学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
满分：130分
一．选择题(共10小题,满分30分,每小题3分) 1．(3分)﹣3的相反数为( ) A．﹣3
B．−
13测试时间：120分钟
C． 3
1
D．3
2．(3分)下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
3．(3分)下列运算正确的是( ) A．(x3)4＝x7
B．x2•x3＝x5
C．x4÷x＝x4
D．x+x2＝x3
4．(3分)如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是( )
A． B．
C． D．
5．(3分)在四边形ABCD中,AC、BD相交于O,能判定这个四边形是正方形的是( ) A．AO＝BO＝CO＝DO,AC⊥BD C．AO＝BO,∠A＝∠C
B．AB∥CD,AC＝BD
D．AO＝CO,BO＝DO,AB＝BC
6．(3分)期末考试后,办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩,林老师：“我班的学生考得还不错,有一半的学生考79分以上,一半的学生考不到79分．”王老师：“我班大部分的学生都考在80分到85分之间喔．”依照上面两位老师所叙述的话你认为林、王老师所说的话分别针对( ) A．平均数、众数 C．中位数、方差
B．平均数、极差 D．中位数、众数
7．(3分)如图为△ABC和一圆的重迭情形,此圆与直线BC相切于C点,且与AC交于另一点D．若∠A＝70°,̂的度数为何( ) ∠B＝60°,则𝐶𝐷
A．50°
B．60°
C．100°
D．120°
8．(3分)如图,一根长为5米的竹竿AB斜立于墙MN的右侧,底端B与墙角N的距离为3米,当竹竿顶端A下滑x米时,底端B便随着向右滑行y米,反映y与x变化关系的大致图象是( )
A． B．
C． D．
9．(3分)如图,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平后再次折叠,使点A落在EF上的点A'处,得到折痕BM,且BM与EF相交于点N,若直线BA'交直线CD于点O,BC＝5√3,EN=√3,则OD的长为( )
A．
23
B．1 C． 4
3
D． 5
3
10．(3分)如图,在平面直角坐标系中,A(0,3)、B(3,0),以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP,若点C为AP的中点,连接OC,则OC的最小值为( )
A．1
B．2√2−1
C．√2
D．
32
√2−1
二．填空题(共8小题,满分16分,每小题2分) 11．(2分)因式分解：a3﹣9a＝ ． 12．(2分)函数y=
2𝑥
的自变量的取值范围是 ． 𝑥−113．(2分)2019年末,引发疫情的冠状病毒,被命名为COVID﹣19新型冠状病毒,冠状病毒的平均直径约是0.00000009米．数据0.00000009科学记数法表示为 ．
14．(2分)如图,用圆心角为120°,半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽,则这个纸帽的高是 cm．
15．(2分)如图,已知一次函数y＝mx﹣n的图象,则关于x的不等式mx﹣1＞n的解集是 ．
16．(2分)如图,在矩形ABCD中,AB＝2DA,以点A为圆心,AB为半径的圆弧交DC于点E,交AD的延长线于点F,设DA＝2,图中阴影部分的面积为 ．
17．(2分)如图,四边形ABCD的顶点都在坐标轴上,若AB∥CD,△AOB与△COD面积分别为8和18,若双曲
线y=恰好经过BC的中点E,则k的值为 ．
𝑘𝑥
18．(2分)如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC＝60°,将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D',分别连接A'C,A'D,B'C,则A'C+B'C的最小值为 ．
三．解答题(共10小题,满分84分) 19．(8分)计算：
(1)()0+√27−|﹣3|+tan45°；
3
𝑥
1
(2)(x+3)(x﹣3)﹣(x﹣2)2．
5𝑥−7＜2(𝑥+1)
(2)解不等式组：{𝑥+10．
＞2𝑥
31
20．(8分)(1)解方程：−1=；
𝑥𝑥−2
21．(8分)如图,已知E是▱ABCD中BC边的中点,连接AE并延长AE交DC的延长线于点F,连接AC、BF,若EF＝EC,试判断四边形ABFC是什么四边形,并证明．
