八年级（上）期末数学试卷
题号 得分 一 二 三 四 总分 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. a2+a3=a5 B. a6÷a2=a3 C. (a2)3=a6 D. 2a×3a=6a
3. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻
璃，那么最省事方法是（ ）
A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. ①②③都带去
4. 世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用
科学记数法表示为（ ）
A. 5.6×10−1 B. 5.6×10−2 C. 5.6×10−3 D. 0.56×10−1
5. 如图，AC与BD交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明
△AOB≌△DOC，还需（ ）
A. AB=DC C. ∠A=∠D B. OB=OC
D. ∠AOB=∠DOC
6. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A. a (x+y)=a x+a y B. x2−4x+4=x(x−4)+4
C. 10x2−5x=5x(2x−1) D. x2−16+3x=(x−4)(x+4)+3x
7. 若把分式2xx+y中的x和y同时扩大为原来的10倍，则分式的值（ ） A. 扩大10倍 B. 缩小10倍 C. 缩小100倍 D. 保持不变 8. 若等腰三角形底角为72°，则顶角为（ ）
A. 108∘ B. 72∘ C. 54∘ D. 36∘
9. 已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多
行驶15千米．若设甲车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是（ ）
A. 30x−15=40x B. 30x+15=40x C. 30x=40x+15 D. 30x=40x−15
10. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的
三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（）
A. 13 B. 26 C. 47 D. 94
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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长等于______． 12. 当x≠______时，分式1x−3有意义． 13. 因式分解：x2-9=______．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD是∠ACB的平
分线，若BD=2，则D到AC的距离为______．
15. 如果实数a，b满足a+b=6，ab=8，那么a2+b2=______．
16. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点
B重合，折痕为DE，则AE的长为______．
三、计算题（本大题共2小题，共24.0分） 17. 计算：
（1）-（-2）+（π-3.14）0+327+(−13)−1
（2）先化简，再求值：（2x+3y）2-（2x+y）（2x-y），其中x=12，y=-1．
18. 计算
（1）5x+3yx2−y2−2xx2−y2 （2）(1−1x+1)÷x2−1x2+2x+1
四、解答题（本大题共8小题，共78.0分） 19. 解方程：2x+xx−3=1
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B、C、D在同一条直线上，AB=DC，AE∥DF，20. 如图，点A、
AE=DF．
求证：EC=FB．
21. 某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款
型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？
22. 如图，在长方形ABCD中，把△BCD沿对角线BD折叠得
BC=4m． 到△BED，线段BE与AD相交于点P，若AB=3m，
（1）求BD长度（用含m的式子表示）；
（2）若点P到BD的距离为152，试求此时m的值．
23. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D为底边BC延长线上
任意一点，过点D作DE∥AB，与AC延长线交于点E． （1）则△CDE的形状是______；
（2）若在AC上截取AF=CE，连接FB、FD，判断FB、FD的数量关系，并给出证明．
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24. 如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C
不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．
（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论； （2）当AB=3，BP=2PC，求QM的长； （3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．
25. 阅读下列材料：
小明遇到这样问题：
如图1，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点D，在AC延长线上取一点E，若BD=CE，判断PD与PE的数量关系．
小明通过思考发现，可以采用两种方法解决向题：
方法一：过点D作DF∥AC，交BC于F，即可解决向题；
方法二：过点D、点E分别向直线BC引垂钱，垂足分别是F、G，也可解决问题． （1）请回答：PD与PE的数量关系是______；
（2）任选上述两种方法中的一种方法，在图1中补全图象，并给出证明； 参考小明思考问题的方法，解决问题：
（3）如图2，在△ABC中，∠ABC=α，将AC绕点A顺时针旋转α度后得到AD，过点D作DE∥BC，交AB于点E，BC=BA，则图中是否存在与DE相等的线段，请找出来并给出证明．
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2）B0）C0）26. 如图，在平面直角坐标系中，点A（0，，（-4，，（2，，∠DAE+∠BAC=180°，
且AD=22，AE=25，连接DE，点F是DE的中点，连接AF． （1）∠ACB=______°；
