安徽寿县一中2012年高三第三次月考(理数)

安徽寿县一中2012年高三第三次月考

数学试题（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的. 请把答案填在答题卡的相应位置.

1.若集合A{x|2xx20},B{y|y|x|,xA}，则AB（ ） A.

B.[0,1] C.[0,2]

D.{0,1,2}

2.已知ab1，0x1，以下结论中成立的是（ ）

A.axbx B.xaxb C.logaxlogbx D.logxalogxb 3.下列命题是假命题的是（ ） ．．．

A.命题“若x1,则x23x20”的逆否命题是“若x23x20,则x1”

2B.若命题p:xR,x2x10,则p:x0R,x0x010

C.“x2”是“x23x20”的充分不必要条件 D.若pq为真命题,则p,q均为真命题

4.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题是（ ）

A.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”

C.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”

5.右图是函数f(x)xbxcxd图象，则函数yx2bxc的单调递增区间为

y 322（ ）

A.(,] B.[3,) C.[,) D.[2,3]

2233O 3 2x 6.edx的值等于（ ）

222x A.ee2 B.2e C.ee2222 D.2e2

2

7.已知函数f(x)x3(m1)x2(m5)x既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是（ ）

A.(1,2) B.(,2)(7,) C.(2,7) D.(,2][7,)

8.设直线xm与函数f(x)x2,g(x)lnx的图象分别交于点M,N，则|MN|的最小值为（ ）

A.0 B.1 C.4ln2 D.ln2e 1,x09.已知函数f(x)x，则使方程xf(x)m有解的实数m的取值范围是（ ）

1,x0A.(1,2) B.(,2] C.(,1][2,) D.(,1)(2,) 10.曲线yln(3x2)上的点到直线3xy70的最短距离是（ ） A.10 B.210 C.310 D.0

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请把答案填在答题卡的相应位置.

2011.643()log28 .

3112.设集合A{x||x|xAB} ．

4B},2x{x|x, 4则集3合0{x}|xA且

13.已知函数f(x)（xR）满足f(1)1,且对任意xR,f(x)1,则f(x)x的解集为 ．

x14.已知函数y()的图象与函数ylogax（a0且a1）的图象交于点P(x0,y0)，

12如果x02，那么实数a的取值范围是 .

15.已知f(x)是定义在R上的函数，且f(2x)f(2x)，f(x2)列命题：

1f(x).给出下

①f(0)0； ②函数f(x)是周期函数，并且周期为4； ③函数f(x)是奇函数； ④函数f(x)的图象关于y轴对称； ⑤函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称.

其中所有正确命题的序号为 .（填写所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

请将解答过程写在答题卡的相应位置． 16.（本小题12分）

已知集合A{x|x2axa2190},B{x|log2(x25x8)1},

2C{x|x2x80}.若AB与AC同时成立，求实数a的值.

17.（本小题12分）

已知命题:x1和x2是方程xmx2940的两个实根，不等式aa3|x1x2|对

22任意实数m[1,1]恒成立；命题:不等式ax2x10有解. （Ⅰ）若命题是真命题，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若命题是真命题且命题是假命题，求实数a的取值范围.

18.（本小题12分）

已知二次函数f(x)满足：f(1)0，且8xf(x)4(x21)对于xR恒成立. （Ⅰ）求f(1)及f(x)的表达式；

x1f(x)2（Ⅱ）设g(x)，定义域为D，现给出一个数学运算：

x1x2(g)x13 )xx(gxng(xn1)，若xnD，则运算继续下去；若xnD，则运算停止给出x173，请你写出满足上述条件的集合D{x1,x2,x3,xn}.

19.（本小题13分）

国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值v（美元）与其重量w（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．

（Ⅰ）若把一颗钻石切割成重量比为1:3的两颗钻石，求价值损失的百分率；

（Ⅱ）试用你所学的数学知识证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1:1切割，价值损失的百分率最大． （注：价值损失的百分率略不计）

20.（本小题13分）

已知函数f(x)axlnx图像上点(e,f(e))处的切线与直线y2x平行． （Ⅰ）求函数f(x)的解析式； （Ⅱ）求函数f(x)的最小值；

（Ⅲ）讨论关于x的方程f(x)m0(mR)解的个数.

原有价值现有价值原有价值100%；在切割过程中的重量损耗忽

21.（本小题13分）

已知f(x)ax3bx2cxd是定义在R上的函数, 且与x轴交于A,B,C三点, 若点B的坐标为(2,0),且f(x)在[1,0]和[4,5]上有相同的单调性, 在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性. （Ⅰ）求

ba的取值范围；

（Ⅱ）在函数f(x)的图象上是否存在一点M(x0,y0), 使得f(x)在点M的切线斜率为

3b?

若存在，求出点M的坐标；若不存在,说明理由； （Ⅲ）求AC的取值范围.

参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 A 5 C 6 D 7 B 8 D 9 C 10 A 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.