22．(8分)某高中学校为使高一新生入校后及时穿上合身的校服,现提前对某校九年级(1)班学生即将所穿校服型号情况进行摸底调查,并根据调查结果绘制如图两个不完整的统计图(校服型号以身高作为标准,共分为6种号)．
根据以上信息,解答下列问题： (1
)该班共有多少名学生？
(2)在条形统计图中,请把空缺部分补充完整；在扇形统计图中,请计算185型校服所对应的扇形圆心角的大小；
(3)求该班学生所穿校服型号的众数和中位数．如果该高中学校准备招收2000名高一新生,则估计需要准备多少套180型号的校服？
23．(6分)一个不透明的布袋里装有2个白球,1个黑球和若干个红球,它们除颜色外其余都相同,从中任意摸出1个球,是红球的概率为．
41
(1)布袋里红球有 个；
(2)先从布袋中摸出个球后不放回,再摸出1个球,请用列表或画树状图的方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
24．(8分)如图,四边形ABCD是菱形,菱形的周长为40cm,对角线AC,BD交于O,AO：BO＝4：3． (1)求对角线AC,BD的长；
(2)作AB边上的高DE,菱形的面积和DE的长．
25．(8分)如图,以△ABC的边BC为直径的⊙O,交AB边于点D,D为AB的中点,DE⊥AC于点E． (1)求证：AC＝BC． (2)求证：DE是⊙O的切线．
26．(8分)某商品市场销售抢手,其进价为每件80元,售价为每件130元,每个月可卖出500件；据市场调查,若每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖2件(每件售价不能高于240元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的涨价多少元时,每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
(3)每件商品的涨价多少元时,每个月的利润恰为40000元？根据以上结论,请你直接写出x在什么范围时,每个月的利润不低于40000元？
27．(11分)已知：如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点D(0,﹣6),直线y=−3x+2交x轴于点B,与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式；
(2)抛物线上点E位于第四象限,且在抛物线的对称轴的右侧,当△BCE的面积为32时,过点E作平行于y轴的直线交x轴于Q,交BC于点F,在y轴上是否存在点K,使得以K、E、F三点为顶点的三角形是直角三角形,若存在,求出点K的坐标,若不存在,请说明理由；
(3)如图2,在线段OB上有一动点P,直接写出√10DP+BP的最小值和此时点P的坐标．
1
28．(11分)如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,P是半径OB上一动点(不与O,B重合),过点P作射线l⊥̂于D,E两点,过点C的切线交射线l于点F． AB,分别交弦BC,𝐵𝐶(1)求证：FC＝FD． ̂的中点时, (2)当E是𝐵𝐶
①若∠BAC＝60°,判断以O,B,E,C为顶点的四边形是什么特殊四边形,并说明理由； ②若
𝐴𝐶𝐵𝐶
=,且AB＝30,则OP＝ ．
4
3
参考答案
一．选择题(共10小题,满分30分,每小题3分) 1．(3分)﹣3的相反数为( ) A．﹣3
B．−
13C． 3
1
D．3
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答． 【解答】解：﹣3的相反数是3． 故选：D．
【点评】本题考查了相反数的定义,是基础题,熟记概念是解题的关键．
2．(3分)下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意； B、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意； C、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项符合题意； D、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意． 故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合． 3．(3分)下列运算正确的是( ) A．(x3)4＝x7
B．x2•x3＝x5
C．x4÷x＝x4
D．x+x2＝x3
