福建省福州十九中2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1. 平面直角坐标系中，与点(2,−3)关于原点中心对称的点是( )
A. (−3,2) B. (3,−2) C. (−2,3) D. (2,3)
2. 方程(𝑥+1)2=9的解是( )
A. 𝑥=2
1
B. 𝑥=−4
5
C. 𝑥1=2,𝑥2=−4 D. 𝑥1=−2,𝑥2=4
3. 抛物线𝑦=−2𝑥2+3𝑥−2的对称轴是( )
A. 𝑥=3 B. 𝑥=−3 C. 𝑥=6
D. 𝑥=−2
5
4. 如图，在⊙𝑂中，弦𝐴𝐵=6，半径𝑂𝐶⊥𝐴𝐵于P，且P为OC的中点，则AC的长是( )
A. 2√2 B. 3 C. 4 D. 2√3
5. 下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大
的是( )
A. B. C. D.
6. 如图，反比例函数𝑦=𝑥(𝑥>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC交于
点D、E，若四边形ODBE的面积为12，则k的值为( )
𝑘
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
7. 若两个正方形的边长比是3:2，其中较大的正方形的面积是18，则较小的正方形的面积是( )
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
8. 如图，将△𝐴𝐵𝐶绕点A逆时针旋转得到△𝐴𝐷𝐸，点C和点E是对应点，
若∠𝐶𝐴𝐸=90°，𝐵𝐷=2，则AB的长为( )
A. 1 B. √2 C. 2 D. 2√2
9. 如图，将边长为2的等边三角形ABC绕点C旋转120°，得到△𝐷𝐶𝐸，连接BD，则BD的长为( )
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 2√3
10. 关于二次函数𝑦=2𝑥2+4𝑥−1，下列说法正确的是( )
A. 图象与y轴的交点坐标为(0,1) B. 图象的对称轴在y轴的右侧
C. 当𝑥<0时，y的值随x值的增大而减小 D. y的最小值为−3
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分） 11. 方程(2𝑥+3)2−25=0的根为______ ．
12. 半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为____．
13. 某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验，结果如下表所示：
抽取瓷砖数n 合格品数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 96 282 382 570 949 1906 2850 0.9600.940 0.955 0.950 0.949 0.953 0.950 合格品频率 𝑚⁄𝑛 则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是________.(精确到0.01) 𝐴𝐵=5，𝐴𝐶=4，∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵，在△𝐴𝐵𝐶中，点D在边AB上，14. 如图，
则AD的长为______ ．
15. 如图，点A的坐标为(−1,5)，点B的坐标为(3,3)，点C的坐标为(5,3)，点D的坐标为(3,−1).小
明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着点O旋转一个角度可以得到另一条线段，则点O的坐标是________．
16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数𝑦=𝑥(𝑥>0)的图象交矩
形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且𝐵𝐸=2𝐸𝐶.若四边形ODBE的面积为6，则𝑘=_______．
𝑘
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）
17. 若关于x的方程𝑥2−5𝑥+𝑘=0的一个根是1，求方程的另一个根及k的值．
18. 一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分別标有数字1、−2、3、−4，这些卡片除数字外
都相同．王兴从口袋中随机抽取一张卡片，钟华从剩余的三张卡片中随机抽取一张，求两张卡片上数字之积．
(1)请你用画树状图或列表的方法，列出两人抽到的数字之积所有可能的结果． (2)求两人抽到的数字之积为正数的概率．
已知直线𝑦=−2𝑥经过点𝑃(−2,𝑎)，点P关于y轴的对称点𝑃′在反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠0)的19. 如图，
图象上． (1)求a的值；
(2)直接写出点𝑃′的坐标； (3)求反比例函数的解析式．
𝑘
