围成区域的线段方程，进而得到积分上下限。

31．错

解：根据齐次线性方程解的性质，y1与y2必须是线性无关的解，y*是其特解。 32．对

解：根据定积分的N-L公式直接得到。 33．对

解：根据导数的性质直接得到。 34．对

解：根据极值判定定理第二充分条件可以直接得到。 35．错

解：根据函数渐近线的定义和概念可以得到，yb为一条水平渐近线。 36．对

解：因为原式中x20，当且仅当x=0时，取到极小值0 ； 同样，y20，当且仅当y=0时，取到极小值0 。 所以，函数的极小值点位于（0，0） 37．对

解：原微分方程的特征函数是：210，w1。 得到两个无理根：i。 即iw是特征根。

因此，特解的形式为：y*(axb)sinx(cxd)cosx 38．错

解：经计算得到微分表达式xxy2。

39．对

解：由微分方程通解求解准则直接得到。 40．对

解：变换积分方程即可求得。 三、填空题 1．解：1

2

4

22x1.57，因此y。 1124222．解：11x2此函数的反函数为，故则：

1dx 21x1dx 所以，dy21x3．解：dy4．解：3i3j3k

ijk由ab1013i3j3k.

231115．解：n(1)nxn,3n021x1

因为：

1x121nx,n2n02x2

1(1)nxn,而且：

1xn01x1

11n11nn所以，f(x)nx(1)xn(1)nxn,3n02n03n026．解：0 37．解：

78．解：1

x23x2sinx 原式：lim2xxx2cosx1x1

原式分子sinx有界，分母cosx有界，其余项均随着x趋于无穷而趋于无穷。 这样，原式的极限取决于分子、分母高阶项的同阶系数之比。

29．解：6 31由向量的模的几何意义知ABC的面积S|ABAC|.

2因为AB{2,3,1},AC{3,1,1}

i j k得ABAC2 3 12ij7k，所以

3 1 2|ABAC|2212725436。于是S26 322 27先将级数分解：

第二个级数是几何级数，它的和已知

求第一个级数的和转化为幂级数求和，考察

4222因此原级数的和 A

2732711．解：a2，b8

由所给极限存在知, 42ab0, 得b2a4,

10．解：

x2axbxa2a4又由lim2lim2, 知a2,b8。

x2xx2x2x13112．解：2x1x21111

x1x2x3x4x3x4

先两边取对数再两边求导

因为

所以

13．解：2sinxcotxC

直接积分就可以得到： 14．解：xy10

由于平面平行于z轴，因此可设这平面的方程为： 因为平面过M1、M2两点，所以有

解得AD，BD，以此代入所设方程并约去DD0，便得到所求的平面方程：xy10 15．解：收敛

un1(n2)!nn1n(n2)111因为：n221un(n1)(n1)!(n1)(1)nen(n)

所以：无穷级数1 5417．解：

(n1)!收敛 n1nn116．解：

4313318．解：yxcosxxsinxxcotxcosxx3csc2xcosxx3cosx

331421119．解：(1,1) 此级数是缺项的幂级数

n1令un(x)(1)(11n(2n1)12n)xn1x,n1,2n(2n1)n(2n1),

因为limnun1(x)(n1)(2n1)1n(2n1)2limxx2 n(n1)(2n1)un(x)n(2n1)1当x21，即x1时，级数绝对收敛；当x21，即x1时，级数发散。 所以幂级数的收敛区间为(1,1) 20．解：(1,1)

由于该幂级数缺项幂级数，则直接用比值判别法求之。

(1)n1x2n1,n1,2设un(x)n(2n1)

当x21，即x1时，原级数绝对收敛； 当x21,即x1时，原级数发散。

所以原级数的收敛半径为1，收敛区间是(1,1). 四、解答题

1．解：由题意可知：面积

故在V不变的条件下，改变R使S取最小值。 故：

时，用料最省。

为一常数，

2．解：把I化为先对z积分，再对y和x积分的累次积分，那末应把V投影到xoy平面上，求出投影域.

它就是平面xyz1与xoy平面的交线和x轴、y轴所围成的三角区域。

我们为了确定出对z积分限，在固定点x,y，通过此点作一条平行于z的直线，它与V上下边界的交

点的竖坐标：z0与z1xy，这就是对z积分的下限与上限， 于是由积分公式得：I01xyxyzdzd

其中为平面区域：x0,y0,xy1，如下图红色阴影部分所示：

再把域上的二重积分化成先对y后对x的累次积分，得：

3．解：由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式，显然，这个二重积分化为极坐标计算比较方便。 把，ddd代入，即可转化为极坐标系的积分形式。如下： 在对其进行累次积分计算：

4．解：因为是正规区域，所以我们可先对y后对x积分，也可先对x后对y积分。这里我们采用前者

先对y后对x积分： 5．解：设

，

，则

。 。

解：方程组对于驻点(1，1)有

2，得驻点(1，1)，(0，0)。

，故

B2AC366270，A60 因此，

对于驻点(0，0)有因此，五、证明题 1．证明：因为

绝对收敛。

2．证明：

当n→∞时，Sn→1。所以级数的和是1。

≤

而当λ>1时

收敛，故级数

收敛，从而级数

在点(1，1)取得极小值f(1，1)=-1。

，故

在点(0，0)不取得极值。

3．证明：因为limen1n21，趋于一个常数，所以级数发散。

4．证明：令ykx随不同直线趋于0,0。 则limxy1k它随k变化，故不存在极限。 x0xy1ky05．证明：不难发现方程左端

。

函数

是函数的导数：

在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且

，即

。 。

由罗尔定理可知，在0与1之间至少有一点c，使也就是：方程

在0与1之间至少有一个实根。