【分析】利用幂的乘方法则、同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则,逐个计算得结论． 【解答】解：∵(x3)4＝x12≠x7,x2•x3＝x5,x4÷x＝x3≠x4, x+x3≠x4, ∴选项B正确． 故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘除法、合并同类项法则等知识点,题目比较简单,掌握整式的相关运算法则是解决本题的关键．
4．(3分)如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是( )
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：该立体图形主视图的第1列有1个正方形、第2列有1个正方形、第3列有2个正方形, 故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图． 5．(3分)在四边形ABCD中,AC、BD相交于O,能判定这个四边形是正方形的是( ) A．AO＝BO＝CO＝DO,AC⊥BD C．AO＝BO,∠A＝∠C
B．AB∥CD,AC＝BD
D．AO＝CO,BO＝DO,AB＝BC
【分析】根据正方形的判定对各个选项进行分析从而确定最后答案． 【解答】解：A,能,因为对角线相等且互相垂直平分； B,不能,只能判定为等腰梯形； C,不能,不能判定为特殊的四边形； D,不能,只能判定为菱形； 故选：A．
【点评】本题是考查正方形的判别方法,判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念,途经有两种：①先说明它是矩形,再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形,再说明它有一个角为直角．
6．(3分)期末考试后,办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩,林老师：“我班的学生考得还不错,有一半的学生考79分以上,一半的学生考不到79分．”王老师：“我班大部分的学生都考在80分到85分之间喔．”依照上面两位老师所叙述的话你认为林、王老师所说的话分别针对( ) A．平均数、众数 C．中位数、方差
B．平均数、极差 D．中位数、众数
【分析】根据两位老师的说法中的有一半的学生考79分以上,一半的学生考不到79分,可以判断79分是
中位数,大部分的学生都考在80分到85分之间,可以判断众数． 【解答】解：∵有一半的学生考79分以上,一半的学生考不到79分, ∴79分是这组数据的中位数,
∵大部分的学生都考在80分到85分之间, ∴众数在此范围内． 故选：D．
【点评】本题考查了统计量的选择,解题的关键是抓住题目中的关键词语．
7．(3分)如图为△ABC和一圆的重迭情形,此圆与直线BC相切于C点,且与AC交于另一点D．若∠A＝70°,̂的度数为何( ) ∠B＝60°,则𝐶𝐷
A．50°
B．60°
C．100°
D．120°
【分析】本题首先根据三角形的内角和定理求得∠C的度数,再根据弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半进行求解．
【解答】解：∵∠A＝70°,∠B＝60°, ∴∠C＝50°．
∵此圆与直线BC相切于C点, ̂的度数＝2∠C＝100°． ∴𝐶𝐷故选：C．
【点评】此题综合考查了弦切角定理和三角形的内角和定理．
8．(3分)如图,一根长为5米的竹竿AB斜立于墙MN的右侧,底端B与墙角N的距离为3米,当竹竿顶端A下滑x米时,底端B便随着向右滑行y米,反映y与x变化关系的大致图象是( )
A． B．
C． D．
【分析】在直角三角形ABN中,利用勾股定理求出AN的长,进而表示出A点下滑时AN与NB的长,确定出y与x的关系式,即可做出判断．
【解答】解：在Rt△ABN中,AB＝5米,NB＝3米, 根据勾股定理得：AN=√𝐴𝐵2−𝑁𝐵2=4米, 若A下滑x米,AN＝(4﹣x)米,
根据勾股定理得：NB=√52−(4−𝑥)2=3+y, 整理得：y=√25−(4−𝑥)2−3,
当x＝0时,y＝0；当x＝4时,y＝2,且不是直线变化的, 故选：A．
【点评】此题考查了动点问题的函数图象,解决本题的关键是读懂图意,列出y与x的函数解析式． 9．(3分)如图,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平后再次折叠,使点A落在EF上的点A'处,得到折痕BM,且BM与EF相交于点N,若直线BA'交直线CD于点O,BC＝5√3,EN=√3,则OD的长为( )
