数列的极限

1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般.

2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.

3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法. 4.数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先

*

证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.

5.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： (1)证明：当n取第一个值n0结论正确；

*

(2)假设当n=k(k∈N，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确. 【注】n0应为n能取到的最小正整数 【练习巩固】

练1：若f（n）=1+

111 （n∈N*），则当n=1时，f（n）为 232n1y练2：将全体正整数排成一个三角形数阵：

12

3589610a1a2b3bn-1bnx47

a3......an-1an按照以上排列的规律，第n行(n3)从左向右的第3个数为 。 练3：已知a1,a2,L2b2b3ob1b2,an；b1,b2,,bn（n是正整数），令L1b1b2bn，

bn,，Lnbn. 某人用右图分析得到恒等式：

ckLka1b1a2b2anbna1L1c2L2c3L3*则ckcnLn，

__________(2kn)

练4：已知nN,证明:1

11111111. 2342n12nn1n22n＋

练5：试证：当n∈N*时，f(n)＝32n2－8n－9能被64整除.

二）数列的极限概念以及简单的应用

1、定义：对于无穷数列{an}，当n无限增大时，无穷数列{an}中的an无限趋近于一个常数Ａ，那么Ａ叫做数列{an}的极限，或者数列{an}收敛于Ａ，记作limanA；如果数列

n没有极限，那么我们称数列{an}是发散的。

【注】①一定要注意，ｎ要想无限增大，必须满足这个数列必须有无穷多项，是无穷数列。（判断数列存在不存在极限）

②an无限趋近于一个常数Ａ，说明一个数列的极限只有这一个。（判断数列存在不存在极限）

③ 那么limanA可变形为nnlim|anA|0，用绝对值代表距离，这种定义常用于

证明A是否是an的极限。 2、常见求极限题型

（1）常用极限：（1）nC=C（C为常数）（2）当q1时，limq0； （3）limnlimn10 nn（2）

ang(n)f(n) f(n)、g(n)为n的多项式，分子分母同除以n的最高次幂， 起决定作用的

只是分子分母中n次数最高的项。 ①如果g(n)、f3n4n24n6lim(n)中的最高次数相同，例如：nn，nn2，那么数列存在极限，

lim其极限即为其最高次幂的系数比；

6n37lim4nlimg(n)f(n)②如果中n的最高次数高于中n的最高次数，例如：n，nn4那么数

列不存在极限；

1n4lim2③如果f(n)中n的最高次数高于g(n)中n的最高次数，例如：n6n7，n4n，那么数

lim列存在极限，其极限即为0。 【练习巩固】

练1：求下列数列的极限

3n22n21n2（1）lim （2）lim （3）lim （4）无穷数列ann4n3n12nn3n(n1)前n项和Sn

1an1 33n22n12nn－n）（5）lim （6）=0（α＞0） （7）（ limlim2n2n2nnnn（8）x

练2：用极限定义证明：lim(1nlimx23xx

1)1 n2

二）新课：数列极限的运算法则

1、数列极限的运算性质：设数列｛an｝、｛bn｝，liman=A,

nnlimbn=B

(1)lim （an±bn）=A±B;

n(2)lim（an·bn）=A·B;

n【注】①lim（C·an）=C·A ②推广到有限个数列和、差、积的极限：若limcn=C,limnnn（an+bn+cn）=A+B+C (3)limnanA=（b≠0） bnB【注】（1）性质公式使用条件：数列｛an｝、｛bn｝都存在极限

（2）性质1、2的使用前提是参与运算的数列个数是有限的 【典型例题】

例1：“limanA,limbnB”是“lim(anbn)AB”成立的（ ）

nnn（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件； （C）充要条件； （D）既非充分又非必要条件 例2：计算

n3(n2)2)； （2）lim（1）lim(2； （3）

nn(2n1)2n3lim(n1231002) n12n13n1n1

5n13n2123n（4）limn1 （5）lim() n2222n3n5n1n1n1n1

【练习巩固】

练1：已知liman3,limbn2，求limnnan2bn

nbn

练2：计算

2n－1n2n1n1n(1)limn （2）lim （3） （4）lim2n2＋1n2n1nn2n3n12n113(2n1)（5）limn1 limnn32n12n2n1

练3：已知｛an｝、｛bn｝都存在极限，且满足

lim(2anbn)1,lim(an2bn)1,求lim(an•bn)的值

nnn

练4：若lim2nan1，且liman存在，则求lim(1n)an

nnn

三）无穷等比数列各项的和

（一）无穷等比数列各项的和的概念

a1(1qn)1、复习：等比数列前n项和公式：等比数列｛an｝，前n项和Sn=1q,q1

na,q112、无穷等比数列各项的和的概念：①等比数列｛an｝是无穷等比数列 ②公比

q1

则当n时Sn将无限趋向于一个常数

aa1，即limSn1

n1q1q（二）无穷等比数列各项的和的应用

1、化循环小数为分数 【典型例题】

例1：把下列循环小数化为分数

（1）0.13 （2）0.323

例2：设｛an｝是无穷等比数列，且公比的取值范围是q1，若a1+a2+a3+……+an+……=求a1取值范围。

【练习巩固】

练1：计算0.980.870.760.21

练2：计算

1，a1132n12n 222