20. 如图，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90°，在BC上求作一点P，使得△𝐴𝑃𝐶∽△
𝐵𝐴𝐶.(不写作法，保留作图痕迹)
21. 某市计划在十二年内通过公租房建设，解决低收入人群的住房问题．已知前7年，每年竣工投
入使用的公租房面积𝑦(单位：百万平方米)，与时间𝑥(第x年)的关系构成一次函数，(1≤𝑥≤7且x为整数)，且第一和第三年竣工投入使的公租房面积分别为6和2百万平方米；后5年每年竣工投入使用的公租房面积𝑦(单位：百万平方米)，与时间𝑥(第x年)的关系是𝑦=−8𝑥+
1
154
23
7
(7<
𝑥≤12且x为整数)．
(1)已知第6年竣工投入使用的公租房面积可解决20万人的住房问题，如果人均住房面积，最后一年要比第6年提高20%，那么最后一年竣工投入使用的公租房面积可解决多少万人的住房问题？
(2)受物价上涨等因素的影响，已知这12年中，每年竣工投入使用的公租房的租金各不相同，且第一年，一年38元/𝑚2，第二年，一年40元/𝑚2，第三年，一年42元/𝑚2，第四年，一年44元/𝑚2……以此类推，分析说明每平方米的年租金和时间能否构成函数，如果能，直接写出函数解析式；
(3)在(2)的条件下，假设每年的公租房当年全部出租完，写出这12年中每年竣工投入使用的公租房的年租金W关于时间x的函数解析式，并求出W的最大值(单位：亿元).如果在W取得最大值的这一年，老张租用了58𝑚2的房子，计算老张这一年应交付的租金．
22. 如图，在等腰△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=120°，AD是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，且𝐴𝐷=6，以点A为圆心，
AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．
(1)求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形(图中阴影部分)的面积；
(2)将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
23. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点E在线段AB上，点D在射线CB上，且𝐸𝐷=𝐸𝐶，将△𝐵𝐶𝐸绕点C顺时
针旋转60°至△𝐴𝐶𝐹(点B、E的对应点分别为点A、𝐹)，连接EF． (1)求证：𝐴𝐸=𝐷𝐵；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对线段长度之和等于AB的长．
24. 如图，AB是⊙𝑂的直径，点C为⊙𝑂上一点，𝑂𝐸⊥𝐵𝐶于点E，交⊙𝑂于点F，AF与BC交于
点M，点D为OF延长线上一点，且∠𝑂𝐷𝐵=∠𝐴𝐹𝐶． (1)求证：BD是⊙𝑂的切线； (2)求证：𝐶𝐹2=𝐹𝑀⋅𝐹𝐴；
(3)若𝐴𝐵=10，𝑠𝑖𝑛𝐴=5，求BM的长．
3
25. 如图，抛物线𝑦=−𝑥+4𝑥−3交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，
连AC，点P为第四象限抛物线上一点，且∠𝑃𝐶𝐵=∠𝐴𝐶𝑂，求点P的坐标．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：解：点(2,−3)关于原点中心对称的点的坐标是(−2,3)． 故选：C．
平面直角坐标系中任意一点𝑃(𝑥,𝑦)，关于原点的对称点是(−𝑥,−𝑦)．
本题考查了平面直角坐标系中任意一点𝑃(𝑥,𝑦)，关于原点的对称点是(−𝑥,−𝑦)，比较简单．
2.答案：C
解析：
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成𝑥2=𝑎(𝑎≥0)的形式，利用数的开方直接求解. 两边直接开平方得：𝑥+1=±3，再解一元一次方程即可． 解：(𝑥+1)2=9，
两边直接开平方得：𝑥+1=±3， 则𝑥+1=3，𝑥+1=−3， 解得：𝑥1=2,𝑥2=−4 故选C．
3.答案：A
解析：解：∵𝑦=−2𝑥2+3𝑥−2， ∴𝑎=−2，𝑏=3，
∴对称方程为𝑥=−2×(−1)=3，
2
15
1
3
故选：A．
利用对称轴方程为𝑥=−2𝑎代入计算即可．
本题主要考查二次函数的对称轴方程，掌握二次函数的对称方程为𝑥=−2𝑎是解题的关键．
𝑏
𝑏
4.答案：D
解析：
本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出AP的长是解此题的关键． 根据垂径定理求出AP，根据勾股定理求出OP，求出PC，再根据勾股定理求出即可． 解：连接OA，
∵𝐴𝐵=6，𝑂𝐶⊥𝐴𝐵， ∴𝐴𝑃=𝐵𝑃=𝐴𝐵=3，
21
设⊙𝑂的半径为2R，则𝑃𝑂=𝑃𝐶=𝑅，
在𝑅𝑡△𝑂𝑃𝐴中，由勾股定理得：𝐴𝑂2=𝑂𝑃2+𝐴𝑃2， (2𝑅)2=𝑅2+32， 解得：𝑅=√3， 即𝑂𝑃=𝑃𝐶=√3，
在𝑅𝑡△𝐶𝑃𝐴中，由勾股定理得：𝐴𝐶2=𝐴𝑃2+𝑃𝐶2， 𝐴𝐶2=32+(√3)2， 解得：𝐴𝐶=2√3， 故选D．
5.答案：D
解析：解：在四个选项中，D选项袋子中红球的个数最多， 所以从D选项袋子中任意摸出一个球，摸到红球可能性最大， 故选：D．