A．
23
B．1 C． 4
3
D． 5
3
【分析】连接AA'．根据折叠的性质,易得△ABA'为等边三角形,进而得出∠ABM＝∠A'BM＝∠A'BC＝30°,进而求解．
【解答】解：连接AA'．∵EN=√3,
∴由中位线定理得AM＝2√3,
∵对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF, ∴A'A＝A'B,
∵把纸片展平后再次折叠,使点A落在EF上的点A′处,得到折痕BM, ∴A'B＝AB,∠ABM＝∠A'BM, ∴△ABA'为等边三角形,
∴∠ABA′＝∠BA′A＝∠A′AB＝60°, 又∵∠ABC＝∠BAM＝90°, ∴∠ABM＝∠A'BM＝∠A'BC＝30°, ∴BM＝2AM＝4√3,AB=√3AM＝6＝CD． 在直角△OBC中,∵∠C＝90°,∠OBC＝30°, ∴OC＝BC•tan∠OBC＝5√3×3=5, ∴OD＝CD﹣OC＝6﹣5＝1． 故选：B．
【点评】考查了翻折变换(折叠问题),矩形的性质,勾股定理,关键是得到矩形的宽和A′E的长． 10．(3分)如图,在平面直角坐标系中,A(0,3)、B(3,0),以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP,若点C为AP的中点,连接OC,则OC的最小值为( )
√3
A．1
B．2√2−1
C．√2
D．
32
√2−1
【分析】确定点C的运动路径是：以D为圆心,以DC1为半径的圆,当O、C、D共线时,OC的长最小,先
求⊙D的半径为1,说明D是AB的中点,根据直角三角形斜边中线是斜边一半可得OD=小值是
3√2−1． 2
3√2,所以OC的最2【解答】解：当点P运动到AB的延长线上时,即如图中点P1,C1是AP1的中点, 当点P在线段AB上时,C2是中点,取C1C2的中点为D,
点C的运动路径是以D为圆心,以DC1为半径的圆(CA：PA＝1：2,则点C轨迹和点P轨迹相似,所以点C的轨迹就是圆),当O、C、D共线时,OC的长最小, 设线段AB交⊙B于Q, Rt△AOB中,OA＝3,OB＝3, ∴AB＝3√2, ∵⊙B的半径为2, ∴BP1＝2,AP1＝3√2+2, ∵C1是AP1的中点,
∴AC1=2+1,AQ＝3√2−2, ∵C2是AQ的中点, ∴AC2＝C2Q=C1C2=
3√2−1, 23√23√22√3+1﹣(−1)＝2,即⊙D的半径为1, 223√21
3√21
∵AD=2−1+1=2=2AB, ∴OD=2AB=2, ∴OC=
3√2−1, 23√2方法二：如图,取A′(0,﹣3),连接PA′．
根据三角形中位线定理可知：PA′＝2OC,求出PA′的最小值即可解决问题． 故选：D．
【点评】本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、圆的性质、两点之间线段最短,确定出OC最小时点C的位置是解题关键,也是本题的难点． 二．填空题(共8小题,满分16分,每小题2分) 11．(2分)因式分解：a3﹣9a＝ a(a+3)(a﹣3) ． 【分析】原式提取a,再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝a(a2﹣9) ＝a(a+3)(a﹣3),
故答案为：a(a+3)(a﹣3)．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12．(2分)函数y=𝑥−1的自变量的取值范围是 x≠1 ．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0,解可得自变量x的取值范围． 【解答】解：根据题意,有x﹣1≠0, 解可得x≠1；
故自变量x的取值范围是x≠1, 故答案为x≠1．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件是分母不等于0．
13．(2分)2019年末,引发疫情的冠状病毒,被命名为COVID﹣19新型冠状病毒,冠状病毒的平均直径约是0.00000009米．数据0.00000009科学记数法表示为 9×108 ．
﹣
2𝑥
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10n,与较大数的科学记数法不
﹣
同的是其所使用的是负指数幂,指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.00000009＝9×108．
﹣
故答案为：9×108．
﹣