（2）猜想AF的长并说明理由；
（3）直接写出△ADE的面积是______．
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：B．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2.【答案】C
【解析】
解：A、a2与a3是相加，不是相乘，不能运用同底数幂的乘法计算，故本选项错误；
B、应为a6÷a2=a4，故本选项错误； C、（a2）3=a6，正确；
D、应为2a×3a=6a2，故本选项错误． 故选：C．
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；单项式乘单项式：把系数和相同字母分别相乘，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数，作为积的一个因式．
主要考查合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、单项式乘单项式，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键． 3.【答案】C
【解析】
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解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去． 故选：C．
本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法． 4.【答案】B
【解析】
10-2， 解：将0.056用科学记数法表示为5.6×故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10-n，其中1≤|a|＜10，n本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 5.【答案】B
【解析】
解：A、根据条件AB=DC，OA=OB，∠AOB=∠DOC不能推出△AOB≌△DOC，故本选项错误；
B、∵在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC（SAS），故本选项正确；
C、∠A=∠D，OA=OD，∠AOB=∠DOC，符合全等三角形的判定定理ASA，不符合全等三角形的判定定理SAS，故本选项错误；
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D、根据∠AOB=∠DOC和OA=OD不能推出△AOB≌△DOC，故本选项错误； 故选：B．
根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 6.【答案】C
【解析】
解：A、a （x+y）=ax+ay，是整式的乘法运算，故此选项不合题意； B、x2-4x+4=（x-2）2，故此选项不合题意； C、10x2-5x=5x（2x-1），正确，符合题意；
D、x2-16+3x，无法分解因式，故此选项不合题意； 故选：C．
直接利用分解因式的意义分别分析得出答案．
此题主要考查了因式分解的意义，正确分解因式是解题关键． 7.【答案】D
【解析】
解：变形得：=，
则分式的值保持不变， 故选：D．
把x，y分别换为10x，10y，计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键． 8.【答案】D
【解析】
解：∵等腰三角形底角为72°-（72°×2）=36° ∴顶角=180°故选：D．
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根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以计算其顶角的度数． 根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质来计算． 9.【答案】C
【解析】
解：设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为（x+15）千米/时， 甲车行驶30千米所用的时间为：乙车行驶40千米所用时间为：根据题意得： =故选：C．
设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为（x+15）千米/时，根据“甲车行驶时间，列出关于x30千米与乙车行驶40千米所用时间相同”，结合时间=路程÷的分式方程，即可得到答案．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 10.【答案】C
【解析】
， ，
，
解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2， 即S3=9+25+4+9=47． 故选：C．
根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．
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11.【答案】15
【解析】
解：①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3=15； ②当腰为3时，3+3=6，三角形不成立； ∴此等腰三角形的周长是15． 故答案为：15．
由于等腰三角形的两边长分别是3和6，没有直接告诉哪一条是腰，哪一条是底边，所以有两种情况，分别利用三角形的三边关系与三角形周长的定义求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系，利用分类讨论思想求解是解答本题的关键． 12.【答案】3
【解析】
解：根据题意得：x-3≠0．解得：x≠3． 分式
有意义的条件为分母不为0．
此题主要考查了分式的意义，要求掌握．分式有意义的条件：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．
解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的取值即可． 13.【答案】（x+3）（x-3）
【解析】
解：原式=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）． 原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 14.【答案】2
【解析】
解：作DH⊥AC于H，
，DH⊥AC， ∵CD是∠ACD的平分线，∠B=90°∴DH=DB=2，
故D到AC的距离为2，
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故答案为：2．
