2015北大 高校自主招生数学试题及解答

2

2

）A．16900B．17900C．18900D．前三个答案都不对2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（）A．3524B．3624C．3724D．前三个答案都不对3.已知x∈[0,g(a)的最大值为（A．1B．220

20

2

]，对任意实数a，函数y=cosx−2acosx+1的最小值记为g(a)，则当a取遍所有实数时，2）C．3D．前三个答案都不对）4.已知10−2是2的整数倍，则正整数n的最大值为（A．21B．22C．23D．前三个答案都不对n

BC=4，∠ADC=60∘，∠BAD=90∘，四边形ABCD的面积等于5.在凸四边形ABCD中，则CD的长（精确到小数点后1位）为（）A．6.9B．7.1C．7.3D．前三个答案都不对二.填空题ABCDBCAD

，2（1+)6.满足等式1

xx1

(1

12015

)的整数x的个数是_______．2015(abcd)2

的最大值与最小值的和为___________7.已知a,b,c,d∈[2,4]，则2222(ad)(bc)8.对于任意实数x∈[1,5],|x+px+q|≤2,不超过2

p2q2的最大整数是__________b2c2a2a2c2b2b2a2c22015

9.设x=,y=,z=,且x+y+z=1，则xy2015z2015的值为___2bc2ac2ba10.设A1,A2,...,An都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集，已知|Ai|为奇数，1≤i≤n,|AiAj|为偶数，1≤i≠j≤n，则n的最大值为____________三．解答题11.已知数列{an}为正项等比数列，且a3a4a1a2=5,求a5a6的最小值12.已知f(x)为二次函数，且a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))成正项等比数列，求证：f(a)=a13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐角△ABC的三边满足a>b>c，求证：这个三角形内接正方形边长的最小值为acsinBacsinB14.从O出发的两条射线l1,l2，已知直线l交l1,l2于A、B两点，且SAOB=c(c为定值),记AB的中点为X，求证：X的轨迹为双曲线15.已知ai(i=1,2,3,…,10)满足：a1a2...a10=30，a1a2...a10<21，求证：ai，使得ai<1##Answer##1．1+x=xy+yz+zx+x=(x+y)(x+z)，同理1+y=(y+z)(y+x),1+z=(z+x)(z+y)2

2

2

2

(1+x)(1+y)(1+z)=[(xy)(yz)(zx)]，对照前三个答案，只有A是一个完全平方数检验，不妨取x+y=2,y+z=5,z+x=13,有解x=5,y=−3,z=8.选A2.考虑将1,2,⋯,99这99个正整数分成如下50组(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50，则必有2个数位于(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组，不合题意．所以这50个不同的正整数中必有50，而(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中，每组有且只有一个数被选中．因为50+49=99，所以(49,51)中选51；因为51+48=99，所以(48,52)中选52；以此类推，可得50,51,52,⋯,98,99是唯一可能的选法．经检验，选50,51,52,⋯,98,99满足题意，此时50+51+⋯+98+99=3725。故选D．2222

h(1)22a,a122

3.令t=cosx，令h(t)=t−2at+1,t∈[0,1],g(a)=h(a)a1,0a1作图象知最大值为1，选Ah(0)1,a0

4.10−2=2(5-1)=2(5+1)(5-1)=2(5+1)(5+1)(5-1)(555+5+1),510

545352+5+1是奇数，5-1=4是22，55+1=（4+1）+1被4除余数为2，同理5+1被4除余数也是2，20

20

20

20

20

10

10

20

10

5

4

3

2

于是n的最大值为24，选D5.设四边形ABCD的面积为S，直线AC,BD的夹角为θ，则S=111AC⋅BD⋅sinθ（AB⋅CD+BC⋅AD）sinθ≤（AB⋅CD+BC⋅AD）,由已知两个等号成立，22托勒密定理推论2sin1于是AC⊥BD，BC⊥CD。用坐标法解得CD=43≈6.9。选A．A、B、C、D四点共圆1xx1于是（1+)6.x>0时，（1+)(1)>（1+)（=,1+)1xx1x1xx1xx1(112015)无解2015n111n1(n1)nx<0时,x为负整数，设x=-n,（=1+)x1=（1-)n1=()xnnn1（1+)数1xx11=1n1n1是n的单调函12015)n-1=2015x=-2016。填120152

