一、选择题（本大题共8小题，共24.0分） 1.
如图，图形的对称轴的条数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.
一元二次方程𝑥2+5𝑥−3=0的根的情况是( )
A. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根
3.
B. 有两个不相等的实数根 D. 不能确定
将二次函数𝑦=𝑥2的图象向上平移2个单位后，再向右平移1个单位，所得函数表达式为( )
A. 𝑦=(𝑥+1)2+2 C. 𝑦=(𝑥−1)2−2
4.
B. 𝑦=(𝑥−1)2+2 D. 𝑦=(𝑥+1)2−2
𝐵，𝐶，𝐷在⊙𝑂上，𝐶𝐷是直径，∠𝐴𝐵𝐷=75°，如图所示，点𝐴，则∠𝐴𝑂𝐶的度数为( )
A. 15° B. 25° C. 30° D. 35°
5.
如图，将方格纸中的图形绕点𝑂逆时针旋转90°后得到的图形是( )
A.
B.
C.
D.
6. 为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10𝑚2提高到12.1𝑚2.若每年的年增长率相同，设年增长率为𝑥，则可列方程为( )
A. 10(1+𝑥)2=12.1 C. 10(1+2𝑥)2=12.1
7.
B. 10(1−𝑥)2=12.1 D. 10(1−2𝑥)2=12.1
已知平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线交于点𝑂，则下列命题是假命题的是( )
A. 若𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，则平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形 B. 若𝐵𝑂=2𝐴𝑂，则平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形 C. 若𝐴𝐵=𝐴𝐷，则平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形 D. 若∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷，则平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形
8.
如图，点𝑃是菱形𝐴𝐵𝐶𝐷边上的动点，它从点𝐴出发沿𝐴→𝐵→𝐶→𝐷路径匀速运动到点𝐷，设△𝑃𝐴𝐷的面积为𝑦，𝑃点的运动时间为𝑥，则𝑦关于𝑥的函数图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 9.
如图，在正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹中，连接𝐴𝐷，𝐴𝐸，则∠𝐷𝐴𝐸=______．
10. 如图，已知函数𝑦=𝑥的图象经过点𝐴(2,2)，结合图象，请直接写出函数值𝑦≥−2时，自变量𝑥的
取值范围：______ ．
𝑘
11. 已知△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹相似且对应中线之比为3：4，则△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹的周长之比为______ ． 12. 已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2+𝑚𝑥+2=0与𝑥2+2𝑥+𝑚=0有一个公共实数根，则
𝑚=______．
13. 已知抛物线𝑦=𝑥2−(𝑘+3)𝑥+9的顶点在坐标轴上，则𝑘=______． 14. 如图，𝐴𝐸与𝐵𝐶相交于点𝐷，𝐴𝐵//𝐶𝐸，𝐵𝐷=6，𝐷𝐶=2，𝐸𝐶=1，
则𝐴𝐵的长为______．
15. 𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=3∠𝐶=90°，𝐴𝐵=3，点𝑄在边𝐴𝐵上且𝐵𝑄=
3−√33
，过𝑄作𝑄𝐹//𝐵𝐶交𝐴𝐶于点
𝐹，点𝑃在线段𝑄𝐹上，过𝑃作𝑃𝐷//𝐴𝐶交𝐴𝐵于点𝐷，𝑃𝐸//𝐴𝐵交𝐵𝐶于点𝐸，当𝑃到△𝐴𝐵𝐶的三边的距离之和为3时，𝑃𝐷+𝑃𝐸+𝑃𝐹= ______ ．