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10n,其中1≤|a|＜10,n为由原数左
﹣
边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．(2分)如图,用圆心角为120°,半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽,则这个纸帽的高是 4√2
cm．
【分析】先利用弧长公式得到圆心角为120°,半径为6cm的扇形的弧长＝4π,根据圆锥的侧面展开图为扇形,扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长,则可计算出圆锥的底面圆的半径为2,然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．
【解答】解：∵圆心角为120°,半径为6cm的扇形的弧长=∴圆锥的底面圆的周长为4π, ∴圆锥的底面圆的半径为2,
∴这个纸帽的高=√62−22=4√2(cm)． 故答案为4√2．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形,扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理．
15．(2分)如图,已知一次函数y＝mx﹣n的图象,则关于x的不等式mx﹣1＞n的解集是 x＞4 ．
120⋅𝜋⋅6
=4π, 180
【分析】根据题意和一次函数的图象,可以写出不等式mx﹣1＞n的解集． 【解答】解：当y＝1时,1＝mx﹣n,可得mx﹣1＝n, 由图象可得,一次函数过点(4,1),y随x的增大而增大, ∴不等式mx﹣1＞n的解集是x＞4, 故答案为：x＞4．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答． 16．(2分)如图,在矩形ABCD中,AB＝2DA,以点A为圆心,AB为半径的圆弧交DC于点E,交AD的延长线于点F,设DA＝2,图中阴影部分的面积为
83π﹣2√3 ．
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠AED＝30°,然后求出DE,再根据阴影部分的面积＝S扇形AEF﹣S△ADE列式计算即可得解． 【解答】解：∵AB＝2DA,AB＝AE(扇形的半径), ∴AE＝2DA＝2×2＝4, ∴∠AED＝30°,
∴∠DAE＝90°﹣30°＝60°, DE=√𝐴𝐸2−𝐷𝐴2=√42−22=2√3, ∴阴影部分的面积＝S扇形AEF﹣S△ADE,
60⋅𝜋⋅421
=360−2×2×2√3,
=3π﹣2√3． 故答案为：π﹣2√3．
38
8
【点评】本题考查了矩形的性质,扇形的面积计算,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,熟记性质并求出∠AED＝30°是解题的关键,也是本题的难点．
17．(2分)如图,四边形ABCD的顶点都在坐标轴上,若AB∥CD,△AOB与△COD面积分别为8和18,若双曲线y=恰好经过BC的中点E,则k的值为 6 ．
𝑘𝑥
【分析】由平行线的性质得∠OAB＝∠OCD,∠OBA＝∠ODC,两个对应角相等证明△OAB∽△OCD,其性质得
𝑂𝐵𝑂𝐷
=
𝑂𝐴𝑂𝐶
,再根据三角形的面积公式,等式的性质求出m=3,线段的中点,反比例函数的性质求出k的
2
值为6．
【解答】解：如图所示：
∵AB∥CD,
∴∠OAB＝∠OCD,∠OBA＝∠ODC, ∴△OAB∽△OCD, ∴若
𝑂𝐵𝑂𝐷𝑂𝐵𝑂𝐷
==
𝑂𝐴𝑂𝐶𝑂𝐴𝑂𝐶
, =m,
由OB＝m•OD,OA＝m•OC,
又∵𝑆△𝑂𝐴𝐵=2⋅𝑂𝐴⋅𝑂𝐵,𝑆△𝑂𝐶𝐷=2⋅𝑂𝐶⋅𝑂𝐷, ∴
𝑆△𝑂𝐴𝐵𝑆△𝑂𝐶𝐷
1
1
=
1
𝑂𝐴⋅𝑂𝐵21𝑂𝐶⋅𝑂𝐷2=
𝑂𝐴⋅𝑂𝐵𝑂𝐶⋅𝑂𝐷
=
𝑚2⋅𝑂𝐶⋅𝑂𝐷𝑂𝐶⋅𝑂𝐷
=𝑚2,
又∵S△OAB＝8,S△OCD＝18, ∴𝑚2=
8, 182323解得：m=或m=−(舍去),
设点A、B的坐标分别为(0,a),(b,0),则•a•(﹣b)＝8,即ab＝﹣16,
21
∵
𝑂𝐴𝑂𝐶
=
𝑂𝐵𝑂𝐷
=, 3
3
2
∴点C的坐标为(0,−2a), 又∵点E是线段BC的中点, ∴点E的坐标为(,−𝑎),
2
4𝑏
3
又∵点E在反比例函数𝑦=𝑥(𝑘＞0)上, ∴𝑘=2⋅(−4𝑎)=−8𝑎𝑏=−8×(−16)=6, 故答案为6．
【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质,平行线的性质,线段的中点坐标,反比例函数的性质,三
𝑏
3
3
3
