题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（ ）条件．
A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 既不充分也不必要 D. 充要 2. 若数列的前4项分别是
，则此数列一个通项公式为（ ）
A.
B. C.
D.
3. 在等差数列{an}中，若a3=2，a6=4，则等差数列{an}的公差d=（ ）
A. B. 1 C. D. D. -3
4. 已知等比数列{an}中a4=27，q=-3，则a1=（ ） A. 1 B. -1 C. 3 5. 已知
，则y的最小值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知命题p：x＞m，q：2+x-x2＜0，如果命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ） A. （-∞，-1] B. （2，+∞） C. [1，+∞） D. [2，+∞） 7. 在等比数列{an}中，
，
，则a1=（ ）
A. 或6 B. 3 C. 或3 D. 6
8. 设a，b，c为实数，且a＞b＞0，则下列不等式正确的是（ ）
A. a2＜ab B. ac2＞bc2
C.
D.
9. 我国古代用诗歌的形式提出一个数列问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共有三百八十一，试问塔顶几盏灯？”，请问塔顶一共（ ）盏灯． A. 4 B. 3 C. 6 D. 2 10. 观察下列一组数据
a1=1 a2=3+5 a3=7+9+11
a4=13+15+17+19 …
则a20从左到右第一个数是（ ） A. 379 B. 383 C. 381 D. 377
11. 等差数列{an}中，Sn为它的前n项和，若a1＞0，S20＞0，S21＜0，则当n＝（ ）
时，Sn最大 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 12. 设函数f（x）=
，利用课本（苏教版必修5）中推导等差数列前n项和的方法，
求得f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（4）+f（5）的值为（ ）
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A. 9 B. 11 C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 命题“∃x＞0，2x-1＜0．”的否定是______．
14. 不等式2x2-kx+k＞0对于任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围是______． 15. 已知数列{an}首项为a1=1，且
______．
16. 已知正数a，b满足a+b=2，则
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 解下列不等式：
（1）（1-x）（x+2）＞-4
（2）
的最大值为______．
，则数列
的前n项和为
18. 已知等差数列{an}前n项和为Sn，且S2=-18，S11=0．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若
，求证：数列{bn}是等差数列．
19. 已知数列{an}的前n项和Sn，且满足：Sn=2an-1，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=2n+1，求数列{an•bn}的前n项和Tn．
20. 某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为C
（x），当年产量不足80千件时，千件时，
（万元）．当年产量不小于80
（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场
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分析，该厂生产的商品能全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式． （2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
21. 设函数f（x）=ax2+（b-2）x+3，（a≠0）
（1）若不等式f（x）＞0的解集为（-3，1），求a，b的值； （2）若b=-a，求不等式f（x）≤1的解集． 22. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n2-2n+1，数列{bn}中，b1=
正整数
．
，对任意
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在实数μ，使得数列{3n•bn+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由； （3）求数列{bn}前n项和为Tn．
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：当a∈R时，a＞1⇒a2＞1；而a2＞1不能推出a＞1，也可能a＜-1． ∴“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件． 故选：B．
由a＞1⇒a2＞1，而a2＞1不能推出a＞1，则答案可求． 本题考查充分必要条件的判定，是基础题． 2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了数列通项公式的写法，主要用观察法，考查归纳推理，属于基础题． 根据数列的前四项是
，找规律，奇数项为负数，偶数项为正数，分子都是
1，分母是项数加1，即可写出通项公式． 【解答】
解：由数列的前四项是归纳推理得
；
，
故选：A． 3.【答案】C
【解析】解：∵在等差数列{an}中，a3=2，a6=4， ∴等差数列{an}的公差d=
=
=．
故选：C．
利用等差数列的通项公式直接求解． 本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.【答案】B
【解析】解：等比数列{an}中，a4=27，q=-3， 则a1==
=-1．
故选：B．
根据等比数列的通项公式计算即可．
本题考查了等比数列的定义与性质应用问题，是基础题． 5.【答案】C
【解析】解：
=x-1+
+1≥2
+1=3，当且仅当x=2时取等号．
则y的最小值是3． 故选：C．
变形利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
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6.【答案】D
【解析】解：命题p：x＞m，q：2+x-x2＜0， ∵命题p是命题q的充分不必要条件， ∴p能推出q，q推不出p．
由题知：q：2+x-x2＜0，解得：x＞2或x＜-1． 则：m≥2． 故选：D．
求解一元二次不等式化简q，再由命题p是命题q的充分不必要条件转化为两集合间的关系求解．
本题考查了充要条件、简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，是基础题． 7.【答案】A
【解析】解：由
，
，得：
得a1=或6． 故选：A． 将
，
建立关于a1，q的方程组求解，解方程组即可求出结果
