江苏省南京市建邺区数学中考一模试卷
一、单选题
1.下列各数中，相反数、绝对值、平方根、立方根都等于其本身的是（ ）
A. 0 B. 1 C. 0和1 D. 1和－1 【答案】A
【考点】相反数及有理数的相反数，绝对值及有理数的绝对值，平方根，立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵相反数等于它本身的数是0，平方根等于它本身的数是0，立方根等于它本身的数是0，±1，
∴相反数、平方根、立方根都等于它本身的数是0． 故答案为：A．
【分析】相反数等于它本身的数是0，平方根等于它本身的数是0，立方根等于它本身的数是0，±1，就可得出相反数、平方根、立方根都等于它本身的数。
2.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（ ）
A. 2cm B. 2.5cm C. 3cm D. 4cm 【答案】B
【考点】垂径定理，切线的性质
【解析】【解答】解：由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧EF于点H、I，再连接OF，
在矩形ABCD中，AD∥BC，而IG⊥BC， ∴IG⊥AD，
∴在⊙O中，FH= EF=2，
...
...
设求半径为r，则OH=4-r， 在Rt△OFH中，r2-（4-r）2=22 ， 解得r=2.5，
∴这个球的半径是2.5厘米． 故答案为：B.
【分析】由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧EF于点H、I，再连接OF，根据AD∥BC，而IG⊥BC，可得出IG⊥AD，求出FH的长，利用勾股定理，在Rt△OFH中，建立关于r的方程，求解即可。
3.如图①，是一个每条棱长均相等的三棱锥，图②是它的主视图、左视图与俯视图．若边AB的长度为a，则在这三种视图的所有线段中，长度为a的线段条数是（ ）
A. 12条 B. 9条 C. 6条 D. 5条 【答案】B
【考点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：观察三棱锥的三视图，可得主视图中有3条长度为a的线段，左视图中有3条长度为a的线段，俯视图中有3条长度为a的线段，所以在这三种视图的所有线段中，长度为a的线段条数是3+3+3=9条. 故答案为：B.
【分析】观察三棱锥的三视图，可得主视图中有3条长度为a的线段，左视图中有3条长度为a的线段，俯视图中有3条长度为a的线段，就可求出在这三种视图的所有线段中，长度为a的线段条数。 4.下列计算结果为负数的是（ ）
A. (－3)＋(－4) B. (－3)－(－4) C. (－3)´(－4) D. (－3)－4 【答案】A
【考点】负整数指数幂的运算性质，有理数的加法，有理数的减法，有理数的乘法 【解析】解：A、 (－3)＋(－4)=-7，符合题意； B、(－3)－(－4)=-3+4=1，不符合题意；
...
...
C、(－3)´(－4)=12，不符合题意； D、(－3)－4=81，不符合题意.
由此可得，只有选项A的计算结果为负数，故答案为：A.
【分析】利用有理数的加减法则、乘法法则、负整数指数幂的法则，分别对各选项逐一判断。 5.计算a×(a)÷a的结果是（ ）
A. a B. a C. a D. a9 【答案】C
【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法 【解析】【解答】解： a6×(a2)3÷a4 = a×a÷a = a÷a = a. 故答案为：C.
【分析】先算乘法运算，再根据同底数幂的乘法运算法则和同底数幂的运算法则计算即可。 6.若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（ ）
A. 0＜a＜1 B. 1＜a＜2 C. 2＜a＜3 D. 3＜a＜4 【答案】B
【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解： ∵tan45°=1，tan60°= ∴1＜tan55°＜ ∴1＜tan55°＜2. 故答案为：B.
【分析】利用特殊角的三角函数值，分别得出tan45°和tan60°的值，就可得出a的取值范围。 7.函数y＝ 【答案】x≤1
【考点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，被开方数为非负数， ∴1 -x≥0， 解得x≤1.
...
812
4
6
6
4
7
8
36
23
4
，
，
中，自变量x的取值范围是________．
...
故答案为：x≤1.
【分析】二次根式有意义条件是被开方数为非负数，建立不等式，求解即可。 8.分解因式a3﹣a的结果是________． 【答案】a（a+1）（a﹣1）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【解析】【解答】解：a－a =a(
3
=2(a+1)(a-1).
故答案为：2(a+1)(a-1).
