全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

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20XX年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内

X2

(1)设函数f (x) = 0 In(2 t)dt则f(X)的零点个数(

)

解：、(B }

解：f (x)二 ln(2 x2)L2x 二 2xln(2 x2)

2

2

f“(x)=2 ln(2 x)

4x2

罕 0，恒大于0,所以f(x)在(」：「：)上是单调递增的 2 +x2

f (x)只有一个零点•

又因为f (0) =0，根据其单调性可知

x

(2)函数f(x, y)二arctan —在点(0,1)处的梯度等于(

y

)

A i B -i C j D -j

2 2

2 2 2

x 2 -2 2 y y 解:

x x y -2 2 y y x2

y2'

y

x2 2 y2 ' y

2

2

-x

-x

fy(0,1)=0・

2

gradf (0,1) =1 i 0 j =i. 所以

解;

(3) 在下列微分方程中，以 通解的是( )

y = Gex C2 cos2x C3 sin2x ( G,C2,C3为任意常数)为

A y y -4y -4y = 0 .

B y y 4y 4y = 0. D y - y 4y_4y = 0.

C y -y -4y 4y =0.

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解：D .

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解：由 y =GeX+C2 cos2x+C3sin2x可知其特征根为 為=1“23=±2i. 故对应的特征方程为 =九3 +4人一九2 —4

（，一1）（，2i）（，—2i） =（，一1）（・2 4）

（4）设函数f （x）在（v, •：：）内单调有界,

为数列，下列命题正确的是（ ）

A若〈人［收敛，则〈f（Xn）?收敛. C若! f（Xj?收敛，则〈Xn?收敛.

B若单调，则〈f（Xn）?收敛.

D若（f（Xn）?单调，则；、兀1收敛.

所以所求微分方程为 y ”-y ： 4y：4y =0 , 选D .

B E - A不可逆，E - A可逆.

A E-A 不可逆，E - A不可逆.

D E - A可逆，E ■ A不可逆.

C E-A 可逆，E A可逆.

（5）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵.若A3 =0，则（

）

解：选C 分析：(E - A)(E A A2) = E-A3 二 E，(E A)(E - A A2) = E A3 二 E 故E -A,E A均可逆。

fx'

（6）设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程

（x,y,z）A y =1在正交变换下的标准方

程的图形如图，贝U A的正特征值个数为（

）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧。

A 0. B 1. C 2. D 3.

x2

分析：此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为 解：选B

征值个数为1。

z2 =1

故A的正特

（7）设随机变量 X,Y独立同分布且 X分布函数为F x，则Z=max〈X,Yl分布函数为

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Fx

2

A F x .

B F x F

y .

_2 _ _

C m — F X .

D 汕-F x「p-F y .

解：选A

F Z ]=P Z 乞 zi=P「max「X,YL乞 z.； =P X^z P Y 乞 zF z F zj=F2

z

(8)设随机变量 XL N 0,1 , Y[_ N 1,4且相关系数 * =1，则(

)

A P(Y =

-2X-1[=1. B P〈Y=2X-1=1.

C P^Y 二-2X 1 =1.

D P ;Y = 2X 讥1.

解：选(D) 用排除法

设Y =aX b，由〔:X =1，知道X,Y正相关，得a 0，排除(A)(C) 由 X ~ N(0,1),Y~ N(1,4)，得

EX =0,EY =1,E(Y) =E(aX • b) =aEX b 1 = a 0 b, b = 1

排除（C）

故选择（D）

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （9）微分方程xy： y =0满足条件y 1 =1的解是y = ___________ .

1

解: y = _

x

由史=工业=空,冷y =| n X所以，又y（1） = 1，所以y

dx x -y x y x

1 y-x

解:设、 F(x, y) =sin(xy) ln( y -x) -x，斜率 k =-

Fy

xcos(xy)

（10）曲线sin xy^ln y-x二x在点 0,1处的切线方程为 __________________

处，k =1，所以切线方程为 y-1=x，即y=x，1

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ycos(xy)

y「x

0），在

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(11)已知幕级数£ an(x+2)n在x=0处收敛，在x = —4处发散，则幕级数瓦an(x_3)n

n 国 n^0

的收敛域为 解：(1,5].

□0

n卫

QQ

由题意知二an(x 2)n的收敛域为(-4,0]」U二anxn的收敛域为(-2,2].

n兰

QQ

所以7 an(x-3)n的收敛域为(1,5].

n z0

(12) _________________________________________________________________________

设曲面二是 z = . 4 - X2 - y2 的上侧，贝U | | xydydz • xdzdx • x2dxdy = _____________ .

y

8 二.

1

解：11 xydxdy xdzdx x2dxdy = 0 0 (x2 y2)dxdy

龙

2

龙

1 2

2 Z

4 dxdy =2|_4 蔥=8 二

(13) __________________ 设A为2阶矩阵，：-仆:七为线性无关的2维列向量，A：, =0, Ad

=2〉，则A 的非零特征值为 .

『0 2、

解：分析：人(。1,。2)=3。1小。2)=(0,2。1 +口2)=0192)门 d

I0

1

丿

记 ^^1«2), P 可逆，故 P’AP」0

2

2

〕=B

I。 1J

九 —2 …

=人(丸一1)，九12=0,1,故非零的特征值为1。

A与B有相同的特征值 ^E-B

P'X 二 EX2!二

(14)设随机变量 X服从参数为

1的泊松分布，则

0人一1

2

解:亠‘

因为DX二EX2-(EX)2，所以EX2 = 2 , X服从参数为1的泊松分布， 所以 P (X =2^ =1 e^1

2

.解答应写出文字说

三、解答题：15-23小题，共94分•请将解答写在答题纸指定的位置上

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求极限lim sin x - sin sin x |sin x

明、证明过程或演算步骤•聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅。 (15)(本题满分10分)

x4

(sin x -sinsin x)sin x 4

x

cosx(1—cos(sin x))

=lim 2 ——

0

3x2 x

sin x 1

=lim

0x 6x 6

sin x -sinsin x

sin(sin x)|_cosx 6x

3

cosx - cos(sin x)Lcosx

3x

))

2

(16)(本题满分 10分) 计算曲线积分丄sin 27 ,0的一段.

2 H

解:Lsin2xdx 2(x -1)ydy 二 o [sin 2x 2(x ■ ■ 2 ■■:

sin2xdx 亠 i sin2x x dx- ° sin2xdx

戶2 1」 c

0

L是曲线y二sin x上从点 0, 0到点

-1) sin xcosx]dx

)

x d cos2x 2

2

二-」[XCOS2X

0 2xcos2xdx

2

1 2

[二 cos2 二-0]

0 2xcos2xdx

2 2

1 2 1 2xcos2xdx

0 [-cos2二-0]

2 2

1 二 1

2 xd sin 2x 二2 02 2 1 ■:

xd sin 2x 02

1 [xsin 2x 2 sin 2xdx]

0

丄1 -

| |

2

[cos2x 0 ]

gr

222，求曲线C距离XOY面最远x y _2z 二 0 (17)(本题满分10分) 已知曲线c：」

的点和最近的点.

x + y +3z =5

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