16. 已知等边△𝐴𝐵𝐶，顶点𝐵(0,0)，𝐶(2,0)，规定把△𝐴𝐵𝐶先沿𝑥轴绕着点𝐶顺时针旋转，使点𝐴落在
𝑥轴上，称为一次变换，再沿𝑥轴绕着点𝐴顺时针旋转，使点𝐵落在𝑥轴上，称为二次变换，…经过连续2018次变换后，顶点𝐴的坐标是______．
三、计算题（本大题共1小题，共16.0分） 17. 解方程组：
2𝑥+5𝑦=13
(1){
3𝑥−5𝑦=7
𝑥
(2){．
3𝑥−2(𝑦−1)=11
四、解答题（本大题共9小题，共94.0分）
⏜的中点，𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝐸，△18. 如图，△𝐴𝐵𝐶的3个顶点都在⊙𝑂上，𝐷是𝐴𝐶
𝐶𝐷𝐸与△𝐵𝐷𝐶相似吗？为什么？
+3=34
𝑦
19. 如图，反比例函数𝑦=
过点𝐴作
直线𝐴𝐶与反比例函数的图象交于点𝐵，与𝑥轴交于点𝐶，且𝐴𝐵=3𝐵𝐶． (1)求𝑚的值和点𝐵的坐标；
(2)根据图象直接写出𝑥在什么范围内取值时，反比例函数的值大于
一次函数的值．
20. 某超市将某品牌书包的售价从原来80元/个经两次调价后调至64.8元/个． (1)若该超市两次调价的降价率相同，求这个降价率．
(2)经调查，该书包每降价4元，即可多销售5个，若该超市原来每月可销售书包120个，那么两次调
价后，每月可销售这种品牌的书包多少个？
21. 已知：三角形的一边比它边上的高大4𝑐𝑚，若设三角形的一边长为𝑥(𝑐𝑚)，它的面积为𝑦(𝑐𝑚2). 写出：𝑦与𝑥之间的函数关系式以及自变量𝑥的取值范围．
22. 已知：正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为1，点𝑃为对角线𝐵𝐷上一点，连接𝐶𝑃． (1)如图1，当𝐵𝑃=𝐵𝐶时，作𝑃𝐸⊥𝑃𝐶，交𝐴𝐵边于𝐸，求𝐵𝐸的长； (2)如图2，当𝐷𝑃=𝐷𝐶时，作𝑃𝐸⊥𝑃𝐶，交𝐵𝐶边于𝐸，求𝐵𝐸的长．
𝑚−5𝑥
(𝑚为常数)的图象经过点𝐴(−2,4)，
𝐴𝐵=6，𝑀为对角线𝐵𝐷上任意一点(不与𝐵、𝐷重合)，23. 在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，连接𝐶𝑀，过点𝑀作𝑀𝑁⊥
𝐶𝑀，交𝐴𝐵(或𝐴𝐵的延长线)于点𝑁，连接𝐶𝑁．
感知：如图①，当𝑀为𝐵𝐷的中点时，易证𝐶𝑀=𝑀𝑁.(不用证明)
探究：如图②，点𝑀为对角线𝐵𝐷上任一点(不与𝐵、𝐷重合).请探究𝑀𝑁与𝐶𝑀的数量关系，并证明你
的结论．
应用：(1)直接写出△𝑀𝑁𝐶的面积𝑆的取值范围______； (2)若𝐷𝑀：𝐷𝐵=3：5，则𝐴𝑁与𝐵𝑁的数量关系是______．
24. 如图是一座抛物线拱形桥，在正常水位时，水面𝐴𝐵宽是20𝑚，水位上升3𝑚就达到警戒线𝐶𝐷，
这是水面宽度为10𝑚，请构建适当的水平直角坐标系求抛物线所对应的函数表达式，并求水位到达警戒线时拱顶与水面之间的距离．
25. 如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=90°，𝐴𝐵=6𝑐𝑚，𝐵𝐶=8𝑐𝑚.点𝑃从点𝐴
开始沿𝐴𝐵边向点𝐵以1𝑐𝑚/𝑠的速度移动，点𝑄从点𝐵开始沿𝐵𝐶边向点𝐶以2𝑐𝑚/𝑠的速度移动．
【思考】如果点𝑃，𝑄分别从点𝐴，𝐵同时出发，经过几秒，△𝑃𝐵𝑄的面积
等于8𝑐𝑚2？
【探究】如果点𝑃，𝑄分别从点𝐴，𝐵同时出发，线段𝑃𝑄能否将△𝐴𝐵𝐶分成
面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由．
【拓展】若点𝑃沿射线𝐴𝐵方向从点𝐴出发，以1𝑐𝑚/𝑠的速度移动，点𝑄沿射线𝐶𝐵方向从点𝐶出发，以
2𝑐𝑚/𝑠的速度移动，点𝑃，𝑄同时出发，则经过几秒，△𝑃𝐵𝑄的面积为1𝑐𝑚2？
26. 如图1，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，直线𝑙：𝑦=4𝑥+𝑚与𝑥轴、𝑦轴分别交于点𝐴和点𝐵(0,1)，抛
物线𝑦=−2𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，经过点𝐵，且与直线𝑙的另一个交点为𝐶(−4,𝑛)． (1)求𝑛的值和抛物线的解析式；
(2)点𝐷在抛物线上，点𝐷的横坐标为𝑡(−4<𝑡<0)，𝐷𝐸//𝑦轴交直线𝑙与点𝐸，点𝐹在直线𝑙上，且四
