离散数学课后习题答案第四章

第十章部分课后习题参考答案

4．判断以下集合对所给的二元运算是否封闭： （1） 整数集合Z和普通的减法运算。

封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元 （2） 非零整数集合

普通的除法运算。不封闭

（R）和矩阵加法与乘法运算，其中n

2。

（3） 全体nn实矩阵集合

封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元；

乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；

（4）全体nn实可逆矩阵集合关于矩阵加法与乘法运算，其中n（5）正实数集合

和运算，其中运算定义为：

不封闭 因为 1111111R （6）n关于普通的加法和乘法运算。

2。不封闭

封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是0，无零元；

乘法无单位元（n1），零元是0；n1单位元是1 （7）A = {a1,a2,,an}n

运算定义如下：

封闭 不满足交换律，满足结合律， （8）S =

关于普通的加法和乘法运算。

封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 （9）S = {0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律 （10）S =

,S关于普通的加法和乘法运算。

加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律

5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。 见上题

7．设 * 为Z上的二元运算x,yZ，

X * Y = min ( x，y ),即x和y之中较小的数.

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(1)求4 * 6，7 * 3。 4, 3

(2)* 在Z上是否适合交换律，结合律，和幂等律？ 满足交换律，结合律，和幂等律

(3)求*运算的单位元，零元与Z中所有可逆元素的逆元。 单位元无，零元1, 所有元素无逆元

8．SQQQ为有理数集，*为S上的二元运算，,

< a，b >* =

（1）*运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？ 不可交换：*= < a，b >*

可结合：(*)*=*= *(*)=*= (*)*=*(*) 不是幂等的

（2）*运算是否有单位元，零元？ 如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。 设是单位元，

S ，*= *=

S有

 则==，解的=<1,0>，即为单位。

设是零元，

S ，*= *=

则==，无解。即无零元。

S，设是它的逆元*= *=<1,0>

==<1,0> a=1/x,b=-y/x

所以当x0时，x,y11y, xx

10．令S={a，b}，S上有四个运算：*，

分别有表10.8确定。

(a) (b) (c) (d)

(1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？

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(a) 交换律，结合律，幂等律都满足， 零元为a,没有单位元； (b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元

a1a,b1b

(c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律

a(bb)aab,a(bb)(ab)b

(ab)baba

没有单位元, 没有零元

(d) 不满足交换律，满足结合律和幂等律 没有单位元, 没有零元

(2)求每个运算的单位元，零元以与每一个可逆元素的逆元。 见上

16．设V=〈 N，+ ，〉，其中+ ，分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？

（1）S1=（2）S2=

是

不是 加法不封闭

（3）S3 = {-1，0，1} 不是，加法不封闭

第十一章部分课后习题参考答案

8.设S={0，1，2，3}，

为模4乘法，即

y=(xy)mod 4

\"x,y∈S, x

问〈S，

〉是否构成群？为什么？

y=(xy)mod 4S,

是S上的代数运算。

解：(1) x,y∈S, x

(2)x,y,z∈S,设xy=4k+r0r3

(x

y)

z =((xy)mod 4)

z=r

z=(rz)mod 4

=(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同理x

(y

z) =(xyz)mod 4 y)

z = x

(y

z)，结合律成立。

所以，(x(3)x∈S, (x

1)=(1x)=x,，所以1是单位元。

(4)111,313, 0和2没有逆元

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所以，〈S，

〉不构成群

9.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算。如下： \" x,y∈Z,xoy= x+y-2

问Z关于o运算能否构成群？为什么？

解：(1) x,y∈Z, xoy= x+y-2Z,o是Z上的代数运算。 (2)x,y,z∈Z,

(xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立。

(3)设e是单位元，x∈Z, xoe= eox=x,即x+e-2= e+x-2=x, e=2 (4)x∈Z , 设x的逆元是y, xoy= yox=e, 即x+y-2=y+x-2=2, 所以，x1y4x 所以〈Z，o〉构成群