11.6 12.[1,3]； 13.(1,)； 14.[16,)； 15.①②③⑤ 三、解答题：本大题共6个小题,满分75分． 16.（本小题12分）

【解】：集合A不确定，所以首先考虑B,C

由x25x82，得B{2,3}，又C{4,2}

2C且AC，2A，

又2B,3B且AB，3A„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 于是由323aa2190，得a5或2 当a5时，AB{2,3}，与2A矛盾，a5

当a2时，经检验满足条件，故a2.„„„„„„„„„„„„„„„„12分 17.（本小题12分）

x1x2m2【解】：（Ⅰ）∵x1，x2是方程xmx0的两个实根，∴9

4x1x249∴|x1x2|(x1x2)4x1x22m9，

2∴当m[1,1]时，|x1x2|min3，

2由不等式aa3|x1x2|对任意实数m[1,1]恒成立，

2可得aa33，∴2a3，∴命题为真命题时，a的取值范围为

2a3；„„„5分

（Ⅱ）命题：不等式ax2x10有解， ①当a0时，显然有解； ②当a0时，2x10有解；

2③当a0时，∵ ax2x10有解，∴44a0，∴1a0，

2

从而命题：不等式ax22x10有解时a1. 又命题是假命题，∴a1.

故命题是真命题且命题是假命题时，a的取值范围为2a1.„„„„12分 18.（本小题12分）

【解】：（Ⅰ）由8xf(x)4(x21)，令x1，得8f(1)8，f(1)8 设

f(x)axbxc(a0)2，由

f(1及

f(1)0得

abc8b4,ac4 abc0又ax2bxc8x，即ax24xc0对xR恒成立

a0，即(a2)20，a2,c2，故f(x)2(x1)2 „„6分 164ac0（Ⅱ）由g(x)15,x1f(x)2x12(x1)13121x1，由题意x173，

x2g(x1)D{73,x3g(x2),x4g(x3)1,x51}无意义，故

11.,„„„12,分 5319.（本小题13分）

2【解】：（Ⅰ）依题意设vkw，又当w3时，v54000，∴k6000，

故vkw6000w．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

设这颗钻石的重量为a克拉，则按重量比为1:3切割后的价值为

6000(14a)6000(22234a)．

22 价值损失为6000a[6000(214a)6000(2342a)]．

26000a[6000(1 价值损失的百分率为

426000aa)6000(34a)]0.37537.5%

2 答：价值损失的百分率为37.5％．„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 （Ⅱ）若把一颗钻石按重量比为m:n切割成两颗，价值损失的百分率应为

1[(mmn)(2nmn)]22mn(mn)2，又

2mn(mn)22(mn22(mn))212，

等号当且仅当mn时成立.即重量比为1:1时，价值损失的百分率达到最大„„„„„„13分

解法二：（Ⅱ）设一颗钻石切割成两颗，其重量比为1:x，

x2x12x2x1 又x0，∴x212x，故2

x2x12x2x2则价值损失的百分率为1[(11x)(2x1x)]22x2,

等号当且仅当x1时成立．故当重量比为1:1时，价值损失的百分率达到最大„13分 20.（本小题13分）

【解】：（Ⅰ）由点(e,f(e))处的切线方程与直线2xy0平行，得该切线斜率为2，即

f'(e)2.

又f'(x)a(lnx1)，令a(lne1)2,a1,所以f(x)xlnx.„„„„4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知fxlnx1， 当x(0,)时，f(x)0,f(x)单调递减；

e1当x(,)时，f(x)0,f(x)单调递增．

e1e1e1e1e1所以函数f(x)的最小值为f()1eln．„„„„„„„„„„„„„„„„8分

1e,0)；

（Ⅲ）当x(0,)时，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是(1e1e当x(,)时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是(下面讨论方程f(x)m0(mR)的解 当m1e1e,)

时，原方程无解；

当m1e或m0时，原方程有唯一解

当m0，原方程有两解. „„„„„„„„„„„„„„„„13分

21.（本小题13分）

【解】：（Ⅰ）f(x)ax3bx2cxdf(x)3ax22bxc 由题意得：f(x)在[1,0]和[0,2]上有相反的单调性f(0)0c0 当c0时，f(x)0的另一个根为x2b3a

2b3aba3

f(x)在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性246由题意得：f(x)ax3bx2d0的三个不同根为2,xA,xC 得f(2)0d8a4b

f(x)(x2)[ax(2ab)x2(2ab)]0 ax(2ab)x2(2ab)0两个不同根为xA,xC

22(2ab)(b6a)0(baba2)(ba6)0ba6或

ba2

综上得：63 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

（Ⅱ）假设在函数f(x)的图象上存在一点M(x0,y0), 使得f(x)在点M的切线斜率为

3b，

2则f(x0)3b3ax02bx03b0有解„„„„„„„„（*）

令tba6t3,a,b0

222 得：4a(t9t)4at(t9)0与（*）矛盾

在函数f(x)的图象上不存在一点M(x0,y0), 使得f(x)在点M的切线斜率为

3b „„„„9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）得：AC1a222(xAxC)(xAxC)4xAxC

2222[(2ab)8a(2ab)]t4t12(t2)16[9,48]

所以|AC|[3,43]. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„13分