一个有趣的风险理问题
摘 要：
美国次贷危机和希腊主权债务危机的连接爆发使人们对金融创新特别是金融衍生产品创新中风险度量、风险控制甚至风险管理的理论和方法尽心了深层次全方位的审查和思考。消费信用是企业、银行和其他金融机构向消费者个人提供的、直接用于生活消费的信用。当前社会信用关系链的中断导致一系列的金融风暴，次贷危机，最主要问题是信用风险度量。因此衡量信用程度和还款能力来降低次贷风险系数是最主要的，而次贷风险的防范应从信贷源头开始。
调查显示：信贷源头防范的两个主要指标就是客户的偿还能力和信用程度。而衡量客户偿还能力的主要指标是贷款年限；在下文中，我们将着重对此已于分析说明；对客户的信用程度的衡量可通过我们调查的信用比例来。因此，下文我们将以贷款年限和信誉评分来预测次贷危机的风险性。毫无疑问，
关键词：
次贷危机、风险度量、信用程度、偿还能力、贷款年限、信用比例。
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一﹑ 问题的提出与背景
2008年9月，美国金融市场风云再起，雷曼兄弟控股公司破产，美洲银行收购美
林集团和AIG集团陷入危机。由此引发了美国金融市场的强烈震撼，并在国际金融市场掀起滔天巨浪，旷日持久的美国次贷危机终于演变成一场严峻的全球经济危机。危机爆发一年多来，贸易骤减，企业倒闭，失业增加，各国经济，特别是发达国家经济呈现出一片萧条的景象。危机爆发后，各国政府相继推出了一系列大规模的经济刺激措施和一揽子经济刺激计划。到2009年第四季度，这些经济刺激措施和经济刺激计划的效果开始显现，经济衰退的趋势有所缓解，经济似乎开始“复苏”甚至“超预期复苏”。然而，正当人们满怀豪情，举杯欢庆战胜又一次经济灾害之时，希腊政府主权债务危机爆发，这是我们始料不及的。刹那间，全球股市狂泻，世界经济又一次乌云密布，经济复苏的乐观情绪一扫而光。
然而，美国次贷危机和希腊主权债务危机都是因为信用关系链中断导致的金融危机，或者说 ，都是信用风险所导致的危机。两者的区别只是债务人不同而已。前面的债务人为个人，后者的债务人为政府。
美国次贷危机和希腊主权债务危机的接连爆发使人们对金融创新特别是金融衍生产品创新中的风险度：风险控制甚至风险管理的理论和方法进行了深层次、全方位的审视和思考。有人认为，传统的以风险度量和风险控制为主构成的风险理论存在严重的漏洞，有人甚至认为应该把传统的风险理论推倒重来。Andrew的等人在他们刚刚(2010年4月)完成的论文“WARNING:Physics Envy May Be Hazardous To Your Health!”中已经就后危机时代风险理论研究提出了一个全新的框架，其中关于次贷风险的度量和防范成为一个重要的研究内容。
二﹑模型的假设
模型中的要素越多，其衡量结果往往越接近现实。但是在实际应用中，必须考虑
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到成本/效益原则。过多的要素一方面给权重分配造成困扰，更重要的是，收集所有相关信息的成本可能会很高。实践中的经验是，从客户的种种特征中选择出对信用分析意义最大、直接与客户信用状况相联系的若干因素，把它们编为几组，分别对这些因素评分并综合分析，最后得到一个较为全面的分析结果。
1.一般来说，年轻的比年老者信用度高，借款后偿还能力强。 2.年龄在25-55周岁的人信用度强于其他年龄的人。 3.每月有固定收入的人信用度强于没有固定收入的。 4.一般说来，已婚认识的信用度高于单身人士。 5.薪水越高的人士偿还贷款的能力强于薪水低的。 6.在本地定居的人士的信用度高于不在本地定居的人士。 7.归自己所有住宅的人士高于其他租赁和不固定的人士。 8.有担保人的偿还能力强于没担保人的。
9.担保人的多的偿还能力强于担保人少的是指没担保人的。
三﹑建立模型
通过对以上模型假设的分析可建立以下关系：
年收入（元）——a 固定资产（元）——r 借款金额（元）——c 借款期限（年）——t 分期预算付款额（元）——b 银行利率（％）——i 偿还能力（％）——k 信用程度（％）——j 收回贷款的可靠性——f 申请者的信用得分——p 信用好对数的记分——s
对以上的数据关系中其中（年收入﹑固定资产﹑借款金额﹑分期预算付款额﹑银行利率）根据模型的假设全为定量，（申请者的信用得分﹑偿还能力﹑信用程度）根据模型的假设全为变量，p的测定可用附录1的数据进行评定，根据p的数值再由附录2的数据就可测出s的值。
注：为了读者便于理解下面的数学模型这里可引进两个参考公式：
资产 = 负债 + 所有者权益
个人（家庭）资产净值 = 个人（家庭）总资产 - 个人（家庭）总负债 1.在进行（偿还能力（％）——k ）的计算时可进行一个假设：假如有一个人问你借钱请问你最关心的是什么？（假如利率一定）那么有调查显示很多人最关心的是借
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债年限(t)，那么可以说t是衡量一个人的偿还能力的主要标志。