各选项袋子中分别共有10个小球，若要使摸到红球可能性最大，只需找到红球的个数最多的袋子即可得出答案．
本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性(概率)的计算方法．
6.答案：B
解析：解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则𝑆△𝑂𝐶𝐸=|𝑘|，𝑆△𝑂𝐴𝐷=|𝑘|，
2
2
1
1
过点M作𝑀𝐺⊥𝑦轴于点G，作𝑀𝑁⊥𝑥轴于点N，则𝑆矩形𝑂𝑁𝑀𝐺=|𝑘|，
又∵𝑀为矩形ABCO对角线的交点，则𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝑂=4𝑆矩形𝑂𝑁𝑀𝐺=4|𝑘|， 由于函数图象在第一象限， ∴𝑘>0，则2+2+12=4𝑘， ∴𝑘=4． 故选B．
本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△𝑂𝐶𝐸、△𝑂𝐴𝐷、矩形OABC的面积与|𝑘|的关系，列出等式求出k值．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|𝑘|.本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
𝑘
𝑘
7.答案：B
解析：
本题考查多边形的面积比等于相似比的平方．
结合题意先确定相似比，进而求出较小的正方形的面积． 解：∵两个正方形的边长比是3:2， ∴两个正方形的相似比为3:2，
根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，
2
得𝑆大：𝑆小=3：22=9:4．
当𝑆大=18时，𝑆小=8． 故选B．
8.答案：B
解析：
由旋转的性质得：𝐴𝐵=𝐴𝐷=1，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸=90°，再根据勾股定理即可求出BD． 本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理，掌握旋转的性质是解决问题的关键． 解：∵将△𝐴𝐵𝐶绕点A逆时针旋转的到△𝐴𝐷𝐸，点C和点E是对应点， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸=90°， ∴2𝐴𝐵2=𝐵𝐷2=4． 则𝐴𝐵=√2 故选B．
9.答案：D
解析：
本题考查的是等边三角形的性质及旋转的性质，熟知图形旋转后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键．
连接AD构建菱形ABCD，根据等边三角形的性质得到𝐴𝐵=𝐷𝐶=𝐵𝐶=𝐷𝐸=2，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐸=60°，推出四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质得到∠𝐷𝐵𝐸=2∠𝐴𝐵𝐶=30°，在𝑅𝑡△𝐵𝐷𝐸中利用勾股定理即可得出BD的长． 解：连接AD，
1
由题意知，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐶，∠𝐴𝐶𝐸=120°， 又∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴𝐴𝐵=𝐷𝐶=𝐵𝐶=𝐷𝐸=2，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐸=60°， ∴∠𝐴𝐶𝐸+∠𝐴𝐶𝐵=120°+60°=180°， ∴𝐵、C、E三点在一条直线上． ∴𝐴𝐵//𝐷𝐶，
∴四边形ABCD为菱形，
∴∠𝐷𝐵𝐸=2∠𝐴𝐵𝐶=30°， ∵∠𝐷𝐵𝐸+∠𝐵𝐷𝐸+∠𝐸=180°， ∴∠𝐵𝐷𝐸=90°， ∴𝐵𝐸=4，
∴𝐵𝐷=√𝐵𝐸2−𝐷𝐸2=√42−22=2√3． 故选D．
1
10.答案：D
解析：
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题． 解：∵𝑦=2𝑥2+4𝑥−1=2(𝑥+1)2−3， ∴当𝑥=0时，𝑦=−1，故选项A错误，
该函数图象的对称轴是直线𝑥=−1，故选项B错误，
当𝑥<−1时，y随x的增大而减小，当−1<𝑥<0时，y随x的增大而增大，故选项C错误， 当𝑥=−1时，y取得最小值，此时𝑦=−3，故选项D正确． 故选D．
11.答案：𝑥=1或𝑥=−4
解析：解：∵(2𝑥+3)2=25， ∴2𝑥+3=5或2𝑥+3=−5， 解得：𝑥=1或𝑥=−4， 故答案为：𝑥=1或𝑥=−4． 直接开平方法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12.答案：3𝜋
解析：
2
本题主要考查了弧长公式：𝑙=
𝑛𝜋𝑅180
(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为𝑅).注意：①在弧长的计
算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．根据弧长公式列式计算即可． 解：在半径为2的⊙𝑂中，60°圆心角所对的弧长是：
60×𝜋×2180
=𝜋，
32
2
故答案为3𝜋.
