株洲市第二中学2013届第四次月考理科数学试题

株洲市二中2013届高三第4次月考

理科数学试题

命题：张耀华 审题：高三数学备课组

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1,x01,x为有理数1．设f(x)0，x0，g(x)，则f[g()]的值为（ ）

0,x为无理数1,x0A．1

B．0

2C．1 D．

2．已知全集UR，集合A{x|x3x0}，B{x|x1}，则x(AðUB)是x(AB)的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．如图，⊙O:xy内的正弦曲弦ysinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分）随机往⊙O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是 （ ）

A．

22242 B．

22

C．

43 D．

23

4．一个空间几何体的主视图是长为4，宽为3的长方形，左视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A．

4 23 3B．23

2 俯视图

2C．

43 D．43 325．已知命题p：xR，mx10，命题q：xR，xmx10 ，若pq为假命题， 则实数m的取值范围为 （ ）

A．m2或m2 B．m2 C．m2 D．2m2 6．若函数yx2m11则点P(m,n)x的图象在点M(0,)处的切线l与圆C:x2y21相交，

nnn与圆C的位置关系是( )

A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．不确定

- 1 -

7．设等差数列

an的前n项和为Sn，已知

a7132012a711，

a2006132012a200611，则下列结论正确的是 （ ）

A．S20122012，a2012a7 B．S20122012，a2012a7

8．已知f(x)为定义在(,)上的可导函数，且f(x)f(x)对于xR恒成立，且e为自然对数的底，则（ ）

A．f(1)ef(0),f(2012)eC．f(1)ef(0),f(2012)e2012C．S20122012，a2012a7 D．S20122012，a2012a7f(0) B．f(1)ef(0),f(2012)e2012f(0) f(0) D．f(1)ef(0),f(2012)e2012f(0)

2012二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卷上．

2bi(bR)的实部与虚部互为相反数，则b ．

12i12210．已知tanx2，则sinxsinxcosxcosx________________．

29．若复数

11．已知函数f(x)sin(wx4)(xR,w0)的最小正周期为，将yf(x)的图像向左平移

(0)个单位长度，所得图像关于y轴对称，则 ．

212．在计算“1223n(n1)”时，某同学学到了如下一种方法，先改写第k项：

k(k1)1 [k(k1)(k2)k(1)kk(，1)]3112(123012)3231(234123)由此得：，上述n个等式两边分别相加， 31n(n1)[n(n1)(n2)(n1)n(n1)]31n(n1)(n2). 3类比上述方法，请你计算“123234n(n1)(n2)”，其结果是 ．

得：1223n(n1)13．已知a,b均为正数，且ab3，则1a1b的最大值为 ．

14．已知平面向量,()满足2，且与的夹角为120°，则(1t)t（tR）

的最小值是___ _．

15．在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)x1x2y1y2为两点P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“折线距离”．则坐标原点O与直线2xy250上的点A(225,5)的“折线距离“是 ； 2圆xy1上一点与直线2xy250上一点的“折线距离”的最小值是 ．

- 2 -

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船． （1）求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；

（2）设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与CA成角，

求fxsinsinx2北 3cos2cosxxR的值域． 4A 10 •C 20 B •

17．（本小题满分12分）

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，BAC30，BMAC交AC于点M，EA平面ABC，FC//EA，AC4，EA3，FC1． （1）证明：EMBF；

（2）求平面BEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

18．（本小题满分12分） 已知曲线f(x)B A F E 0· O M C

log2(x1)(x0)上有一点列Pn(xn,yn)(nN*)，点Pn在x轴上的射影是

x1Qn(xn,0)，且xn2xn11(nN*,n2)，x11． （1）求数列{xn}的通项公式xn；

（2）设四边形PnQnQn1Pn1的面积是Sn，求证：

1114． S12S2nSn- 3 -

19．（本小题满分13分）

某企业科研课题组计划投资研发一种新产品，根据分析和预测，能获得10万元～1000万元的投资收益．企业拟制定方案对课题组进行奖励，奖励方案为：奖金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金也不超过投资收益的20%．现该企业计划用一个函数yf(x)来模拟这一奖励方案． （1）试写出模拟函数yf(x)所要满足的条件；

（2）试分析函数模型y4lgx3是否符合奖励方案的要求？并说明你的理由．

20．（本小题满分13分）

设函数f(x)(xa)lnx(aR)．

（1）若xe为yf(x)的极值点，试求实数a的值；

（2）求实数a的取值范围，使得对任意x(0,3e]恒有f(x)4e成立．

注：e为自然对数的底数．

21．（本小题满分13分）

22x2y21的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同设双曲线C：2的两点P、Q．

（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且A1PA2Q1，试求点T的坐标；

（2）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；

（3） 过点F（1，0）作直线l与（2）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设FA＝λ·若[2,1]FB，

求|TA＋TB|（T为（1）中的点）的取值范围． y

- 4 -

，

M A1 O A2 Q P T x – — – — –– — – — – — 密 — – — – — – — – — – — – — – — – 封 — – — – — – — – — – — – — – — – 线 — – — – — – —– — – —— 株洲市二中2013届高三第4次月考 座位号 理科数学答卷 一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 班级： 学生姓名： 考场号： 座位号： 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在下列答题框内． 9、 11、 13、 15、 10 12、 14、 三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16、 北 A 10 •C 20 B • - 5 -

17、 E F A · O M C B 18、 - 6 -

19、 20、 - 7 -

21、 y P M A1 O A2 Q T x - 8 -