本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，熟练掌握公式，同时要注意运算的正确性，属于基础题． 8.【答案】D
【解析】解：因为a，b，c为实数，且a＞b＞0， 所以取a=2，b=1，可排除A，B，C． 故选：D．
根据a＞b＞0，取a=2，b=1可用排除法得到正确选项． 本题考查了不等式的基本性质，属基础题． 9.【答案】B
【解析】解：由题设知七层塔中，各层塔上灯的个数成等比数列，且公比q=2， 设塔顶有x盏灯，则故选：B．
设塔顶有x盏灯，由等比数列的求和公式可得
=381，解方程可得结果．
=381，解得x=3．
本题考查等比数列的前n项和，从实际问题中抽象出数列问题是解决本题的关键，属基础题．
10.【答案】C
【解析】解：依题意，前从a1到a19共有所以a20从左到右第一个数是第191个奇数，
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=190个数字，
第n个奇数为2n-1，
191-1=381． 所以第191个奇数为2×
故选：C．
先计算前19行数字的个数，进而可得a20从左到右第一个数．
本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．属于中档题． 11.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的性质和前n项和应用问题，是基础题．
根据等差数列的前n项和公式与项的性质，得出a10＞0，且a11＜0，由此判断数列{an}的前10项和最大．
【解答】
解：等差数列{an}中，前n项和为Sn，且S20＞0，S21＜0， 所以
即a10+a11＞0，并且a11＜0， 所以a10＞0，
所以数列{an}的前10项和最大． 故选：C． 12.【答案】B
【解析】解：函数f（x）=则f（x）+f（-x）=
，可得f（-x）=
=
，
=2，
设s=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（4）+f（5）， 则s=f（5）+f（4）+…+f（0）+…+f（-4）+f（-5），
相加可得2s=[f（-5）+f（5）]+[f（-4）+f（4）]+…+2f（0）+…+[f（4）+f（-4）]+[f（5）+f（-5）]
=2+2+…+2+…+2+2=2×11， 可得s=11． 故选：B．
由题意求得f（x）+f（-x）=2，设s=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（4）+f（5），则s=f（5）+f（4）+…+f（0）+…+f（-4）+f（-5），两式相加，计算可得所求和．
本题考查函数的值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得f（x）+f（-x）=2是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题． 13.【答案】∀x＞0，2x-1≥0
【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x＞0，2x-1≥0， 故答案为：∀x＞0，2x-1≥0．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 14.【答案】0＜k＜8
【解析】解：2x2-kx+k＞0对于任意的实数x恒成立， ∴二次函数y=2x2-kx+k的图象恒在x轴上方，
2×k＜0， ∴△=k2-4×
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即 k2-8k＜0， ∴0＜k＜8，
故答案为：0＜k＜8．
本题是一道二次不等式恒成立问题，可以转化为对应的二次函数的图象恒在x轴上方，则判别式△＜0求解．
本题是二次不等式恒成立问题，x的范围是R，我们还可以变式将x的范围进行适当的限制，然后用分类讨论的方法或分离参数的方法求解．
15.【答案】
【解析】解：a1=1，且
可得an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1） =1+2+3+…+n=n（n+1）， 则=可得数列=2（1-=2（-），
，
的前n项和为2（1-+-+…+-）=
． ．
）
故答案为：
由数列的恒等式：an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1），结合已知递推式，结合等差数列的求和公式，可得an，求得=
=2（-），再由数列的裂项相消求和，
可得所求和．
本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的恒等式，考查数列的裂项相消求和，同时考查等差数列的求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：正数a，b满足a+b=2，∴（a+1）+（b+2）=5． 则∵
+
=
+
=2-（
++）． ）=（2+
+
）≥（2+2）=，当且仅当
=[（a+1）+（b+2）]（
a+1=b+2=，解得a=，b=时取等号． ∴∴
=2-（
+
）≤2-=．
的最大值为．
故答案为：．
正数a，b满足a+b=2，变形为（a+1）+（b+2）=5．变形
=
+
=2-
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（+），再利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了基本不等式的性质、变形方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：（1）原不等式可化为x2+x-6＜0，所以原不等式的解集为{x|-3＜x＜2}；（2）原不等式可化为等价于
，
，
所以原不等式的解集为{x|x≤-4或x＞3}．
【解析】（1）原不等式可化为x2+x-6＜0，然后按一元二次不等式的解法解即可； （2）原不等式可化为
，该不等式又等价于
，然后解不等式组
即可．
考查一元二次不等式和分式不等式的解法．
18.【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d， 可得∴an=2n-12． （2）
，
，从而bn+1-bn=1（常数）．
所以数列{bn}是等差数列．
【解析】（1）设出数列的公差，利用已知条件列出方程组求解首项与公差，即可得到通项公式．
（2）求出等差数列的和，化简
，然后求解数列的和即可． ，
本题考查数列求和数列的递推关系式的应用，考查转化首项以及计算能力． 19.【答案】解：（1）依题意：当n=1时，有：S1=2a1-1，又S1=a1，故a1=1， 由Sn=2an-1①当n≥2时，有Sn-1=2an-1-1②， ①②得：Sn-Sn-1=an=2an-2an-1化简得：an=2an-1， ∴{an}是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴（2）
．
，
，
， =
，
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．
【解析】（1）求出数列的首项，推出{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式．
（2）利用错位相减法，求解数列的和即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力．
1 000x【答案】解：（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×20.
