我们已经学习过的直角三角形的性质有： 性质1：RtΔ的垂心就是直角顶点。 性质2：RtΔ的两个锐角互余。
性质3：RtΔ两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质4：RtΔ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，RtΔ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。
性质5：RtΔ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。 性质6：RtΔ斜边上的中线等于斜边的一半。
(所以RtΔ的外接圆半径R＝c＝
)。
性质7：RtΔ的内切圆半径r＝＝
(a＋b－c)。
现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。如图所示，在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，设PA＝a，PB＝b，PC＝c。
∵PA、PB、PC两两垂直， ∴PA⊥面PBC，PB⊥面PCA，PC⊥面PAB， ∴面PAB、面PBC、面PCA两两垂直。作PH⊥面ABC于H，连CH并延长并交AB于D，连PD，则PH⊥AB，PH⊥CD，面PCD⊥面ABC；而PC⊥
面PAB
PC⊥AB，所以AB⊥面PCD，∴AB⊥PD，AB⊥CH。同理，AH⊥BC，BH⊥CA。
由AB⊥面PCD知CD⊥AB，而PD⊥AB且∠APB＝
90°，∴∠ABC、∠CAB为锐角。同理，∠BCA也是锐角，从而有：
性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。
由AB⊥CH，AH⊥BC，BH⊥CA易知，H是ΔABC的垂心，由此可得： 性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。
在RtΔPAB中，PD·AB＝PA·PBPD＝；在RtΔPCD中，CD＝PD＋PC
＝()＋c＝；在RtΔPCD中，PH⊥CD，∴PD·PC＝CD·PH
PH＝＝＝，∴＝
＝＋＋
。因此有：
性质2：②直角三棱锥顶点到底面的距离为h满足关系式＝＋＋
。
因PH⊥面ABC， ∴侧棱PC与底面ABC所成角为∠PCH＝α，则有sin∠PCH＝sinα
＝＝＝。 同理,侧棱PB与底面ABC所成
角为∠PBH＝β,sin∠PBH＝sinβ＝，侧棱PA与底面ABC所成角
为∠PAH＝γ，sin∠PBH＝sinγ＝γ＝1。因此，
，所以sinα＋sinβ＋sin
性质3：①直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于1。三条侧棱与底面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角。
由AB⊥PD,AB⊥CD，∴侧面PAB与底面ABC所成角为∠PDC＝θ,由PC⊥PD知θ＋α＝90°,∴sinα＝sin(90°－θ)＝cosθ。类似推理，由sinα＋sinβ＋sinγ＝
1。易得：sinθ＋sinδ＋sin＝1。 另外，tan(P-AB-C)＝tan∠PDC＝＝
＝c，同理，tan(P-BC-A)＝a ，tan(P-CA-B)＝b
。所以，
性质3：②直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于1。各角的正切值：
tan(P-AB-C)＝c，tan(P-BC-A)＝a ，tan(P-CA-B)＝b
。
如图，Q为底面ΔABC内任一点，作点Q到面PAB的距离为RQ＝d，到面PBC的距离为RT＝d，到面PCA的距离为RS＝d，容易得到：PQ＝RQ＋RP＝RQ＋RT＋RS＝d＋d
＋d
性质4：①底面内任一点到顶点距离的平方，等于它到三个侧面距离的平方和。
QP与棱PA所成角的余弦值cos
α＝＝
，QP与棱PB所成角的余弦值cosβ＝＝，QP与棱PA所成角的余弦值
cosγ＝
，
在PQ＝RQ＋RT＋RS两边同时除以PQ，得cosγ＋cosα＋cosβ＝1； 性质4：②直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三条棱分别构成三个角，其余弦值的平方和为1。
QP与面PAB所成角的余弦值cosθ＝，QP与面PBC所成角的余弦值cos
δ＝，QP与面PCA所成角的余弦值cos＝，由PQ＝RQ
＋RT＋RS得2×PQ＝RS＋RT＋RS＋RQ＋RT＋RQ,两边同时除以PQ，得cos
θ＋cosδ＋cossinδ＋sin
＝2，∴ 1－sinθ＋1－sinδ＋1－sin＝2，得sinθ＋
＝1。
性质4：③直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三个侧面分别构成三个角，其正弦值的平方和为1。
底面三角形的面积S＝AB·CD＝·＝
，这也可以当成直角三棱锥的一个性质：
性质5：①直角三棱锥底面三角形的面积S＝
。
在RtΔPCD中，PD＝HD·CD，两边同乘以即S
＝S
·S
；同理，S
＝S
AB得·S
AB·PD＝；S
AB·HD·CD，
·S
。
＝S
性质5：②直角三棱锥侧面面积是其在底面的射影面积与底面面积的比例中项。 把S
＝S
·S＝S
；S
＋S
＝S
·S＋S
；S。
＝S
·S
；这
三个式子相加，得S
性质5：③直角三棱锥三个侧面面积的平方和，等于底面面积的平方。
直角三棱锥P-ABC中，在点A处，cos∠PAB·cos
∠PAC＝·＝
，
cos∠BAC＝＝
＝＝＝
＝cos∠PAB·cos∠PAC；
即cos∠BAC＝cos∠PAB·cos∠PAC；同理，点B处，cos∠ABC＝cos∠PBA·cos∠PBC；点C处，cos∠ACB＝cos∠PCB·cos∠PCA。所以
性质6：直角三棱锥底面端点处，侧棱与底面两边所成角的余弦积，等于底面角的余弦值。
将直角三棱锥补成长方体，则直角三棱锥的外接球也是长方体的外接球，其球心是长方体的中心，半径为长方体对角线的一半。因此有
性质7：①直角三棱锥外接球的半径R＝
。
设直角三棱锥内切球半径为r，球心为Ｏ，连OA,OB,OC，则把直角三棱锥分成四个小三棱锥，∴ V
＝V
＋V
＋V
＋V
，
∵ S＝，∴ ×ab×c＝×ab×r＋×bc×r
＋×ca×r＋××
×r ，
∴ r＝
。所以，
性质7：②直角三棱锥内切球的半径r＝
现在将以上所探究到的直角三棱锥性质小结如下：
性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。
性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。
。
②直角三棱锥顶点到底面的距离为h满足关系式＝＋＋
。
性质3：①直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于1。三条侧棱与底面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角。
②直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于1。各角的正切值：
tan(P-AB-C)＝c，tan(P-BC-A)＝a ，tan(P-CA-B)＝b
。
性质4：①底面内任一点到顶点距离的平方，等于它到三个侧面距离的平方和。
②直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三条棱分别构成三个角，其余
弦值的平方和为1。
③直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三个侧面分别构成三个角，其
正弦值的平方和为1。
性质5：①直角三棱锥底面三角形的面积S＝
。
②直角三棱锥侧面面积是其在底面的射影面积与底面面积的比例中项。
③直角三棱锥三个侧面面积的平方和，等于底面面积的平方。
性质6：直角三棱锥底面端点处，侧棱与底面两边所成角的余弦积，等于底面角的余弦
性质7：①直角三棱锥外接球的半径R＝
。
②直角三棱锥内切球的半径r＝
。
值。
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