边形𝐷𝐸𝐹𝐺为矩形(如图2)，若矩形𝐷𝐸𝐹𝐺的周长为𝑃，求𝑃与𝑡的函数关系式及𝑃的最大值； (3)𝑀是平面内一点，将△𝐴𝑂𝐵绕点𝑀沿顺时针旋转90后，得到△𝐴1𝑂1𝐵1，点𝐴、𝑂、𝐵的对应点分别
是𝐴1、𝑂1、𝐵1，若△𝐴1𝑂1𝐵1的两个顶点恰好落在抛物线上，求点𝐴1的横坐标．
1
3
参考答案及解析
1.答案：𝐴
解析：解：如图，
只有图形中间水平的一条直线是对称轴， 故选：𝐴．
根据轴对称图形的定义，可得答案．
本题考查了轴对称图形，利用轴对称图形的定义是解题关键．
2.答案：𝐵
解析：解：△=52−4×1×(−3)=37>0， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：𝐵．
先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式(△=𝑏2−4𝑎𝑐)判断方程的根的情况．一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根与△=𝑏2−4𝑎𝑐有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．
3.答案：𝐵
解析：解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把二次函数𝑦=𝑥2的图象向上平移2个单位后，再向右平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为𝑦=(𝑥−1)2+2． 故选：𝐵．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
4.答案：𝐶
解析：
此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．由𝐶𝐷是直径，∠𝐴𝐵𝐷=75°，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得∠𝐷𝐶𝐴的度数，即可求得∠𝐴𝑂𝐶的度数． 解：连接𝐴𝐶，
∵∠𝐴𝐵𝐷=75°， ∴∠𝐷𝐶𝐴=75°， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐶，
∴∠𝐴𝑂𝐶=180°−2×75°=30°， 故选C．
5.答案：𝐶
解析：解：如图所示：将方格纸中的图形绕点𝑂逆时针旋转90°后得到的图形是
，
故选：𝐶．
利用已知将图形绕点𝑂逆时针旋转90°得出符合题意的图形即可．
本题考查了生活中的旋转现象，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，熟悉图形的性质是解题的关键．
6.答案：𝐴
解析：解：设每年的增长率为𝑥，根据题意得10(1+𝑥)2=12.1， 故选A．
如果设年增长率为𝑥，则可以根据“住房面积由现在的人均约为10𝑚2提高到12.1𝑚2”作为相等关系得到方程10(1+𝑥)2=12.1．
本题考查数量平均变化率问题．原来的数量(价格)为𝑎，平均每次增长或降低的百分率为𝑥的话，经过第一次调整，就调整到𝑎(1±𝑥)，再经过第二次调整就是𝑎(1±𝑥)(1±𝑥)=𝑎(1±𝑥)2.增长用“+”，下降用“−”．
7.答案：𝐵
解析：解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，A正确； 一组邻边相等的平行四边形是菱形，C正确；
如图所示：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形， ∴𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐵𝐷， ∵∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷， ∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐵𝐷， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷，
∴平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，D正确； 𝐵不正确． 故选：𝐵．