【分析】观察此多项式有公因式a，因此提取公因式后，再利用平方差公式分解因式。 9.若关于x的一元二次方程x-kx-2=0有一个根是1，则另一个根是________． 【答案】-2
【考点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】设方程的另一根为x1 ， 由根据根与系数的关系可得：x1•1=-2， ∴x1=-2．
【分析】利用一二次方程的根与系数的关系，由两根之积建立方程，就可求出方程的另一个根。 10.辽宁号是中国人民解放军海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，其满载排水量为67500吨．用科学记数法表示67500是________． 【答案】6.75×104
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数 【解析】【解答】解：67500=6.75×10. 故答案为: 6.75×10.
【分析】根据科学计数法的表示形式为：a×10。其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1。
11.一组数据1、2、3、4、5的方差为S12 ， 另一组数据6、7、8、9、10的方差为S22 ， 那么S12________S22（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】= 【考点】方差
【解析】【解答】解：数据1、2、3、4、5的平均数为3，方差S12=
；
数据6、7、8、9、10的平均数为8，方差S22=
；
∴S12=S22. 故答案为：=.
...
n
4
4
2
...
【分析】先分别求出这两组数据的平均数，再利用方差的公式求出这两组数据的方差，然后比较大小，即可求解。
12.在同一平面直角坐标系中，反比例函数y1＝ （k为常数，k≠0）的图像与一次函数y2＝－x＋a（a为常数，a≠0）的图像相交于A、B两点．若点A的坐标为(m，n)，则点B的坐标为________． 【答案】（n，m）
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数y1＝ （k为常数，k≠0）的图像与一次函数y2＝－x＋a（a为常数，a≠0）的图像两个交点关于直线y=x对称，点A的坐标为(m，n)， ∴点B的坐标为(n，m). 故答案为：(n，m).
【分析】反比例函数y1＝ （k为常数，k≠0）的图像与一次函数y2＝－x＋a（a为常数，a≠0）的图像两个交点关于直线y=x对称，再根据点A的坐标，就可得出点B的坐标。 13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为3cm，∠A=110°，则劣弧
的长为________cm．
【答案】
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形的性质 【解析】【解答】连接OB．OD， ∵∠A=110°， ∴∠C=70°， ∴∠BOD=140°， 则劣弧
=
．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠C的度数，再求出圆心角∠BOD的度数，就可求出劣弧BD的度数等于它所对的圆心角的度数。
14.如图，点F、G在正五边形ABCDE的边上，BF、CG交于点H，若CF＝DG，则∠BHG＝________°．
【答案】108°
...
...
【考点】全等三角形的判定与性质，正多边形和圆 【解析】【解答】解： ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴BC=CD，∠BCF=∠CDG=108°， 在△BCF和△CDG中，
,
∴△BCF≌△CDG， ∴∠CBF=∠GCD，
∴∠BHG＝∠CBF+∠BCH=∠DCG+∠BCH=∠BCD=108°. 故答案为：108.
【分析】利用五边形ABCDE是正五边形，得出BC=CD，∠BCF=∠CDG=108°；再证明△BCF≌△CDG，得出∠CBF=∠GCD，然后利用三角形的外角性质，可求得结果。
15.如图，正八边形ABCDEFGH的边长为a，I、J、K、L分别是各自所在边的中点，且四边形IJKL是正方形，则正方形IJKL的边长为________（用含a的代数式表示）．
【答案】
【考点】正多边形和圆，解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥IL于点M，过点H作HN⊥IL与点N，可得四边形AMNH为矩形，
∵八边形ABCDEFGH为正八边形， ∴∠BAH=135°， ∵∠HAM=90°， ∴∠BAM=45°，
在等腰直角三角形AIM中，AI=
...
...
∴AM=IM= ；
，
+a+
=
.
同理求得HN=LN=
∴IL=IM+MN+LN=IM+AH+LN= 故答案为：
.
【分析】过点A作AM⊥IL于点M，过点H作HN⊥IL与点N，可得四边形AMNH为矩形，根据正八边形的性质，求出∠BAH=135°，∠BAM=45°，再根据解直角三角形求出IM、LN的长，就可求出正方形IJKL的边长。 16.如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与
相交于点D．若
，则∠B＝________°
【答案】18
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：由折叠的性质可得∠ABC=∠CBD， ∴ ∵ ∴ 即 ∴
=
， ，
的度数+
的度数+
的度数=180°，
的度数×5=180°， 的度数为36°，
∴∠B=18°. 故答案为:18.
