《工程数学—线性代数》复习参考资料

《工程数学—线性代数》复习参考资料

——《线性代数》的复习尤其要求详细阅读人手一册的《综合练习题》 ．．．．

授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师）

第一章 行列式

一、全排列及其逆序数（理解）

1、把n个不同元素排成一列，叫做这n个元素的全排列。（也称排列）

2、对于n个不同元素，先规定元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。

逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。

例题 求排列32514的逆序数

解

3的逆序数为0；

2的逆序数为1；

1

5的逆序数为0；

1的逆序数为3；

4的逆序数为1；

于是这个排列的逆序数为

t010315

二、n阶行列式的定义（理解）

2n定义 设有个数，排成n行n列的数表，

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

………………

an1 an2 … ann

t(1)作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号，得到形如

(1)ta1p1a2p2anpn （1）

2

的项，其中

p1p2pn为自然数

1,2,,n的一个排列，t为这个排列的逆序数。由于

这样的排列共有n！个，因而形如（1）式的项共有n！项，所有这n！项的代数和

(1)ta1p1a2p2anpn

称为n阶行列式，记作

Da11a21an1a12a22an2a1na2nann，

简记为

det(aij)，数

aij称为行列式

det(aij)的元素。元素

aij的第一个下标

ij称为列，

行标，表明该元素位于第

i行，第二个下标

j称为列标，表明该元素位于第

三、行列式的性质（掌握）

记

Da11a21an1a12a22an2a1na2nann，

DTa11a12a1na21a22a2nan1an2ann

3

行列式DT称为行列式D的转置行列式。

性质1 行列式与它的转置行列式相等。

性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。

推论 如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。

性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。

第i行（或列）乘以k，记作

rik（或

cik）

推论 行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

第i行（或列）提出公因子k，记作

rik（或

cik）。

性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。

性质5 若行列式的某一列（行）的元素是两数之和，例如

a11Da21an1a12a1ia1/ia1nann，

4

/a22a2ia2a2ni/an2aniani

则D等于下列两个行列式之和：

a11a21Da12a1ia1na22a2ia2n

an1an2anianna11a12a1/ia1n/a21a22a2a2ni/an1an2aniann

性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。

以数k乘第

jj列加到第i列上，记作

cikcjrikrj；

以数k乘第

行加到第i行上，记作；

 计算行列式常用的一种方法就是利用运算从而算得行列式的值。P16例7、8。

rikrj把行列式化为上三角形行列式，

（可以证明，对于上三角行列式D有：

5

a11D0a12a22a1na2na11a22annann

当然，把任意行列式化根据以上性质为上三角形行列式需要一定的技巧。）

四、行列式按行（列）展开（掌握）

设

a11a21Dai1an1a12a22ai2an2a1na2naijainannaij

在n阶行列式中，把做元素

所在的第；记

i行和第

j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫

aij的余子式，记作

Mij

Aij(1)ijMijaij，

Aij叫做元素的代数余子式。

6

引理 一个n阶行列式，如果其中第i行的元素除

aij外都为零，那么这行列式等于

aij与它的代数余子式的乘积，即

a11a21D0an1a12a220an2a1na2naijAijaij0ann

定理 行列式等于它的任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

Dai1Ai1ai2Ai2ainAin(i1,2,,n)

或

Da1jA1ja2jA2janjAnj(j1,2,,n)

推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即

Dai1Aj1ai2Aj2ainAjn0,ij，

或

Da1iA1ja2iA2janiAnj0,ij。

五、四阶行列式的计算（重点掌握）

7

例1 计算行列式

1234112321123211

解：

1234c22c1c3c10311123c44c112112123321134111c2c1(1)3356c13c1348114(1412)2例2 计算行列式

1234234134124123

解：

0011156(1)11381140023(1)112347478

1156811

22c11234c1000c33c1127c4c2341412127(1)1128103412328107101341234710131(1)32287r22r11r37r110071013(144116)160741144(1)4360436