根据以上关系（分期预算付款额（元）——b，借款金额（元）——c，借款期限
（年）——t，银行利率（％）——i）于是我们有：
12bt=c（1+i）^t ∴ b = c（1+i）^t/12×t
又由经验可知如果一个人在较短的时间内还清债务的话那么他的偿还能就越强，反之，如果一个人在较长的时间内还清债务的话那么他的偿还能就越弱。所以假定
k ∝1/ t
由上式可得b，那么贷款户每月付给银行的资金站起收入的比例就为 q = 12 b/a = c（1+i）^t/t×a 由于模型假设6对模型的简化可得 k ∝ q
由于比例系数对k与q的单调性不影响，因此，为了简化模型可假设比例系数为1
即 k = c（1+i）^t/t×a
2.在进行（信用程度（％）——j）的计算时为了更全面的描述各个因素对信贷的影响我们将引进一个集合S﹛﹜:
根据申请表中的内容确定申请者信用价值的得分，用随机变量S表示，其结局 S=﹛s1,s2,s3,……,sN﹜
银行的决策D（design）是接受A（accept）还是拒绝R（refuse）“贷款者的申请贷款申请者的实际信用价值用随机变量X表示，其结构X=﹛G,B﹜其中G,B代表（good , bad）” D=﹛A,B﹜.决策结果V(X,D)取决是否贷款D和申请人的信用价值X，其可能的取值集合是
V=﹛0,g,-1﹜，其中，g是收益，-1是损失，即V（G,A）=g，V（B,A）=-1及V（G,R）=0，V（B,R）=0.信用得分s的边界概率为PS(s)，申请者信用价值的先验概率P(G)和P(B)是不随记分系统改变而改变的。
根据以上分析可知，贷款申请者的信用得分s是申请者信用好的机会的自然对数值，得分s申请者信用好的概率预测值为（信用程度（％）——j
s=In〔j/(1-j)〕 j≠1 解得 j=1/1+exp(-s) （1）
又因为信用得分s为银行评价一个客户的主要指标，由经验可知信用得分s越高那
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），二者间有如下公式：
么他的(信用程度（％）——j ）就越高，所以可得
j ∝ s
3. 在进行（收回贷款的可靠性——f）的计算时由上述分析可知（偿还能力（％） ——k，信用程度（％）——j ）是银行做出判断借与不借的主要指标，也就是说这也是银行为了降低次贷风险的指标，而且由经验可判断
f ∝ k , f ∝ j 又有上面分析可知
k ∝ 1/t , j ∝ s 因此可得
f ∝ 1/t , f ∝ s
又假设你为银行的一名员工，当你面临一个决定是否给一个k很好但j很差的贷款户贷款时，通过调查可知没有一个员工会把款借给这种人的，反之，也没有一个员工会把款借给一个k很差但j很好的贷款户。因此可假设一个模型
f = k×j
∴ f = ｛c（1+i）^t/t×a｝×1/1+exp(-s) 即上式方程就为实际贷款中降低风险度量的数学模型。
四﹑模型的求解
假如，某贷款人是某科研单位的女士，据银行称是银行的老客户，我们根据银行提供的信息可知她的的信用得分为p=311分. 根据：附录3可判断他可借到高达60万的贷款，又由附录2可查的s=8.01. 假设她打算借30万元并打算在3年之内还完所有贷款，并且她的年收入为20万元，银行的贷款利率为15% 所以由上面建立的模型可计算f
则 f = ｛c（1+i）^t/t×a｝×1/1+exp(-s) = ｛30（1+0.15）^3/3×20｝×1/1+exp(-8.01) = 76 %
由此可知此次贷款不会有大风险银行应批准这次贷款。而事后证明该女士三年之后还完了贷款及利息。
2008年9月，美国次贷危机爆发了，而美国次贷危机的爆发是全球的经济系统受到重创包括我们国家在内，对于这一问题有人认为是传统的以风险度量和风险控制为主构成的风险理论存在严重的漏洞，但Andrew等人分析次贷风险的度量和防范起着重要 作用。
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有以上材料可知次贷风险的度量和防范是非常重要的
假设在金融危机爆发之前有一个美国人去银行贷款，银行对他的信用度进行评分后 发现他的分数和高，于是美国的银行（美国银行属于私人的）家们都以降低利率和放宽期限来吸引这位客户，因为在他们眼中看到的只是利润，对他们而言恨不得他们的款都被贷走然后他们又可以一翻几番的价格卖掉自己手中的股票，然后他们再给别人贷款，就这样一直反复进行着，往后他们手中都没钱了，有的只是价值连城的股票，当他们的股票卖不出并且贷出去的款收不回来这样就导致了危机的爆发，然而他们忽略了一个重要因素那就是贷款户何时还钱。
由上面建立的模型f = ｛c（1+i）^t/t×a｝×1/1+exp(-s)可分析 当t→∞时 f→0
所以说，这是一次潜藏着巨大风险的贷款，由此来看美国次贷危机的爆发是必然的，是不可避免的
注：另外如果计算的f=<50此时银行应为了避免贷款的风险应拒绝贷款人的要求
五﹑模型的分析和检验
由上面分析可知 b = c（1+i）^t/12×t