【分析】由折叠的性质可得出弧AC=弧CD，结合已知条件就可得出弧AC的度数的5倍=180°，求出弧AC的度数，就可求∠B的度数。
二、解答题
17.计算：（a+2+ ）÷（a- ）． 【答案】解： 原式 ＝ ＝
·
÷
...
...
＝ ＝
· ．
【考点】分式的混合运算
【解析】【分析】先将括号里的分式通分计算，再将分式的除法转化为乘法，然后约分化简即可。 18.解不等式组
，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：
解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x≥﹣1， ∴不等式组的解集是﹣1≤x＜2． 不等式组的解集在数轴上表示如下：
【考点】在数轴上表示不等式（组）的解集，解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，然后把不等式组的解集在数轴上表示即可。
19.如图，①四边形ABCD是平行四边形，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，②EF⊥AC，③AO＝CO．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）在本题①②③三个已知条件中，去掉一个条件，（1）的结论依然成立，这个条件是________（直接写出这个条件的序号）．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥CF，
∴∠DAC＝∠BCA ， 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA） ∴AE＝CF
，
...
...
∴四边形AFCE是平行四边形 （2）②
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质 【解析】【解答】解：（2）由（1）的证明可得EF⊥AC多余． 故答案为：②．
【分析】（1）利用平行四边形的性质，证明∠DAC＝∠BCA ，再证明△AOE≌△COF，可得出AE＝CF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论。 （2）由（1）的证明，可得出EF⊥AC多余的，可得答案。
20.某天,一蔬菜经营户用180元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40千克到菜市场去卖,西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示： 品名 西红柿 豆角 4.6 7.5 批发价(单位:元/千克) 3.6 零售价(单位:元/千克) 5.4 问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱? 【答案】解：设批发了西红柿x千克，豆角y千克 由题意得： 解得：
(5.4-3.6)× 4＋(7.5-4.6)×36＝111.6（元） 答：卖完这些西红柿和豆角能赚111.6元． 【考点】二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题
【解析】【分析】等量关系：西红柿的数量+豆角的数量=40；购买西红柿的费用：购买豆角的费用=180元，列方程组求出西红柿和豆角的数量，然后根据售价减去进价=利润，就可求出结果。 21.超市水果货架上有四个苹果，重量分别是100g、110g、120g和125g． （1）小明妈妈从货架上随机取下一个苹果．恰是最重的苹果的概率是________； （2）小明妈妈从货架上随机取下两个苹果．它们总重量超过232g的概率是多少？ 【答案】（1）
（2）解：共有6种等可能出现的结果，分别为
①（100，110）；②（100，120）；③（100，125）；④（110，120）； ⑤（110，125）；⑥（120，125）;
总重量超过232g的结果有2种，即（110，125），（120，125）. 因此，总重量超过232g的概率是
【考点】简单事件概率的计算，复合事件概率的计算
...
...
【解析】【分析】（1）利用概率公式直接求出最重的苹果的概率。
（2）利用列举法写出所有可能的结果数及总重量超过232g的可能数，利用概率公式求解即可。 22.河西中学九年级共有9个班，300名学生，学校要对该年级学生数学学科学业水平测试成绩进行抽样分析，请按要求回答下列问题：
（1）【收集数据】若从所有成绩中抽取一个容量为36的样本，以下抽样方法中最合理的是________． ①在九年级学生中随机抽取36名学生的成绩； ②按男、女各随机抽取18名学生的成绩；
③按班级在每个班各随机抽取4名学生的成绩．
（2）【整理数据】将抽取的36名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图如下．请根据图表中数据填空： 成绩（单位：分） 频数 频率 A类（80～100） 18 B类（60～79） 9 C类（40～59） 6 D类（0～39） 3
①C类和D类部分的圆心角度数分别为________°、________°； ②估计九年级A、B类学生一共有________名．
（3）【分析数据】教育主管部门为了解学校教学情况，将河西、复兴两所中学的抽样数据进行对比，得下表： 学校 平均数（分） 极差（分） 方差 A、B类的频率和 52 80 432 0.75 497 0.82 河西中学 71 复兴中学 71 你认为哪所学校本次测试成绩较好，请说明理由． 【答案】（1）① （2）60；30；225
（3）解：两所学校都可以选择只要理由正确皆可得分.
...
...