由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得出A正确；由一组邻边相等的平行四边形是菱形，得出C正确；由平行四边形的性质得出∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐵𝐷，证出∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐵𝐷，得出𝐴𝐵=𝐴𝐷，即可得出D正确；
本题考查了菱形的判定方法；熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定方法是解决问题的关键．
8.答案：𝐴
解析：解：分三种情况： ①当𝑃在𝐴𝐵边上时，如图1， 设菱形的高为ℎ， 𝑦=2𝐴𝑃⋅ℎ，
∵𝐴𝑃随𝑥的增大而增大，ℎ不变， ∴𝑦随𝑥的增大而增大， 故选项C和𝐷不正确； ②当𝑃在边𝐵𝐶上时，如图2， 𝑦=𝐴𝐷⋅ℎ，
211
𝐴𝐷和ℎ都不变， ∴在这个过程中，𝑦不变， 故选项B不正确；
③当𝑃在边𝐶𝐷上时，如图3， 𝑦=2𝑃𝐷⋅ℎ，
∵𝑃𝐷随𝑥的增大而减小，ℎ不变，
1
∴𝑦随𝑥的增大而减小，
∵𝑃点从点𝐴出发沿在𝐴→𝐵→𝐶→𝐷路径匀速运动到点𝐷， ∴𝑃在三条线段上运动的时间相同， 故选项A正确； 故选：𝐴．
设菱形的高为ℎ，即是一个定值，再分点𝑃在𝐴𝐵上，在𝐵𝐶上和在𝐶𝐷上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可．
本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点𝑃的位置的不同，分三段求出△𝑃𝐴𝐷的面积的表达式是解题的关键．
9.答案：30°
解析：解：如图，设正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹的中心为𝑂，作出正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹的外接圆⊙𝑂，连接𝑂𝐸，
则∠𝐷𝑂𝐸=6×360°=60°， ∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐷𝑂𝐸=30°．
21
1
故答案为：30°．
首先设正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹的中心为𝑂，作出正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹的外接圆⊙𝑂，连接𝑂𝐸，由正六边形的性质，可求得∠𝐷𝑂𝐸的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．
此题考查了正多边形和圆．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
10.答案：𝑥≤−2或𝑥>0
解析：解：∵函数𝑦=𝑥的图象经过点𝐴(2,2)， ∴𝑘=𝑥𝑦=2×2=4，
∴当𝑦=−2时，𝑥=−2=−2=−2，
∴根据图象知，当𝑦≥−2时，𝑥≤−2或𝑥>0． 故答案是：𝑥≤−2或𝑥>0．
首先利用待定系数法求得𝑘的值；然后求得当𝑦=−2时，𝑥的值；最后由函数图象直接填空．
𝑘
4𝑘
本题考查了反比例函数的图象．对于反比例函数𝑦=𝑥，当𝑘>0时，在每一个象限内，函数值𝑦随自变量𝑥的增大而减小；当𝑘<0时，在每一个象限内，函数值𝑦随自变量𝑥增大而增大．
𝑘
11.答案：3：4
解析：解：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹相似且对应中线之比为3：4， ∴△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹的相似比为3：4， ∴△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹的周长之比为：3：4． 故答案为：3：4．
由相似三角形的对应中线的比等于相似比，即可求得相似比；又由相似三角形对应周长的比等于相似比，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应中线的比等于相似比与相似三角形对应周长的比等于相似比定理的应用是解此题的关键．