24五、克拉默法则（注意，计算量比较大）

设有n个未知数

x1、x2、…、xn的n个线性方程的方程组

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn2an1x1an2x2annxnbn （1）

克拉默法则 如果线性方程组（1）的系数笔列式不等于零，即

a11a1nD0

an1ann那么，方程组（1）有唯一解

9

D1x1DD2x2D，DnxnD，…，

j。

其中

Dj(j1,2,,n)是把第数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代

替后所得到的n阶行列式，即

a11a1,jib1a1,j1a1nDjan1an,j1bnan,j1ann

第二章 矩阵及其运算

一、矩阵的概念（理解）

aij(i1,2,,m;j1,2,,n)mn1、由个数组成的m行n列的数表

a11a21

a12a22am2a1na2namn

am1称为m行n列矩阵，简称mn矩阵，记作

10

a11a21Aam1a12a22am2a1na2namn

也常记作

Amn。

这mn个数称为矩阵A的元素，简称元，数

aij称为

(i,j)元。

以数

aij(aij)mnaij(i,j)为元的矩阵可简记作（）或。

2、行数和列数都等于n的矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵，n阶方阵A也记作

An。

3、只有一行的矩阵

Aa1a2an

称为行矩阵，又称行向量。为避免元素间的混淆，行矩阵也记作

A(a1,a2,,an)只有一列的矩阵

11

b1b2Bbm

称为列矩阵，又称列向量。

AaijBbij4、两个矩阵的行数相等，就称它们是同型矩阵，如果并且它们的对应元素相等，即

与是同型矩阵，

aijbij(i1,2,,m;j1,2,,n)

那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作

AB

5、元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。注意不同型的零矩阵是不同的。

6、单位矩阵 简记作E，即

10En0001001

12

7、对角矩阵 简记作

Adiag(11,2,,n) 即

100020A00n

二、矩阵的运算与性质（掌握）

1、矩阵的加法 设有两个矩阵mnAaijBbij、，那么矩阵A与B的和记作

A+B，规定为

a11b11a12a21b21a22ABabm1m1am2b12b22bm2a1nb1nna2nb2namnbmn

注意： 只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。

矩阵加法满足下列运算规律：

设A、B、C都是m×n矩阵，则

13

（1）

ABBA；

(AB)CA(BC)

（2）

（3）

ABA(B)

Aaij，记

设设矩阵

Aaij

—A称为矩阵A的负矩阵。

2、数与矩阵相乘

数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，规定为

a11a21AAam1a12a22am2a1na2namn

数乘矩阵满足下列运算规律：

设A、B、为m×n矩阵，λ、μ为数，则

14

（1）

()A(A)；

（2）

()AAA；

(AB)AB。

（3）

3、矩阵与矩阵相乘

设

AaijBbijms是一个矩阵，是一个sn矩阵，那么规定矩阵A与矩

Ccijmn阵B的乘积是一个矩阵,其中

cijai1b1jai2b2jaisbsj并把此乘积记作

C = AB

必须注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。

矩阵的乘法不满足交换律，即一般情况下配律（假设运算都是可行的）：

ABBA，但仍满足下列结合律和分

（1）

(AB)CA(BC)

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（2）

(AB)(A)BA(B),（其中λ为数）

（3）

A(BC)ABAC

(BC)ABACA

（重要）例1 已知矩阵

11311A013B20001，

求AB。

654

解：

1635114113(2)110AB01(1)(2)3006(1)534010(2)(1)00605(1)45652704

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4、方阵的行列式、伴随矩阵

定义 由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素位置不变），称为方阵A的行列式。记作

A。

行列式

A的各个元素的代数余子式

Aij所构成的如下矩阵

A11a2nan1A12a22an2AAaa2nnn1n

称为方阵A的伴随矩阵，记为．．．．

A。

5、逆矩阵

定义 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使

ABBAE

则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。

定理 若

A0，则矩阵A可逆，且

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1AAA1。

重要例题 P56-57例10

方阵的逆矩阵满足下述运算规律：

11(A)A。

1）若A可逆，则A亦可逆，且

12）若A可逆，数0则λA可逆，且

(A)11A。

3）若A，B为同阶矩阵，且均可逆，则AB亦可逆，且

(AB)1B1A1。

例题：设n阶方阵A满足A2—A—2E = 0，

证明：A—E是可逆矩阵，并求A—E的逆矩阵。

证明：由A2—A—2E = 0得

A2—A = 2E

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A（A—E）= 2E

1A(AE)E2

∴A—E是可逆矩阵

且

(AE)11A2。

复习说明——大家重点要掌握的是第一、二章的关于行列式、矩阵的各种计算，必须非常熟练、坚定不移地掌握！！

第三章略为次要一些，试题比重不会太大，第四章一般只考一些基本的概念、定理、推论，这两章建议大家按《综合练习》的题型进行复习即可。

《综合练习》还是看《通信工程专业——《线性代数》综合练习题与答案》那本，题型较为全面，比较保险。 比较重要的题目有：

第一大题的1至8；第二大题的1至7；第三大题的1至11；第四大题的1、2。

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