选择河西中学，理由是平均分相同，河西中学极差和方差较小，河西中学成绩更稳定． 选择复兴中学，理由是平均分相同，复兴中学A，B类频率和高，复兴中学高分人数更多． 【考点】抽样调查的可靠性，用样本估计总体，常用统计量的选择
【解析】【解答】解：（1）若从所有成绩中抽取一个容量为36的样本，以下抽样方法中最合理的是：①在九年级学生中随机抽取36名学生的成绩，故答案为：①；
（2）①C类部分的圆心角度数为360°× =60°，D类部分的圆心角度数为360°× 60°，30°；
②估计九年级A、B类学生一共有300× 故答案为：225.
【分析】（1）抽取的学生必须具有代表性，能够反映全年级的的情况，可得出抽样方法中最合理的是①。 （2）①分别用C类和D类所占的百分比×360°，计算即可；②A、B类学生一共有的人数=300×A、B类学生所占的百分比之和，计算就可求解。
（3）从平均数、方差、高分段的人数，对两所学校分别分析即可。
23.下图是投影仪安装截面图．教室高EF＝3.5m，投影仪A发出的光线夹角∠BAC＝30°，投影屏幕高BC＝1.2m．固定投影仪的吊臂AD＝0.5m，且AD⊥DE，AD∥EF，∠ACB＝45°．求屏幕下边沿离地面的高度CF（结果精确到0.1 m）．
（参考数据：tan15°≈0.27，tan30°≈0.58）
=225，
=30°，故答案为：
【答案】解：过点A作AP⊥EF，垂足为P，
∵AD⊥DE，∴∠ADE＝90°， ∵AD∥EF，∴∠DEP＝90°， ∵AP⊥EF，
∴∠APE＝∠APC＝90°，
...
...
∴∠ADE＝∠DEP＝∠APE＝90°， ∴四边形ADEP为矩形，
∴EP＝AD＝0.5m ，∠APC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠CAP＝45°＝∠ACB，∠BAP＝∠CAP—∠CAB＝45°—30°＝15° ∴AP＝CP 在Rt△APB中， tan∠BAP＝
＝tan15°＝0.27 ，
∴BP＝0.27AP＝0.27CP,
∴BC＝CP-BP＝CP-0.27CP＝0.73CP＝1.2m， ∴CP＝1.64m，
∴CF＝EF-EP-CP＝3.5-0.5-1.64＝1.36≈1.4m 【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用
【解析】【分析】过点A作AP⊥EF，垂足为P，根据已知易证四边形ADEP为矩形，可证得∠BAP的度数及AP＝CP，利用解直角三角形求出BP=0.27CP,根据BC＝CP-BP，可求出CP的长，然后根据CF＝EF-EP-CP，可求解。
24.一辆货车从甲地出发以每小时80 km的速度匀速驶往乙地，一段时间后，一辆轿车从乙地出发沿同一条路匀速驶往甲地．货车行驶2.5 h后，在距乙地160 km处与轿车相遇．图中线段AB表示货车离乙地的距离y1 km与货车行驶时间xh的函数关系．
（1）求y1与x之间的函数表达式；
（2）若两车同时到达各自目的地，在同一坐标系中画出轿车离乙地的距离y2与x的图像，求该图像与x轴交点坐标并解释其实际意义． 【答案】（1）解：由条件可得k1＝-80 ，
设y1＝-80x+b1 ， 过点（2.5，160），可得方程160＝-80×2.5+b1 ， 解得b1＝360 ， ∴y1 ＝-80x+360
（2）解：当y1 ＝0时，可得x＝4.5，
轿车和货车同时到达，终点坐标为（4.5，360）， 设y2 ＝k2 x+b2 ， 过点（2.5，160）和（4.5，360）， 解得k2 ＝100，b2 ＝—90，
...
...
∴y2 ＝100x—90 图像如下图：
与x轴交点坐标为(0.9，0) ， 说明轿车比货车晚出发0.9h .
【考点】待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据函数图像经过的点，设出一次函数解析式，利用待定系数法求出一次函数解析式。
（2）抓住已知条件：货车行驶2.5 h后，在距乙地160 km处与轿车相遇及两车同时到达各自目的地，可求出直线y2经过的两点坐标，利用待定系数法求出直线y2的函数解析式，再求出直线直线y2与x轴的交点坐标，就可解决问题。
25.某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元/件，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量t（件）与每件销售价x（元/件）之间有如下关系：t＝－3x＋90．
（1）请写出该超市销售这种产品每天的销售利润y（元）与x之间的函数表达式； （2）当x为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）解：表达式为y＝(—3x+90)(x—20)， 化简为y＝—3x²+150x—1800
（2）解：把表达式化为顶点式y＝—3(x—25)² +75 ， 当x＝25时，y有最大值75 .
