§2-3拉普拉斯变换及其应用
时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种.
一、拉氏变换的定义
已知时域函数为
，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换
(2-45)式中，
称为原函数，
称为象函数，变量为复变量，表示为 数，所以
(2-46)因为
是复自变量的函
是复变函数。
有时，拉氏变换还经常写为
(2-47)
拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为
(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由
到
的闭曲线。
二、常用信号的拉氏变换
系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。现复习一些基本时
域信号拉氏变换的求取。
(1)单位脉冲信号
理想单位脉冲信号的数学表达式为
(2-49) 且
(2-50)
所以
(2-51) 说明：单位脉冲函数可以通过极限
方法得到。设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。在坐标图上经常将单位脉冲函数的线段。
表示成单位高度的带有箭头
由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。因此在求它的
拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是下限是
。由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分
，，。
,是有实际意义的。所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有
处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为
三种情况。为不丢掉信号中位于
(2)单位阶跃信号
单位阶跃信号的数学表示为
(2-52)
又经常写为 (2-53)
由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为
(2-54)
因为
阶跃信号的导数在限规定为
。
处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下
(3)单位斜坡信号
单位斜坡信号的数学表示为
(2-55)
图2-15单位斜坡信号
另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为 (2-56) 氏变换，利用分部积分公式
得
(2-57) 为了得到单位斜坡信号的拉
(4)指数信号
指数信号的数学表示为
(2-58) 为
(2-59)
(5)正弦、余弦信号
正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。由指数函数的拉氏变换，可以直接写出复指数函数的拉氏变换为
(2-60)
因为
式
拉氏变换
(2-61) 由欧拉公
(2-62) 有
(2-63)
分别取复指数函数的实部变换与虚部变换，则有：正弦信号的拉氏变换为
换为
(2-64) 同时，余弦信号的拉氏变
(2-65)
常见时间信号的拉氏变换可以参见表2-1。
表2-1常见函数的拉普拉斯变换表
三、拉氏变换的一些基本定理
(1)线性定理
若函数的拉氏变换分别为，则
(2-66)
(2)延迟定理
若函数的拉氏变换为，则
(2-67)
信号
与它在时间轴上的平移信号
的关系见图2-18所示。该定理说明了时
间域的平移变换在复数域有相对应的衰减变换。应用延迟定理，可以简化一些信号的拉氏变换的求取。
例2-9 周期锯齿波信号如图2-18所示，试求该信号的拉氏变换。
解：该信号为周期信号。因此，已知信号第一周期的拉氏变换为换的延迟定理，得到周期信号的拉氏变换为
时，应用拉氏变
锯齿波信号第一周期的拉氏变换为
所以，锯齿波信号的拉氏变换为
(3)衰减定理
若函数的拉氏变换为，则
(2-68) 该定理说明了时间信号在时间域的指数
衰减，其拉氏变换在变换域就成为坐标平移。当时间函数带有指数项因子时，利用拉氏变换的衰减定理，可以简化其拉氏变换的求取计算。
例2-10 试求时间函数的拉氏变换。
解： 因为正弦函数的拉氏变换为
所以，应用拉氏变换的衰减定理可以直接写出
另外，衰减定理与延迟定理也表明了时间域与变换域的对偶关系。
(4)微分定理
若函数的拉氏变换为，且的各阶导数存在，则各阶导数的拉氏变换为
(2-69)
(2-70)
………… )
(2-71
当所有的初值(各阶导数的初值)均为零时，即
则
(2-72)
(2-73)
…………
(2-74)
证明：(在此只证明一阶导数的拉氏变换，其余请读者自证)