13.答案：0.95
解析：
本题考查了用频率估计事件发生的概率.解题的关键是理解多次反复重复试验，某事件发生的频率逐渐稳定在某一数值，我们可用这一数值来表示该事件发生的概率.根据定义即可作出判断． 解：由题意得：合格品的频率逐渐稳定zai在0.95左右， ∴这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95． 故答案为0.95．
14.答案：5
解析：解：∵在△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐶𝐷中，∠𝐴=∠𝐴，∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵， ∴△𝐴𝐶𝐷∽△𝐴𝐵𝐶， ∴𝐴𝐵=
𝐴𝐶
𝐴𝐷𝐴𝐶
16
，
∵𝐴𝐵=5，𝐴𝐶=4， ∴5=
4
𝐴𝐷4
，
165
解得𝐴𝐷=．
故答案为：5．
先根据相似三角形的判定定理得出△𝐴𝐶𝐷∽△𝐴𝐵𝐶，再由相似三角形的对应边成比例即可得出AD的长．
16
本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意判断出△𝐴𝐶𝐷∽△𝐴𝐵𝐶是解答此题的关键．
15.答案：(1,1)或(4,4)
解析：
本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心．本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．
①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点O，如图1
所示，
∵𝐴点的坐标为(−1,5)，B点的坐标为(3,3)， ∴𝑂点的坐标为(1,1)；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点O，如图2所示，
∵𝐴点的坐标为(−1,5)，B点的坐标为(3,3)， ∴𝑂点的坐标为(4,4)．
综上所述：这个旋转中心的坐标为(1,1)或(4,4)． 故答案为：(1,1)或(4,4)．
16.答案：3
解析：解：连接OB，如图所示： ∵四边形OABC是矩形，
∴∠𝑂𝐴𝐷=∠𝑂𝐶𝐸=∠𝐷𝐵𝐸=90°，△𝑂𝐴𝐵的面积=△𝑂𝐵𝐶的面积， ∵𝐷、E在反比例函数𝑦=𝑥(𝑥>0)的图象上， ∴△𝑂𝐴𝐷的面积=△𝑂𝐶𝐸的面积，
∴△𝑂𝐵𝐷的面积=△𝑂𝐵𝐸的面积=2四边形ODBE的面积=3， ∵𝐵𝐸=2𝐸𝐶，∴△𝑂𝐶𝐸的面积=2△𝑂𝐵𝐸的面积=2， ∴𝑘=3； 故答案为：3．
连接OB，由矩形的性质和已知条件得出△𝑂𝐵𝐷的面积=△𝑂𝐵𝐸的面积=2四边形ODBE的面积=3，再求出△𝑂𝐶𝐸的面积，即可得出k的值．
本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法；熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键．
1
1
3
1
𝑘
17.答案：解：∵1是方程𝑥2−5𝑥+𝑘=0的一个根，
∴𝑥+1=5， ∴𝑥=4， 则1×4=𝑘， 解得：𝑘=4．
解析：本题考查的是根与系数的关系，首先利用根与系数的关系求出另一根，然后再求解k的值即可．
18.答案：解：(1)图下图所示，
；
(2)由(1)可知，一共有12种可能性，两人抽到的数字之积为正数的可能性有4种， ∴两人抽到的数字之积为正数的概率是：12=3， 即两人抽到的数字之积为正数的概率是3．
14
1
解析：本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图法，求出相应的概率．