12.答案：−3
解析：解：∵𝑥2+𝑚𝑥+2=0与𝑥2+2𝑥+𝑚=0有一个公共实数根， ∴𝑥2+𝑚𝑥+2=𝑥2+2𝑥+𝑚有一个实数根， ∴𝑥=1，
把𝑥=1代入𝑥2+𝑚𝑥+2=0得： 𝑚=−3． 故答案为：−3．
本题需先根据𝑥2+𝑚𝑥+2=0与𝑥2+2𝑥+𝑚=0有一个公共实数根，求出𝑥的值，再把𝑥的值代入原方程即可求出𝑚的值．
本题主要考查了一元二次方程的解的概念，在解题时要能够灵活应用解的概念求出结果是本题的关键．
13.答案：3，−9，−3
解析：解：当抛物线𝑦=𝑥2−(𝑘+3)𝑥+9的顶点在𝑥轴上时，△=0， 即△=(𝑘+3)2−4×9=0，解得𝑘=3或𝑘=−9；
当抛物线𝑦=𝑥2−(𝑘+3)𝑥+9的顶点在𝑦轴上时，𝑥=−2𝑎=故答案为：3，−9，−3．
由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在𝑥轴上与𝑦轴上两种情况进行讨论． 本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
𝑏
𝑘+32
=0，解得𝑘=−3．
14.答案：3
解析：解：∵𝐴𝐵//𝐶𝐸， ∴△𝐴𝐵𝐷∽△𝐸𝐶𝐷， ∴𝐶𝐸=𝐶𝐷， ∴
𝐴𝐵1𝐴𝐵
𝐵𝐷
=， 2
6
∴𝐴𝐵=3， 故答案为：3．
根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
3
15.答案：7−5√ 6
解析：解：如图，过点𝑃作𝑃𝑁⊥𝐵𝐶于𝑁，延长𝐸𝑃交𝐴𝐶于𝑀，
∵𝑃𝐸//𝐴𝐵，𝑄𝐹//𝐵𝐶， ∴𝑃𝐸=𝐵𝑄=
3−√33
，
∵∠𝐴=90°，𝑃𝐷//𝐴𝐶，𝑃𝐸//𝐴𝐵， ∴𝑃𝑀⊥𝐴𝐶，𝑃𝐷⊥𝐴𝐵， ∵∠𝐴=3∠𝐶=90°， ∴∠𝐶=30°， ∴∠𝑃𝐸𝐶=∠𝐵=60°， ∴𝐸𝑁=2𝐸𝑃=
1
3−√36
，𝑃𝑁=√3𝑁𝐸=√
3−12
，
∵当𝑃到△𝐴𝐵𝐶的三边的距离之和为3， ∴𝑃𝑀+𝑃𝐷+𝑃𝑁=3， ∴𝑃𝑀+𝑃𝐷=
7−√32
①，
∵𝐹𝑄//𝐵𝐶，𝑃𝐷//𝐴𝐶， ∴∠𝐶=∠𝐴𝐹𝑄=∠𝐷𝑃𝑄=30°， ∴𝑃𝐷=√3𝐷𝑄， ∴𝐷𝑄=
√3𝑃𝐷， 3
√3𝑃𝐷3
∴𝐴𝐵=3=𝑀𝑃+∴𝑀𝑃+
√3𝑃𝐷3
+𝐵𝑄， =2+
√3②， 3
5
=3−
3−√33
由①②可得：𝑃𝐷=1−2√3，𝑃𝑀=2， ∴𝑃𝐹=2𝑃𝐹=5，
∴𝑃𝐷+𝑃𝐸+𝑃𝐹=1−2√3+5+故答案为：7−
5√3． 6
3−√33
1
3−√33
1
=7−
5√3， 6
过点𝑃作𝑃𝑁⊥𝐵𝐶于𝑁，延长𝐸𝑃交𝐴𝐶于𝑀，由平行线间的平行线段相等，可得𝑃𝐸=𝐵𝑄=𝐴𝐶，𝑃𝐷⊥𝐴𝐵，由直角三角形的性质可求𝑃𝑁的长，进而可得𝑃𝑀+𝑃𝐷=
√3𝑃𝐷3
7−√32
𝑃𝑀⊥，由𝐴𝐵=3可得𝑀𝑃+①，
=2+
√3②，联立方程组可求𝑀𝑃，𝑃𝐷的长，即可求解． 3
本题是四边形综合题，考查了直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
16.答案：(4036,0)
解析：解：顶点𝐴的坐标分别为(4,0)，(4,0)，(7,√3)，(10,0)，(10,0)，(13,√13)， …，
2018÷3=672…2， 672×6+4=4036， 故顶点𝐴的坐标是(4036,0)． 故答案为(4036,0)．
利用已知点坐标得出等边△𝐴𝐵𝐶边长为2，根据三角函数可得等边△𝐴𝐵𝐶的高，顶点𝐴的坐标分别为(4,0)，(4,0)，(7,√3)，(10,0)，(10,0)，(13,√3)，…，进而得出点的坐标变化规律，即可得出答案． 此题主要考查了坐标与图形的变化，正确得出点的坐标变化规律是解题关键．
17.答案：解：(1){
2𝑥+5𝑦=13①
，
3𝑥−5𝑦=7②
①+②得：5𝑥=20，即𝑥=4，
把𝑥=4代入①得：𝑦=1， 𝑥=4
则方程组的解为{；
𝑦=1
3𝑥+4𝑦=36①
(2)方程组整理得：{，
3𝑥−2𝑦=9②①−②得：6𝑦=27，即𝑦=2， ②×2+①得：9𝑥=54，即𝑥=6， 𝑥=6
则方程组的解为{𝑦=9．
2
解析：(1)方程组利用加减消元法求出解即可； (2)方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9
18.答案：解：相似．
⏜的中点， 理由：∵𝐷是𝐴𝐶⏜=𝐶𝐷⏜， ∴𝐴𝐷