作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质求出DH即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 15.【答案】20
【解析】
解：∵a+b=6，ab=8，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=36-16=20， 故答案为：20
原式利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值． 此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 16.【答案】254
【解析】
解：根据题意得：∠C=90°，BC=6，AC=8， 设AE=x，
由折叠的性质得：BE=AE=x， 则CE=AC-AE=8-x，
在Rt△BCE中，BE2=CE2+BC2， 即x2=62+（8-x）2， 解得：x=故答案为：
． ．
由题意可得：∠C=90°，BC=6，AC=8，由折叠的性质得BE=AE，然后设AE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可求得方程x2=62+（8-x）2，解此方程即可求得答案．
此题考查了折叠的性质与勾股定理．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系． 17.【答案】解：（1）原式=2+1+3+（-3）=3；
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（2）原式=4x4+12xy+9y2-（4x2-y2） =4x4+12xy+9y2-4x2+y2 =12xy+10y2，
当x=12，y=-1时， 原式=12×12×（-1）+10×（-1）2 =-6+10 =4． 【解析】
（1）先利用相反数定义、零指数幂和立方根及负整数指数幂的运算法则计算，再计算加减可得；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而将x、y的值代入计算．
本题主要考查整式的混合运算-化简求值，解题的关键是掌握实数和整式的混合运算顺序和运算法则．
18.【答案】解：（1）原式=3x+3yx2−y2=3(x+y)(x+y)(x−y)=3x−y；
（2）原式=（x+1x+1-1x+1）÷(x+1)(x−1)(x+1)2 =xx+1•x+1x−1 =xx−1． 【解析】
（1）先根据同分母分式的减法计算，再约分化简即可得； （2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19.【答案】解：去分母得：2x-6+x2=x2-3x
解得：x=65，
经检验x=65是原方程的解． 【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 20.【答案】证明：∵AE∥DF，
∴∠EAC=∠FDB．
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∵AB=DC，BC=BC， ∴AC=DB．
在△EAC和△FDB中
∵AE=DF∠EAC=∠FDBAC=BD， ∴△EAC≌△FDB（SAS）． ∴EC=FB． 【解析】
因为AB=DC，AE∥DF，所以∠EAC=∠FDB，AC=DB．又因为AE=DF，故△EAC≌△FDB，则EC=FB．
三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
解：（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，21.【答案】
依题意有
78001.5x+30=6400x， 解得x=40，
经检验，x=40是原方程组的解，且符合题意， 1.5x=60．
答：甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件； （2）6400x=160， 160-30=130（元）， 130×60%×60+160×60%×2）-160×[1-（1+60%）×0.5]×2） （40÷（40÷=4680+1920-640 =5960（元）
答：售完这批T恤衫商店共获利5960元． 【解析】
（1）可设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，根据甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，列出方程即可求解； （2）先求出甲款型的利润，乙款型前面销售一半的利润，后面销售一半的亏损，再相加即可求解．
本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 22.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，CD=AB=3m，BC=AD=4m， ∴BD=BC2+CD2=(3m)2+(4m)2=5m．
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（2）如图，作PH⊥BD于H．
∵AD∥BC，
∴∠PDB=∠DBC， ∵∠DBC=∠DBP， ∴∠PDB=∠PBD， ∴PD=PB， ∵PH⊥BD，
∴BH=DH=52m，
∵∠PDH=∠ADH，∠PHD=∠A=90°， ∴△PDH∽△BDA， ∴PHAB=DHDA， ∴1523m=52m4m， ∴m=4． 【解析】
（1）利用勾股定理计算即可解决问题．
（2）如图，作PH⊥BD于H．首先证明PB=PD，推出BH=HD=m，利用相似三角形的性质构建方程解决问题即可．
本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 23.【答案】等腰三角形
【解析】
解：（1）△CDE是等腰三角形， 理由：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠DCE=∠ACB， ∵DE∥AB，
∴∠ABC=∠CDE， ∴∠DCE=∠CDE，
∴△CDE是等腰三角形； 故答案为：等腰三角形； （2）BF=DF， 理由：∵AB∥DE， ∴∠A=∠E， ∵AF=CE，
∴AF=DE，AF+CF=CE+CF，
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即EF=AC=AB， 在△AFB与△EDF中∴△ABF≌△EDF（SAS）， ∴BF=DF．