(1)根据题意可以画出相应的树状图，本题得以解决；
(2)根据(1)中的结果可以求得两人抽到的数字之积为正数的概率．
19.答案：(1)4; (2)(2,4); (3)𝑦=𝑥．
解析：[分析]
(1)把(−2,𝑎)代入𝑦=−2𝑥中即可求a；
(2)坐标系中任一点关于y轴对称的点的坐标，其中横坐标等于原来点横坐标的相反数，纵坐标不变； (3)把𝑃′代入𝑦=𝑥中，求出k，即可得出反比例函数的解析式． [详解]
解：(1)把(−2,𝑎)代入𝑦=−2𝑥中， 得𝑎=−2×(−2)=4， ∴𝑎=4；
(2)∵𝑃点的坐标是(−2,4)，
∴点P关于y轴的对称点𝑃′的坐标是(2,4)；
𝑘
8
(3)把𝑃′(2,4)代入函数式𝑦=𝑥，得4=2， ∴𝑘=8，
∴反比例函数的解析式是𝑦=𝑥．
8
𝑘𝑘
[点睛]
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，关于x轴、y轴对称点的坐标．知道经过函数的某点一定在函数的图象上，坐标系中任一点关于x轴、y轴的点的特征．
20.答案：解：如图所示：
解析：过A点作𝐴𝑃⊥𝐵𝐶即可得出△𝐴𝑃𝐶∽△𝐵𝐴𝐶．
本题考查作图−相似变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.答案：解：(1)设𝑦=𝑘𝑥+𝑏(1≤𝑥≤7)，
𝑘+𝑏=
6
由题意得，{7，
3𝑘+𝑏=2解得𝑘=−6，𝑏=4
1
∴𝑦=−𝑥+4(1≤𝑥≤7)
6∴𝑥=6时，𝑦=−6×6+4=3∴300÷20=15，15(1+20%)=18， 又𝑥=12时，𝑦=−8×12+
1
154
1
1
23
=4∴4×100÷18=12.5万人，
99
所以最后一年可解决12.5万人的住房问题；
(2)由于每平方米的年租金和时间都是变量，且对于每一个确定的时间x的值，每平方米的年租金m都有唯一的值与它对应，所以它们能构成函数． 由题意知𝑚=2𝑥+36(1≤𝑥≤12)
(2𝑥+36)(−6𝑥+4)=−3𝑥2+2𝑥+144=−3(𝑥−3)2+147(1≤𝑥≤7)
(3)解：𝑊={ 1151212
(2𝑥+36)(−8𝑥+4)=−4𝑥+3𝑥+135=−4(𝑥−6)+144(7<𝑥≤12)
1
1
1
∵当𝑥=3时 𝑊𝑚𝑎𝑥=147，𝑥=8时𝑊𝑚𝑎𝑥=143，147>143 ∴当𝑥=3时，年租金最大，𝑊𝑚𝑎𝑥=1.47亿元 当𝑥=3时，𝑚=2×3+36=42元 58×42=2436元
答：老张这一年应交租金为2436元．
解析：(1)利用待定系数法求出一次函数解析式，代入计算即可； (2)根据函数的概念判断即可；
(3)分1≤𝑥≤7、7<𝑥≤12两种情况列出函数解析式，根据二次函数的性质解答．
本题考查的是二次函数的应用，正确列出二次函数解析式、掌握二次函数的性质是解题的关键．
22.答案：解：∵在等腰△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=120°，
∴∠𝐵=30°，
∵𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线， ∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐵𝐷=𝐶𝐷， ∴𝐵𝐷=√3𝐴𝐷=6√3， ∴𝐵𝐶=2𝐵𝐷=12√3，
∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形(图中阴影部分)的面积=𝑆△𝐴𝐵𝐶−𝑆扇形𝐸𝐴𝐹=2×6×12√3−
120⋅𝜋⋅62360
1