∴∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐷． ∵∠𝐷为公共角， ∴△𝐶𝐷𝐸∽△𝐵𝐷𝐶．
⏜的中点得出𝐴𝐷⏜=𝐶𝐷⏜，故可得出∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐷，故可得出结论． 解析：先根据𝐷是𝐴𝐶
本题考查的是相似三角形的判定定理，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
19.答案：解：(1)∵反比例函数𝑦=
∴−8=𝑚−5， ∴𝑚=−3， ∴𝑦=−𝑥，
作𝐴𝐷⊥𝑂𝐶于𝐷，𝐵𝐸⊥𝑂𝐶于𝐸， ∴𝐴𝐷//𝐵𝐸， ∴△𝐶𝐸𝐵∽△𝐶𝐷𝐴， ∴𝐴𝐷=𝐶𝐴， ∵𝐴𝐵=3𝐵𝐶， ∴𝐶𝐴=4，
𝐶𝐵
1
𝐵𝐸
𝐶𝐵8
𝑚−5𝑥
的图象经过点𝐴(−2,4)，
∵𝐴𝐷=4， ∴𝐵𝐸=1， ∴点𝐵的纵坐标为1，
∵点𝐵在反比例函数的图象上， ∴1=−𝑥， ∴𝑥=−8，
∴点𝐵的坐标为(−8,1)．
(2)根据图象可知：当𝑥<−8或−2<𝑥<0时，反比例函数的值大于一次函数的值． 解析：(1)由反比例函数𝑦=
𝑚−5𝑥
8
(𝑚为常数)的图象经过点𝐴(−2,4)，即可求得𝑚的值，即可得反比例
函数的解析式，然后作𝐴𝐷⊥𝑂𝐶于𝐷，𝐵𝐸⊥𝑂𝐶于𝐸，可得△𝐶𝐸𝐵∽△𝐶𝐷𝐴，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得点𝐵的坐标；
(2)观察图象，即可求得反比例函数的值大于一次函数的值时，𝑥的取值范围．
此题考查了待定系数法求函数的解析式以及反比例函数与一次函数的焦点问题．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
20.答案：解：(1)设每次降价率为𝑥，则：80(1−𝑥)2=64.8，
解得，𝑥1=0.1=10%，𝑥2=1.9=190%(不符合题意，舍去)， 答：这个降价率为10%．
(2)120+(80−64.8)÷4×5=139，
答：两次调价后，每月可销售这种品牌的书包139个．
解析：(1)等量关系为：原有量×(1−降低率)𝑛=现有量，𝑛表示降的次数； (2)根据已知可以得到降价，然后根据每降价4元，即可多销售5个进行分析计算．
21.答案：解：由题意，得
三角形的一边长为𝑥(𝑐𝑚)，该边上的高是(𝑥−4)(𝑐𝑚)， 由三角形的面积公式，得 𝑦=
𝑥(𝑥−4)2
，
由高是正数，得 𝑥−4>0，解得𝑥>4． 𝑦与𝑥之间的函数关系式𝑦=
𝑥(𝑥−4)2
，
自变量𝑥的取值范围𝑥>4．
解析：根据三角形的面积公式，可得函数关系式，根据高是正数，可得自变量的取值范围． 本题考查了函数关系式，利用三角形的面积公式得出函数关系式是解题关键．
22.答案：解：(1)∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，
∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐵𝐷𝐶=45°，∠𝐵𝐶𝑃+∠𝐷𝐶𝑃=90°， ∵𝑃𝐸⊥𝑃𝐶，
∴∠𝐵𝑃𝐸+∠𝐵𝑃𝐶=90°， ∵𝐵𝑃=𝐵𝐶， ∴∠𝐵𝑃𝐶=∠𝐵𝐶𝑃， ∴∠𝐵𝑃𝐸=∠𝐷𝐶𝑃， 又𝐵𝑃=𝐵𝐶=𝐷𝐶， ∴△𝐵𝑃𝐸≌△𝐷𝐶𝑃， ∴𝐵𝐸=𝑃𝐷． ∵𝐵𝐶=𝐶𝐷=1， ∴𝐵𝐷=√2， 又𝐵𝑃=𝐵𝐶=1，
∴𝐵𝐸=𝑃𝐷=𝐵𝐷−𝐵𝑃=√2−1； (2)∵𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝑃=1， ∴𝐵𝐷=√2，𝑃𝐵=√2−1． ∵𝑃𝐸⊥𝑃𝐶， ∴∠𝐸𝑃𝐶=90°， ∴∠𝐵𝑃𝐸+∠𝐷𝑃𝐶=90°． ∵𝐷𝑃=𝐷𝐶， ∴∠𝐷𝑃𝐶=∠𝐷𝐶𝑃， 又∠𝐵𝐶𝑃+∠𝐷𝐶𝑃=90°， ∴∠𝐵𝑃𝐸=∠𝐵𝐶𝑃， 又∠𝑃𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝑃， ∴△𝐵𝑃𝐸∽△𝐵𝐶𝑃， ∴𝐵𝐶=𝐵𝑃，
𝐵𝑃
𝐵𝐸
∴𝐵𝐸=
𝐵𝑃2𝐵𝐶
=
(√2−1)2
1
=3−2√2．
(1)利用正方形的性质和已知条件证明△𝐵𝑃𝐸≌△𝐷𝐶𝑃，解析：得到𝐵𝐸=𝑃𝐷.又因为𝐵𝐸=𝑃𝐷=𝐵𝐷−𝐵𝑃，从而求出𝐵𝐸的长；