101011.设G=01,01,101001,01，证明G关于矩阵乘法构成一个群． 解：(1) x,y∈G, 易知xy∈G,乘法是Z上的代数运算。

(2)矩阵乘法满足结合律

10(3)设01是单位元，

(4)每个矩阵的逆元都是自己。 所以G关于矩阵乘法构成一个群．

14.设G为群，且存在a∈G,使得 G={ak∣k∈Z} 证明：G是交换群。

证明:x,y∈G，设xak,yal，则

xyakalaklalkalakyx

所以，G是交换群

17.设G为群，证明e为G中唯一的幂等元。

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22e0，即e0e0e，由消去律知e0e 证明:设e0G也是幂等元，则e0

18.设G为群，a,b,c∈G,证明 ∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣

证明：先证设(abc)ke(bca)ke 设(abc)ke,则(abc)(abc)(abc)(abc)e， 即 a(bca)(bca)(bca)(bca)a1e 左边同乘a1，右边同乘a得

(bca)(bca)(bca)(bca)(bac)ka1eae

反过来，设(bac)e,则(abc)e.

kk由元素阶的定义知，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣

19.证明：偶数阶群G必含2阶元。

证明：设群G不含2阶元，aG，当ae时，a是一阶元，当ae时，a至少是3阶元,因为群G时有限阶的，所以a是有限阶的，设a是k阶的,则a1也是k阶的，所以高于3阶的元成对出现的，G不含2阶元，G含唯一的1阶元e,这与群G是偶数阶的矛盾。所以，偶数阶群G必含2阶元

20.设G为非Abel群，证明G中存在非单位元a和b,a≠b,且ab=ba. 证明：先证明G含至少含3阶元。

若G只含1阶元,则G={e},G为Abel群矛盾；

若G除了1阶元e外,其余元a均为2阶元，则a2e，a1a

a,bG,a1a,b1b,(ab)1ab,所以aba1b1(ba)1ba，

与G为Abel群矛盾；

所以，G含至少含一个3阶元，设为a，则aa2，且a2aaa2。 令ba2的证。

21.设G是Mn(R)上的加法群，n≥2，判断下述子集是否构成子群。 （1）全体对称矩阵是子群 （2）全体对角矩阵是子群

（3）全体行列式大于等于0的矩阵. 不是子群 （4）全体上（下）三角矩阵。是子群

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22.设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N（a）表示G中与a可交换的元素构成的集合，即 N（a）={x∣x∈G∧xa=ax} 证明N（a）构成G的子群。 证明：ea=ae,eN(a)

x,yN(a),则axxa,ayya

a(xy)(ax)y(xa)yx(ay)x(ya)(xy)a,所以xyN(a)

由axxa，得x1axx1x1xax1,x1aeeax1，即x1aax1，所以x1N(a) 所以N（a）构成G的子群

31.设1是群G1到G2的同态，2是G2到G3的同态，证明12是G1到G3的同态。 证明：有已知1是G1到G2的函数，2是G2到G3的函数，则1·2是G1到G3的函数。

a,bG1,(12)(ab)2(1(ab))2(1(a)1(b))

(2(1(a)))(2(1(b)))(12)(a)(12)(b)

所以:1·2是G1到G3的同态。

33.证明循环群一定是阿贝尔群，说明阿贝尔群是否一定为循环群，并证明你的结论。 证明：设G是循环群,令G=,x,yG,令xak,yal,那么

xyakalaklalkalakyx,G是阿贝尔群

克莱因四元群,G{e,a,b,c}

eeabeabecccaabbccb eacbae是交换群,但不是循环群,因为e是一阶元，a,b,c是二阶元。 36.设,是5元置换，且

1234512345， 2145334512(1)计算,,1,1,1； (2)将,1,1表成不交的轮换之积。

(3)将（2）中的置换表示成对换之积，并说明哪些为奇置换，哪些为偶置换。

1234512345112345解：(1)453214312545123

6 / 7

112153454132

1234512345(2)(1425)1(14253)1(143)(25) (3)(14)(12)(15)奇置换，

1(14)(12)(15)(13)偶置换

1(14)(13)(25)奇置换

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