=36√3−12𝜋；
(2)设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得2𝜋𝑟=
120⋅𝜋⋅6180
，解得𝑟=2，
这个圆锥的高ℎ=√62−22=4√2．
解析：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰三角形的性质和扇形的面积公式．
(1)利用等腰三角形的性质得到𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐵𝐷=𝐶𝐷，则可计算出𝐵𝐷=6√3，然后利用扇形的面积公CB、BE围成图形(图中阴影部分)的面积=𝑆△𝐴𝐵𝐶−𝑆扇形𝐸𝐴𝐹进行计算； 式，利用由弧EF及线段FC、(2)设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2𝜋𝑟=
120⋅𝜋⋅6180
，解得𝑟=2，然后利用勾股定理
计算这个圆锥的高h．
23.答案：解：(1)∵△𝐵𝐶𝐸绕点C顺时针旋转60°至△𝐴𝐶𝐹，
∴𝐴𝐶=𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐴=60°， ∴△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，
过点E做𝐸𝐺//𝐴𝐶交BC于点G，如图，
∴△𝐸𝐵𝐺为等边三角形，
∴𝐸𝐺=𝐵𝐸=𝐵𝐺，∠𝐸𝐵𝐺=∠𝐸𝐺𝐵=60°， ∴∠𝐸𝐵𝐷=∠𝐸𝐺𝐶=120°，
∵𝐸𝐷=𝐸𝐶
∴∠𝐷=∠𝐸𝐶𝐷， 在△𝐵𝐷𝐸和△𝐺𝐶𝐸中 ∠𝐸𝐵𝐷=∠𝐸𝐺𝐶{∠𝐷=∠𝐺𝐶𝐸， 𝐸𝐷=𝐸𝐶
∴△𝐵𝐷𝐸≌△𝐺𝐶𝐸， ∴𝐵𝐷=𝐺𝐶，
∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐶，
∴𝐴𝐵−𝐵𝐸=𝐵𝐶−𝐵𝐺， ∴𝐴𝐸=𝐶𝐺， ∴𝐴𝐸=𝐷𝐵；
(2)𝐴𝐸+𝐵𝐸=𝐴𝐵；𝐵𝐷+𝐵𝐸=𝐴𝐵；𝐴𝐸+𝐴𝐹=𝐴𝐵；𝐵𝐷+𝐴𝐹=𝐴𝐵．
(1)利用旋转的性质得𝐴𝐶=𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐴=60°，解析：则可判断△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，过点E做𝐸𝐺//𝐴𝐶∠𝐸𝐵𝐺=∠𝐸𝐺𝐵=60°，交BC于点G，如图，则△𝐸𝐵𝐺为等边三角形，所以𝐸𝐺=𝐵𝐸=𝐵𝐺，则∠𝐸𝐵𝐷=∠𝐸𝐺𝐶=120°，接下来证明△𝐵𝐷𝐸≌△𝐺𝐶𝐸得到𝐵𝐷=𝐺𝐶，然后利用等线段代换可得到𝐴𝐸=𝐷𝐵；
(2)利用(1)𝐵𝐷=𝐴𝐸，将△𝐵𝐶𝐸绕点C顺时针旋转60°至△𝐴𝐶𝐹，得到𝐵𝐸=𝐴𝐹，代换易得四对线段，使每对线段长度之和等于AB的长．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．
24.答案：(1)证明：∵𝐴𝐶=𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐹𝐶=∠𝐴𝐵𝐶， 又∵∠𝐴𝐹𝐶=∠𝑂𝐷𝐵， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝑂𝐷𝐵， ∵𝑂𝐸⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐵𝐸𝐷=90°， ∴∠𝑂𝐷𝐵+∠𝐸𝐵𝐷=90°， ∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐸𝐵𝐷=90°， ∴𝑂𝐵⊥𝐵𝐷， ∴𝐵𝐷是⊙𝑂的切线．