因此： d(b)/d(t)=12c(1+i)^t﹛tIn(1+i)-1﹜/(12t)^2 设 g(t)= tIn(1+i)-1 那么 d(g)/d(t) = In(1+i)>0
所以 g(t)= tIn(1+i)-1 为单调递增函数 ∵ 当g(t)=0时 可得 t=1/In(1+i)
∴ 当t<1/In(1+i) 时 g(t)<0 ,那么d(b)/d(t) <0 ，则b为单调递减函数 当t>1/In(1+i) 时 g(t)>0 ,那么d(b)/d(t) >0 ，则b为单调递增函数 当i=15% 时 t=1/In(1+i)=7
于是我们可得如果一个人在利率为15%的条件7年还完款最理想 过早还或过晚换都对自己产生经济压力。
又∵由上面的分析可知
j=1/1+exp(-s) 即 j= exp(s)/1+ exp(s)
∴ d(j)/d(s)=1/(1+ exp(s))^2
显然 d(j)/d(s)>0 所以说j是随s的增大而增大的
又对于 j= exp(s)/1+ exp(s)当s→∞时 则有极限lim(s→∞)〔exp(s)/1+
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exp(s)〕=1
所以，j= exp(s)/1+ exp(s) 的模型是合理的 对于上面建立的实际贷款中降低风险度量的数学模型
f =〔 c（1+i）^t/t〕×a1/1+exp(-s) 分析它是否满足上面的假设 ∵ ft = c*exp(s)(1+i)^t﹛In(1+i)-a﹜/(exp(s)+1)*(at)^2 显然 In(1+i)-a<0
∴ ft<0 那么 f应随t的增大而减小 即 模型中的假设 f ∝ 1/t 成立 又∵ fs = c(1+i)^t * exp(s)/at*(exp(s)+1)^2 显然 ft>0
∴ f应随s的增大而增大 即 模型中的假设 f ∝ s 成立
通过上面的求解可知三个基本假设都符合实际，所以，可以肯定所建的模型是成功的.
六﹑相关数据的参考信息
附录1： 申请人信用评分参考表
注：该表参考（我国和美国商业银行个人信用评分标准）
商业银行登记表
一、顾客特征
属性评分（1-5分，分数越高，表示信用卡持有者该属性表现越好） 30岁以下 30-40岁 40-49岁 50-65岁 65岁以上
1、年龄（岁）
已婚/离婚女
离婚男性 单身男性 已婚男性
2、婚姻状况 性
3、是否本地户不是 是 口
不固定 租贷 自己所有
4、住宅性质
不清楚/无储蓄/人寿保
汽车或其他 不动产
5、个人财产 财产 险
6、本地定居时1年 2年 3年 4年 4年以上 间 二、职业情况
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1、工作类别
无工作 待业
非技能 技能/公务员
一至四年
20%
管理者/高级雇员/职员/警察/ 军官
四至七年
七年以上 10%
2、工作年限 3、分期付款占
一年以下 40% 30%
收入的比重（%）
4、活期存款余小于0
无活期存款
账户
［0,200］ 大于2000 额（单位：元）
5、存储账户金无储蓄账
［200,1000］ ［1000,2000］ 额（单位：元） 户 小于200
三、行用卡状况
1、信用额度（单1-3000 3000-5000 5001-10000 10000以上 位：元）
出现过逾
非该银行的
曾经出现过逾在该银行的所2、信用历史
期还款
信用卡出现
期还款，但目有信用卡都按过逾期还款
前为止还清 时还款 3、持卡时间
半年以内 半年以上一年以内 1-2年 2-3年
4、持卡消费类新汽车/商二手汽车/教业 育 必需品/家具 电器 型
5、担保情况
无担保
担保人 共同财产担保
6、担保人数量
1个
2个 3个 3个以上
7、分期付款计无 商店 银行 划
3：
中国建设银行个人评分标准制定的个人信用贷款额度表【4】
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大于2000
大于2000
所有信用卡都按时还款 3年以上
附录
评分 301分以上 268——300分 235——267分 201——234分 168——200分 134——167分 134分以下 信用等级 AAA AA A BBB BB B C 贷款额度（元）人民币 60万以下 10万以下 5万以下 1万以下 5000以下 3000以下 借不到款
参考文献：
【1】
张忠秀 主编 《个人信用指南》（127-128页） 中华工商联合出版社 2002年1月第一次印刷.
【2】
张忠秀 主编 《个人信用指南》（133-149页） 中华工商联合出版社 2002年1月第一次印刷.
【3】
张忠秀 主编 《个人信用指南》（129页） 中华工商联合出版社 2002年1月第一次印刷.
【4】
张忠秀 主编 《个人信用指南》（149页） 中华工商联合出版社 2002年1月第一次印刷
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