答：当售价为25元时，有最大利润75元
【考点】二次函数的性质，二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据销售利润y=每一件的利润×销售量，列出函数解析式即可。 （2）利用（1）中的函数解析式，配方成顶点式，根据二次函数的性质解答即可。
...
...
26.Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC:BC＝4:3，O是BC上一点，⊙O交AB于点D，交BC延长线于点E．连接ED，交AC于点G，且AG＝AD．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）设⊙O与AC的延长线交于点F，连接EF，若EF∥AB，且EF＝5，求BD的长． 【答案】（1）证明：连结OD
∵∠ACB＝90°， ∴∠OED+∠EGC＝90°， ∴OD＝OE， ∴∠ODE＝∠OED， ∵AG＝AD， ∴∠ADG＝∠AGD ， ∵∠AGD＝∠EGC，
∴∠OED+∠EGC＝∠ADG+∠ODE＝∠ADO＝90°， ∴OD⊥AB ， ∵OD为半径， ∴AB是⊙O的切线 （2）解：连接OF． ∵EF∥AB，AC:BC＝4:3， ∴CF:CE＝4:3． 又∵EF＝5， ∴CF＝4，CE＝3．
设半径＝r，则OF＝r，CF＝4，CO＝r－3．
...
...
在Rt△OCF中，由勾股定理，可得r＝ ∵EF∥AB， ∴∠CEF＝∠B， ∴△CEF∽△DBO， ∴ ∴BD＝
＝
，
．
．
【考点】切线的判定，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）要证明AB是⊙O的切线，只需证明∠ADG+∠ODE=90°，由垂直的定义，可证∠OED+∠EGC=90°，结合已知条件条件易证∠AGD＝∠EGC，∠ODE＝∠OED，就可证得结论。
（2）由已知EF∥AB，AC:BC＝4:3，可得CF:CE＝4:3，根据EF＝5，求出CF、CE的长，再在Rt△OCF中，利用勾股定理求出圆的半径，然后证明△CEF∽△DBO，得出对应边成比例，建立方程求出BD的长。 27.图①是一张∠AOB＝45°的纸片折叠后的图形，P、Q分别是边OA、OB上的点，且OP＝2cm．将∠AOB沿PQ折叠，点O落在纸片所在平面内的C处．
（1）①当PC∥QB时，OQ＝________cm；
②在OB上找一点Q，使PC⊥QB（尺规作图，保留作图痕迹）；________ （2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求OQ的长． 【答案】（1）2；分点C、P在BQ同侧和异侧两种情况
（2）解：⑴当点C在∠AOB的内部或一边上时，则重叠部分即为△CPQ．
因为△CPQ是由△OPQ折叠得到，所以当△OPQ为等腰三角形时，重叠部分必为等腰三角形．如图1、2、3三种情况：
...
...
①如图1：
②如图2：
③如图3：
⑵当点C在∠AOB的外部时，有以下两种情况： ①当点C在射线OB的上方时（如图4），
OQ＝ － (cm)
②当点C在射线OA的下方时（如图5），
OQ＝ ＋ (cm)
【考点】等腰三角形的判定，菱形的判定与性质，翻折变换（折叠问题）
...
...
【解析】【解答】解：（1）①当PC∥QB时，∠O=∠CPA， 由折叠的性质得：∠C=∠O，OP=CP， ∴∠CPA=∠C， ∴OP∥QC，
∴四边形OPCQ是平行四边形， ∴四边形OPCQ是菱形， ∴OQ=OP=2cm； 故答案为：2cm；
【分析】（1）①根据折叠的性质证明四边形QOPC是菱形，就可求出OQ的长；②分点C、P在BQ同侧和异侧两种情况，画出图形即可。
（2）当点C在∠AOB的内部或一边上时，则重叠部分即为△CPQ．因为△CPQ是由△OPQ折叠得到，所以当△OPQ为等腰三角形时，重叠部分必为等腰三角形．分三种情况：①如图1，当QO=QP；②如图2，当PQ=PO；③如图3，当 OQ=OP分别求出OQ的长；⑵当点C在∠AOB的外部时，有以下两种情况：①当点C在射线OB的上方时（如图4）；②当点C在射线OA的下方时（如图5），求出OQ的长即可。
...
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