(2)连接AC． ∵𝑂𝐹⊥𝐵𝐶， ∴𝐵𝐹=𝐹𝐶， ∴∠𝐵𝐶𝐹=∠𝐹𝐴𝐶， 又∵∠𝐶𝐹𝑀=∠𝐴𝐹𝐶， ∴△𝐹𝐶𝑀∽△𝐹𝐴𝐶， ∴𝐶𝐹2=𝐹𝑀⋅𝐹𝐴．
(3)连接BF
∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径， ∴∠𝐴𝐹𝐵=90°， ∴𝐵𝐹
3
𝐴𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐴=5， ∴𝐵𝐹=10×3
5=6，
∴𝐴𝐹=√𝐴𝐵2−𝐵𝐹2=√102−62=8，
∵𝐵𝐹=𝐹𝐶， ∴𝐹𝐶=𝐵𝐹=6， ∵𝐶𝐹2=𝐹𝑀⋅𝐹𝐴， ∴62=𝐹𝑀×8， ∴𝐹𝑀=2，
∴𝐵𝑀=√𝐵𝐹2+𝐹𝑀2=√62+()2=
29
152
9
．
解析：(1)欲证明BD是⊙𝑂的切线，只要证明𝐵𝐷⊥𝐴𝐵． (2)连接AC，证明△𝐹𝐶𝑀∽△𝐹𝐴𝐶即可解决问题． (3)连接BF，想办法求出BF，FM即可解决问题．
本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
25.答案：解：过点A作𝐴𝐸⊥𝐶𝑃于点E，如图所示．
设点E的坐标为(𝑚,𝑛)(𝑚>0,𝑛<0)． 当𝑥=0时，𝑦=−3， ∴点C的坐标为(0,−3)；
当𝑦=0时，有−𝑥2+4𝑥−3=0， 解得：𝑥1=1，𝑥2=3，
∴点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(3,0)，
∴𝑂𝐵=𝑂𝐶=3，𝑂𝐴=1，𝐴𝐶=√𝑂𝐶2+𝑂𝐴2=√32+12=√10， ∴∠𝑂𝐶𝐵=45°， 又∵∠𝑃𝐶𝐵=∠𝐴𝐶𝑂，
∴∠𝐴𝐶𝐸=∠𝑂𝐶𝐵=45°， ∴△𝐴𝐶𝐸为等腰直角三角形． ∵𝐴𝐶=√10， ∴𝐶𝐸=𝐴𝐸=
√2𝐴𝐶2
=√5，即√𝑚2+[𝑛−(−3)]2=√ (𝑚−3)2+𝑛2=√5，
𝑚=1 𝑚=2
解得：{或{，
𝑛=−1𝑛=−2∴点E的坐标为(1,−1)或(2,−2)． 设直线CE的解析式为𝑦=𝑘𝑥−3， 将点E的坐标代入𝑦=𝑘𝑥−3中， 得：−1=𝑘−3或−2=2𝑘−3， 解得：𝑘=2或𝑘=2，
∴直线AE的解析式为𝑦=2𝑥−3或𝑦=2𝑥−3，
1
1
1
𝑦=2𝑥−3 𝑦=2 𝑥−3
{联立直线AE和抛物线解析式成方程组，得：{或，
𝑦=−𝑥2+4𝑥−3𝑦=−𝑥2+4𝑥−3𝑥3=2𝑥1=0 𝑥2=2
(舍去)，{(舍去)，{解得：{5， 𝑦1=−3𝑦2=1𝑦3=−4∴点P的坐标为(2,−4).
7
5
7
解析：本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线与x轴的交点以及等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是求出直线AE的解析式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据等腰直角三角形的性质求出点的坐标是关键．
过点A作𝐴𝐸⊥𝐶𝑃于点E，根据抛物线的解析式可以得出点A、B、C的坐标，由此可得出AC的长度以及∠𝑂𝐶𝐵=45°，再根据∠𝑃𝐶𝐵=∠𝐴𝐶𝑂即可得出∠𝐴𝐶𝐸=45°，进而即可得出△𝐴𝐶𝐸为等腰直角
三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得出关于m、n的二元二次方程组，解方程组即可得出点E的坐标，根据点C、E的坐标利用待定系数法即可求出直线CE的解析式，联立直线CE与抛物线成方程组，解方程组即可得出点P的坐标．
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