(2)由已知条件和正方形的性质判定△𝐵𝑃𝐸∽△𝐵𝐶𝑃，𝐵𝐶，𝐵𝐸的比例式，得到关于𝐵𝑃，进而求出𝐵𝐸的长．
23.答案：探究：探究：如图①中，过𝑀分别作𝑀𝐸//𝐴𝐵交𝐵𝐶于𝐸，𝑀𝐹//𝐵𝐶交𝐴𝐵于𝐹，
则四边形𝐵𝐸𝑀𝐹是平行四边形， ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，
∴∠𝐴𝐵𝐶=90°，∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐵𝑀𝐸=45°， ∴𝑀𝐸=𝐵𝐸，
∴平行四边形𝐵𝐸𝑀𝐹是正方形， ∴𝑀𝐸=𝑀𝐹， ∵𝐶𝑀⊥𝑀𝑁， ∴∠𝐶𝑀𝑁=90°， ∵∠𝐹𝑀𝐸=90°， ∴∠𝐶𝑀𝐸=∠𝐹𝑀𝑁， ∴△𝑀𝐹𝑁≌△𝑀𝐸𝐶(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝑀𝑁=𝑀𝐶； 应用：(1)9≤𝑆<18； (2)𝐴𝑁=6𝐵𝑁．
解析：解：应用：(1)当点𝑀与𝐷重合时，△𝐶𝑁𝑀的面积最大，最大值为18， 当𝐷𝑀=𝐵𝑀时，△𝐶𝑁𝑀的面积最小，最小值为9， 综上所述，9≤𝑆<18． (2)如图②中，
由(1)得𝐹𝑀//𝐴𝐷，𝐸𝑀//𝐶𝐷， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=
𝐴𝐹
𝐶𝐸
𝐷𝑀𝐵𝐷
=5，
3
∵𝐴𝐵=𝐵𝐶=6， ∴𝐴𝐹=3.6，𝐶𝐸=3.6， ∵△𝑀𝐹𝑁≌△𝑀𝐸𝐶， ∴𝐹𝑁=𝐸𝐶=3.6，
∴𝐴𝑁=7.2，𝐵𝑁=7.2−6=1.2， ∴𝐴𝑁=6𝐵𝑁， 故答案为𝐴𝑁=6𝐵𝑁．
探究：如图①中，过𝑀分别作𝑀𝐸//𝐴𝐵交𝐵𝐶于𝐸，𝑀𝐹//𝐵𝐶交𝐴𝐵于𝐹，证明△𝑀𝐹𝑁≌△𝑀𝐸𝐶(𝐴𝑆𝐴)即可解决问题．
应用：(1)求出△𝑀𝑁𝐶面积的最大值以及最小值即可解决问题． (2)利用平行线分线段成比例定理求出𝐴𝑁，𝐵𝑁即可解决问题．
本题是四边形的综合问题，考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
24.答案：解：解立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线解析式为𝑦=𝑎𝑥2，
𝐴𝐵=20，因为抛物线关于𝑦轴对称，所以点𝐵的横坐标为10， 设点𝐵(10,𝑛)，点𝐷(5,𝑛+3)， 𝑛=100𝑎
由题意：{，
𝑛+3=25𝑎𝑛=−4解得{𝑎=−1，
25∴𝑦=−25𝑥2．
1
∴𝑛+3=−1，
∴水位到达警戒线时拱顶与水面之间的距离为1𝑚．
解析：以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据求出函数解析式即可． 此题考查了二次函数的应用，用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是建立适当的平面直角坐标系．
25.答案：解：【思考】设经过𝑥𝑠，△𝑃𝐵𝑄的面积等于8𝑐𝑚2，
依题意，得2(6−𝑥)⋅2𝑥=8， 解得：𝑥1=2，𝑥2=4，
答：经过2𝑠或4𝑠，△𝑃𝐵𝑄的面积等于8𝑐𝑚2； 【探究】不能，
理由如下：假设经过𝑦 𝑠，线段𝑃𝑄能将△𝐴𝐵𝐶分成面积相等的两部分， ∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=2×6×8=24(𝑐𝑚2)， ∴2(6−𝑦)⋅2𝑦=12， 整理得：𝑦2−6𝑦+12=0．
则𝑏2−4𝑎𝑐=36−4×12=−12<0， ∴此方程无实数根，
∴线段𝑃𝑄不能将△𝐴𝐵𝐶分成面积相等的两部分；
【拓展】①当点𝑃在线段𝐴𝐵上，点𝑄在线段𝐶𝐵上时，设运动时间为𝑚 𝑠，此时0<𝑚<4， 依题意得：2(6−𝑚)(8−2𝑚)=1， 整理得：𝑚2−10𝑚+23=0．
解得：𝑚1=5+√2>4(舍去)，𝑚2=5−√2， ∴𝑚=5−√2；
②当点𝑃在线段𝐴𝐵上，点𝑄在射线𝐶𝐵上时，设运动时间为𝑛 𝑠，此时4<𝑛<6， 依题意得：2(6−𝑛)(2𝑛−8)=1， 整理得：𝑛2−10𝑛+25=0， 解得𝑛1=𝑛2=5；
③当点𝑃在射线𝐴𝐵上，点𝑄在射线𝐶𝐵上时，设运动时间为𝑘 𝑠，此时𝑘>6， 依题意得：2(𝑘−6)(2𝑘−8)=1，
111
1
11
整理得：𝑘2−10𝑘+23=0，
解得𝑘1=5+√2，𝑘2=5−√2<6(舍去)． ∴𝑘=5+√2，