万元，依题意得：
1 000x）-当0＜x＜80时，L（x）=（0.05×1 000x）-（当x≥80时，L（x）=（0.05×=1200-．
-250=-x2+40x-200．
）-200
所以，
（2）当0＜x＜80时，L（x）=-（x-60）2+1000．
此时，当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=1000万元． 当x≥80时，L（x）=1250-=1250-200=1 050． 此时x=
，即x=100时，L（x）取得最大值1 050万元．
≤1250-2
由于1000＜1050，
答：当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大， 最大利润为1050万元．
【解析】（1）利用已知条件通过当0＜x＜80时，当x≥80时，列出L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式．
（2）利用分段函数分段求解函数的最值即可．
本题考查分段函数的应用，实际问题的处理方法，二次函数以及基本不等式的应用，是基本知识的考查．
21.【答案】解：（1）由不等式f（x）＞0的解集为（-3，1）可得：方程ax2+（b-2）x+3=0的两根为-3，1且a＜0 由根与系数的关系可得：
解得：
．
（2）当b=-a，不等式f（x）≤1即ax2-（a+2）x+2≤0，（a≠0）． 即（ax-2）（x-1）≤0，（a≠0）． ①a＜0时，不等式可化为②a＞0时，原不等式可化为∴当0＜a＜2时，
，所以
．
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，．
，所以．
当a=2时，原不等式可化为（x-1）2≤0，所以x=1． 当a＞2时，
，所以
．
．
．
综上：当a＜0时，原不等式的解集为当0＜a＜2时，原不等式的解集为当a=2时，原不等式的解集为{x|x=1}． 当a＞2时，原不等式的解集为
．
【解析】（1）一元二次不等式解集为（-3，1），则-3，1即为方程ax2+（b-2）x+3=0的两实根，由根与系数的关系可得a，b的值．
（2）当b=-a，不等式f（x）≤1即ax2-（a+2）x+2≤0，（a≠0）．即（ax-2）（x-1）≤0，（a≠0）．先看二次项系数，分a＜0，a＞0两种情况；
当a＞0时，再比较两个根为1和的大小关系，分别求出解集即可．
本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，含参数的一元二次不等式的解法，注意数形结合和分类讨论的思想方法的运用，属于中档题． 22.【答案】解：（1）Sn=n2-2n+1， 当n=1时，a1=S1=0；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-2n+1-（n-1）2-2（n-1）-1=2n-3， 则an=
；
（2）假设存在实数μ，使得数列{3n•bn+μ}是等比数列， 数列{bn}中，b1=
，对任意正整数
．
可得b1=，且3•3n-1•bn-1+3n•bn=1， 由假设可得3n•bn+μ=-3（3n-1•bn-1+μ）， 则-4μ=1，可得μ=-，
可得存在实数μ=-，使得数列{3n•bn+μ}是公比q=-3的等比数列； （3）由（2）可得3n•bn-=（3b1-）•（-3）n-1=•（-3）n-1， 则bn=•（）n+•（-1）n-1，
则前n项和Tn=[++…+•（）n]+（-+…+•（-1）n-1]，
当n为偶数时，Tn=+0=（1-）；
当n为奇数时，Tn=+=（1-）+=-，
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则Tn=．
【解析】（1）由数列的递推式：当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1，计算可得所求通项公式；
（2）假设存在实数μ，使得数列{3n•bn+μ}是等比数列，求得b1，再由任意正整数
，构造等比数列{3n•bn+μ}，解方程可得μ，即可判断存在性；
（3）由等比数列的通项公式可得bn=•（）n+•（-1）n-1，再由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，讨论n为奇数或偶数，即可得到所求和．
本题考查数列的递推式的运用：求通项公式，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查分类讨论思想和构造数列法，考查化简运算能力，属于中档题．
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