ab2

7.设a=(a,d),b=(b,c)，二者夹角为θ，则所求为=cos，如图|a||b|

(1OAOB416412=0≤θ≤∠AOB1≥cosθ≥cos∠AOB=≤cos≤1。填2525|OA||OB|58.设y=f(x)=x+px+q,x∈[1,5]，它可以由y=x,x∈[-2,2]平移得到，y=x最值之差为4，根据|x+px+q|≤2，2

2

2

2

p

32只能平移到顶点在(3,-2)处，有2

4qp24不超过它的最大整数为9.填92

2

2

2

2

2

p6p622；同理也满足条件，pq=89，

q7q7

9.x+y+z=1c(abc)b(acb)a(bca)2abc

222

a3(bc)a2(b2c22bc)ac3bc2b3b2c0a3(bc)a2(bc)2a(bc)2(bc)0

a2[a(bc)](bc)2(abc)0(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)=0不妨设a≤b≤c，则c=a+b，于是b2c2(cb)22015

x==1，同理y=1,z=-1，于是xy2015z2015=1，填12bc10.每个元素当做一个子集，就满足要求；填911.设数列{an

}的公比为q,由已知a1a2

=5q21>0,则5(t1)25q4112

=5(t++2)≥5×(2t2)=20，等号成立当且仅a5a6=(a1a2)q=2设q1t0

ttq1t4

当t=1

t=1q=2,故a5a6的最小值为20t

2

12.(方法一)设f(x)=mx+nx+t(m≠0),a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))公比为q(q>0)f(a)ma2nat则aq①f(f(a))f(aq)m(aq)2n(aq)taq2

②



f(f(f(a)))f(aq2)m(aq2)2n(aq2)taq3 ③①-②并化简得到：ma(1-q2

)+n(1-q)=q(1-q),②-③并化简得到：maq(1-q2

)+n(1-q)=q(1-q)从而q=1,f(a)=a(方法二)由已知f(a)f(f(a))fa=f(a)=(f(f(a)))

f(f(a))，假设f(a)≠a则f(f(a))f(a)

=f(f(f(a)))f(f(a))

f(a)af(f(a))-f(a)

A(a,f(a)),B(f(a),f(f(a)),C(f(f(a)),f(f(f(a))))kAB=kBCA,B,C三点共线一条直线与抛物线交于三个点，矛盾故f(a)=a13.证明：设正方形的边长为x，△ABC外接圆半径为R，当内接正方形如图所示时csinBac

b

x1csinBx1ax=ac1sinBacsinB=2Ra=abccb2R2Rabc

同理其他情况，内接正方形的边长分别为x=abcabc

22Rbac，x3=2Rcbax1-x2=abc2Rabc-abcabc

2Rbac=(2Rabc)(2Rbac)(ab)(c2R)<0x1于是xac1最小，从而这个三角形内接正方形边长的最小值为sinBacsinB14.证明：设2θ为l1,l2的夹角，以O为原点，l1,l2的角平分线为x轴，建立直角坐标系，如图，设X(x,y),|OA|=a,|OB|=b，则A(acosθ,asinθ),B(bcosθ,-bsinθ)abxcos222

，于是xy=ab

yabsin2因SAOB=12c2c22

absin2θ=c,于是ab=，X的轨迹方程为xy=,轨迹是双曲线2sin2sin215.(反证法)假设i，ai≥1，设ai=1+bi(bi≥0),a1a2...a10=30b1b2...b10=20a1a2...a10=(1b1)(1b2)...(1b10)=1+(b1b2...b10)+b1b2b1b3+…≥21与a1a2...a10<21矛盾故ai，使得ai<1