（1）根据等腰三角形的性质得到AB=AC，求得∠ABC=∠ACB，根据全等三角形的性质得到∠ABC=∠CDE，于是得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠A=∠E，根据全等三角形的性质即可得到结论．． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 24.【答案】解：（1）AP=BQ．
理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°， ∴∠ABQ+∠CBQ=90°．
∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA=90°， ∴∠PAB=∠CBQ．
在△PBA和△QCB中，
∠PAB=∠CBQAB=BC∠ABP=∠BCQ， ∴△PBA≌△QCB， ∴AP=BQ；
（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图． ∵四边形ABCD是正方形， ∴QH=BC=AB=3． ∵BP=2PC，
∴BP=2，PC=1，
∴BQ=AP=AB2+PB2=32+22=13， ∴BH=BQ2−QH2=13−9=2． ∵四边形ABCD是正方形， ∴DC∥AB，
∴∠CQB=∠QBA．
由折叠可得∠C′QB=∠CQB， ∴∠QBA=∠C′QB， ∴MQ=MB．
设QM=x，则有MB=x，MH=x-2． 在Rt△MHQ中，
根据勾股定理可得x2=（x-2）2+32， 解得x=134．
∴QM的长为134；
（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图．
∵四边形ABCD是正方形，BP=m，PC=n，
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，
∴QH=BC=AB=m+n． ∴BQ2=AP2=AB2+PB2，
∴BH2=BQ2-QH2=AB2+PB2-AB2=PB2， ∴BH=PB=m．
设QM=x，则有MB=QM=x，MH=x-m． 在Rt△MHQ中，
根据勾股定理可得x2=（x-m）2+（m+n）2， 解得x=m+n+n22m，
∴AM=MB-AB=m+n+n22m-m-n=n22m． ∴AM的长为n22m． 【解析】
（1）要证AP=BQ，只需证△PBA≌△QCB即可；
（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图．易得QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1，然后运用勾股定理可求得AP（即BQ）=，BH=2．易得DC∥AB，从而有
∠CQB=∠QBA．由折叠可得∠C′QB=∠CQB，即可得到∠QBA=∠C′QB，即可得到MQ=MB．设QM=x，则有MB=x，MH=x-2．在Rt△MHQ中运用勾股定理就可解决问题；
（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图，同（2）的方法求出QM的长，就可得到AM的长．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，设未知数，然后运用勾股定理建立方程，是求线段长度常用的方法，应熟练掌握． 25.【答案】PD=DE
【解析】
（1）解：结论：PD=PE． 故答案为PD=DE．
（2）证明：方法一：如图1-1中，作DF∥AC交BC于F．
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∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵DF∥AC，
∴∠DFB=∠ACB，∠FDP=∠E， ∴∠B=∠DFB， ∴BD=DF， ∵EC=BD， ∴DF=EC，
∵∠DPF=∠EPC，
∴△DPF≌△EPC（AAS）， ∴PA=PE．
方法二：如图1-2中，作DF⊥BC于F，EG⊥BC交BC的延长线于G．
∵AC=AC，
∴∠B=∠ACB=∠ECG，
，BD=EC， ∵∠DFB=∠G=90°
∴△DFB≌△EGC（AAS）， ∴DF=EG，
，∠DPF=∠EPG， ∵∠DFP=∠G=90°
∴△DPF≌△EPG（AAS）， ∴PD=PE．
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（3）解：结论：DE=BC． 理由：如图2中，
∵AD=AC，BC=BA，
∴∠ADC=∠ACD，∠BCA=∠BAC， ∵∠DAC=∠B=α，
∴2∠ACD+α=180°，2∠BAC+α=180°， ∴∠ACD=∠BAC， ∴CD∥AB， ∵DE∥BC，
∴四边形DEBC是平行四边形． ∴DE=BC． （1）结论：PD=DE．
（2）方法一：如图1-1中，作DF∥AC交BC于F．理由全等三角形的性质证明即可．
方法二：如图1-2中，作DF⊥BC于F，EG⊥BC交BC的延长线于G．理由全等三角形的性质证明即可．
（3）证明四边形DEBC是平行四边形即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 26.【答案】45 6
【解析】
解：（1）∵A（0，2），C（2，0）， ∴OA=2，OC=2， ∴OA=OC，
， ∵∠AOC=90°
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， ∴∠ACB=45°故答案为：45； （2）AF=3，
理由：延长AF到G使FG=AF，连接EG， 在△ADF与△GEF中，
∴△ADF≌△GEF（SAS），
，∠DAF=∠G， ∴GE=AD=2
∴∠GAE+∠G=∠DAE，
， ∵∠DAE+∠BAC=180°
， ∴∠G+∠GAE+∠BAC=180°， ∵∠G+∠GAE+∠AEG=180°
∴∠BAC=∠AEG，
∵点A（0，2），B（-4，0），C（2，0）， ∴AB=
=2
，AC=2
，BC=4+2=6，
，
在△ABC与△EAG中，∴△ABC≌△EAG（SAS）， ∴AG=BC=6， ∴AF=3；
，
6×2=6， （3）△ADE的面积=△AEG的面积=△ABC的面积=BC•AO=×故答案为：6．
（1）根据等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）延长AF到G使FG=AF，连接EG，根据全等三角形的性质得到GE=AD=2，∠DAF=∠G，根据勾股定理得到AB=
=2
，AC=2
，
BC=4+2=6，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）根据全等三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
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