综上所述：经过(5−√2)𝑠或5𝑠或(5+√2)𝑠，△𝑃𝐵𝑄的面积为1𝑐𝑚2． 解析：【思考】根据三角形面积公式列出方程，解方程即可；
【探究】根据三角形面积公式列出方程，根据一元二次方程根的判别式解答；
【拓展】分点𝑃在线段𝐴𝐵上，点𝑄在线段𝐶𝐵上、点𝑃在线段𝐴𝐵上，点𝑄在射线𝐶𝐵上、点𝑃在射线𝐴𝐵上，点𝑄在射线𝐶𝐵上三种情况，根据三角形面积公式列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是三角形的面积计算、一元二次方程的解法，灵活运用分情况讨论思想、正确列出方程是解题的关键．
26.答案：解：(1)∵直线𝑙：𝑦=4𝑥+𝑚经过点𝐵(0,1)，
∴𝑚=1，
∴直线𝑙的解析式为𝑦=4𝑥+1， ∵直线𝑙：𝑦=4𝑥+1经过点𝐶(−4,𝑛)， ∴𝑛=×(−4)+1=−2，
43
3
3
3
∵抛物线𝑦=−2𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点𝐶(−4,−2)和点𝐵(0,1)， −8−4𝑏+𝑐=−2𝑏=−4∴{，解得{， 𝑐=1𝑐=1∴抛物线的解析式为𝑦=−2𝑥2−4𝑥+1； (2)令𝑦=0，则4𝑥+1=0， 解得𝑥=−3，
∴点𝐴的坐标为(−3,0)， ∴𝑂𝐴=3．
在𝑅𝑡△𝑂𝐴𝐵中，𝑂𝐵=1，
∴𝐴𝐵=√𝑂𝐴2+𝑂𝐵2=√(3)2+12=3． ∵𝐷𝐸//𝑦轴， ∴∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐷𝐸𝐹，
4
5
4
4
4
3
1
5
5
1
在矩形𝐷𝐹𝐸𝐺中，𝐸𝐹=𝐷𝐸⋅cos∠𝐷𝐸𝐹=𝐷𝐸⋅𝐴𝐵=5𝐷𝐸， 𝐷𝐹=𝐷𝐸⋅sin∠𝐷𝐸𝐹=𝐷𝐸⋅
45
𝑂𝐴𝐴𝐵35
𝑂𝐵3
=𝐷𝐸，
5145
4
∴𝑃=2(𝐷𝐹+𝐸𝐹)=2(+)𝐷𝐸=∵点𝐷的横坐标为𝑡(−4<𝑡<0)，
𝐷𝐸．
∴𝐷(𝑡,−2𝑡2−4𝑡+1)，𝐸(𝑡,4𝑡+1)，
∴𝐷𝐸=(−𝑡2−𝑡+1)−(𝑡+1)=−𝑡2−2𝑡，
2
4
4
2
1
5
3
1
153
∴𝑃=
145
×(−𝑡2−2𝑡)=−𝑡2−
2
5
75
28
7
17285
𝑡，
∵𝑃=−(𝑡+2)2+
，且−5<0， 5
28
∴当𝑡=−2时，𝑃有最大值5； (3)∵将△𝐴𝑂𝐵绕点𝑀顺时针旋转90°，
∴𝐴1𝑂1//𝑦轴时，𝐵1𝑂1//𝑥轴，设点𝐴1的横坐标为𝑥．
①如图1，点𝑂1、𝐵1在抛物线上时，点𝑂1的横坐标为𝑥，点𝐵1的横坐标为𝑥+1，
∴−𝑥2−𝑥+1=−(𝑥+1)2−(𝑥+1)+1，
2
4
2
4
1
5
1
5
解得𝑥=−4，
②如图2，点𝐴1、𝐵1在抛物线上时，点𝐵1的横坐标为𝑥−1，点𝐴1的纵坐标比点𝐵1的纵坐标小3， ∴−𝑥2−𝑥+1=−(𝑥−1)2−(𝑥−1)+1−，
24243解得𝑥=12，
综上所述，点𝐴1的横坐标为−4或12．
解析：(1)把点𝐵的坐标代入直线解析式求出𝑚的值，再把点𝐶的坐标代入直线求解即可得到𝑛的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式；
7
7
7
1
5
1
5
4
4
7
(2)令𝑦=0求出点𝐴的坐标，从而得到𝑂𝐴、𝑂𝐵的长度，利用勾股定理列式求出𝐴𝐵的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐷𝐸𝐹，再解直角三角形用𝐷𝐸表示出𝐸𝐹、𝐷𝐹，根据矩形的周长公式表示出𝑃，利用直线和抛物线的解析式表示𝐷𝐸的长，整理即可得到𝑃与𝑡的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；
(3)根据顺时针旋转角为90°可得𝐴1𝑂1//𝑦轴时，𝐵1𝑂1//𝑥轴，然后分①点𝑂1、𝐵1在抛物线上时，表示出两点的横坐标，再根据纵坐标相同列出方程求解即可；②点𝐴1、𝐵1在抛物线上时，表示出点𝐵1的横坐标，再根据两点的纵坐标相差𝐴1𝑂1的长度列出方程求解即可．
本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，长方形的周长公式，以及二次函数的最值问题，本题难点在于(3)根据旋转角是90°判断出𝐴1𝑂1//𝑦轴时，𝐵1𝑂1//𝑥轴，注意要分情况讨论．
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