由拉氏变换的定义式
利用分部积分公式
令
则
所以
证毕。
(5)积分定理
若函数的拉氏变换为，则
(2-75)
定理的证明同样采用分部积分公式可以证得，请读者自证。式中
为函数的在时刻的积分值。积分定理与微分定理互为逆定理。
(6)初值定理
若函数的拉氏变换为，且在处有初值，则
(2-76)
即时域函数的初值，可以由变换域求得。
证明 由微分定理令即可证得。
注意，拉氏变换的初值定理是满足拉氏变换的定义的，因此由初值定理所求得的时间
信号的初值为，而不是或者。例如阶跃信号，可以利用拉氏变换的初值
定理求得其初值为
(7)终值定理
若函数的拉氏变换为，且存在，则 (2-77)
即时域函数的终值，也可以由变换域求得。
证明：由微分定理
两边对取极限
因为，所以方程左边
方程右边
所以
证毕。
(8)卷积定理
若时域函数分别有拉氏变换，时域函数的卷积分为
(2-78)
又常表示为
(2-79) 则其拉氏变换为
(2-80)
这表明时域函数卷积分在变换域成为变换域函数的乘积。证明可参考其他教材。
时域函数在变换域中表示有两个优点。一个优点是简化了函数，例如指数函数和正、余弦函数都是时域中的超越函数，在变换域中成为有理函数表示；另一个优点是简化了运算，如时域函数的卷积分在变换域中成为变换域函数的乘积。
常用的拉氏变换基本定理可以参见表2-2。
表2-2 拉普拉斯变换的基本性质表
四、拉普拉斯反变换
拉普拉斯变换将时域函数变换为复变函数，相应地它的逆运算可以将复变
函 数变换回原时域函数。拉氏变换的逆运算称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变
换。由复变函数积分理论，拉氏反变换的计算公式为
(2-81)
上式的拉氏反变换，由于是复变函数的积分，计算复杂，一般很少采用。所以已知反求
时，通常采用的方法是部分分式法。
由于工程中常见的时间信号分解为一系列的有理分式应的时域函数
，它的拉氏变换都是s的有理分式。因此，可以将
所对
之和，再利用拉氏变换表确定出所有的有理分式项
。上述过程遵循的是拉氏变换的线性定理。
，合成时域函数
拉氏变换通常为s的有理分式，可以表为
(2-82)
式中，是分子多项式，
。
是分母多项式，系数和均为实
数，，为正整数，而且
在复变函数理论中，分母多项式所对应的方程的极点。这样
可以表示为
，其所有的解 称为
(2-83)
由复变函数的留数定理，可以确定的各分式，求得拉氏反变换为
(2-84)
下面分别讨论各种计算情况。
1．全部为单根
可以分解为
(2-85)
其中
(2-86)
为复变函数对于极点的留数。则拉氏反变换为
(2-87)
例2-11 已知： ，求拉氏反变换。
解：将分解为部分分式
极点为：，则对应极点的留数为
则分解式为
查拉氏变换表可得
2．有重根
只考虑一个单根情况，设为单根，为重根，，则可以展开为
(2-88)
式中，与单根相对应的系数的求法与前述相同。与重根相对应的各系数
，由留数定理可得计算公式如下：
，
(2-89)
…………
(2-90)
因为
所以，拉氏反变换为
(2-91)
例2-12 求的拉氏反变换。
解：可以分解为
系数C1，C2，分别对应单根，，由前述单根情况计算为
系数
分别对应二重根s3=-1
于是，的分解式为
查表求得拉氏反变换为
3．A(s)=0有共轭复数根
时域函数有共轭复数根时，可以将其作为单根(互不相同)来看待。但是在分解时，涉及到复数运算，计算繁琐。拉氏变换中有如下的变换对：
上述变换对的分母都是共轭复数形式的二次三项式，相对应的反变换均为正余弦型。所以，除了可以按照单根情况计算外，还可以按照下述例题的计算步骤进行计算。
例2-13 已知，试求其拉氏反变换。
解：因为分子多项式的次数与分母多项式的次数相等，必然存在常数项，而常数项的拉氏反变换为脉冲函数，所以有：
第一步，将分子多项式除以分母多项式，分离常数项为
第二步，将余式的二次三项式按照上述拉氏变换表整理为
第三步，写出拉氏反变换。
因为
所以
五、拉氏变换法求解微分方程
列出控制系统的微分方程之后，就可以求解该微分方程，利用微分方程的解来分析系统的运动规律。微分方程的求解方法，可以采用数学分析的方法来求解，也可以采用拉氏变换法来求解。采用拉氏变换法求解微分方程是带初值进行运算的，许多情况下应用更为方便。拉氏变换法求解微分方程步骤如下：
(1)方程两边作拉氏变换。
(2)将给定的初始条件与输入信号代入方程。
(3)写出输出量的拉氏变换。
(4)作拉氏反变换求出系统输出的时间解。
例2-14 滤波电路如图2-19所示，输入电压信号
。
，电容的初始电压
分别为0V和1V时，分别求时域解
解：RC电路的微分方程为
方程两边作拉氏变换
由拉氏变换的线性定理得
由拉氏变换的微分定理得
将系统参数值
带入整理得
输出的拉氏变换为
（1）时，
（2） 时，
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