𝑘
角形的面积公式等知识,重点掌握反比例函数的性质,难点根据三角形的面积求反比例函数系数的值． 18．(2分)如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC＝60°,将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D',分别连接A'C,A'D,B'C,则A'C+B'C的最小值为 √3 ．
【分析】根据菱形的性质得到AB＝1,∠ABD＝30°,根据平移的性质得到A′B′＝AB＝1,A′B′∥AB,推出四边形A′B′CD是平行四边形,得到A′D＝B′C,于是得到A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值,根据平移的性质得到点A′在过点A且平行于BD的定直线上,作点D关于定直线的对称点E,连接CE交定直线于A′,则CE的长度即为A'C+B'C的最小值,求得DE＝CD,得到∠E＝∠DCE＝30°,于是得到结论．
【解答】解：∵在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC＝60°, ∴AB＝CD＝1,∠ABD＝30°,
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D', ∴A′B′＝AB＝1,A′B′∥AB, ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB＝CD,AB∥CD, ∴∠BAD＝120°,
∴A′B′＝CD,A′B′∥CD, ∴四边形A′B′CD是平行四边形, ∴A′D＝B′C,
∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值, ∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上,
∴作点D关于定直线的对称点E,连接CE交定直线于A′, 则CE的长度即为A'C+B'C的最小值, ∵∠A′AD＝∠ADB＝30°,AD＝1, ∴∠ADE＝60°,DH＝EH=2AD=2, ∴DE＝1,
1
1
∴DE＝CD,
∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°, ∴∠E＝∠DCE＝30°, ∴CE＝2×2CD=√3． 故答案为：√3．
√3
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题,菱形的性质,矩形的判定和性质,解直角三角形,平移的性质,正确地理解题意是解题的关键． 三．解答题(共10小题,满分84分) 19．(8分)计算：
(1)()0+√27−|﹣3|+tan45°；
31
(2)(x+3)(x﹣3)﹣(x﹣2)2．
【分析】(1)根据实数的运算法则即可求出答案． (2)根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案． 【解答】解：(1)原式=1+3√3−3+1 =3√3−1．
(2)原式＝x2﹣9﹣(x2﹣4x+4) ＝x2﹣9﹣x2+4x﹣4 ＝4x﹣13．
【点评】本题考查学生的运算能力,解题的关键是熟练运用实数以及整式的运算法则,本题属于基础题型． 20．(8分)(1)解方程：
𝑥𝑥−2
−1=𝑥；
1
5𝑥−7＜2(𝑥+1)(2)解不等式组：{𝑥+10．
＞2𝑥3【分析】(1)分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x
的值,经检验即可得到分式方程
的解；
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出两解集的公共部分即可． 【解答】解：(1)去分母得：x2﹣x2+2x＝x﹣2, 解得：x＝﹣2,
经检验x＝﹣2是分式方程的解； 5𝑥−7＜2(𝑥+1)①(2){𝑥+10,
＞2𝑥②3由①得：x＜3, 由②得：x＜2,
则不等式组的解集为x＜2．
【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验．
21．(8分)如图,已知E是▱ABCD中BC边的中点,连接AE并延长AE交DC的延长线于点F,连接AC、BF,若EF＝EC,试判断四边形ABFC是什么四边形,并证明．
【分析】由ABCD为平行四边形,根据平行四边形的对边平行得到AB与DC平行,根据两直线平行内错角相等得到一对角相等,由E为BC的中点,得到两条线段相等,再由对应角相等,利用ASA可得出三角形ABE与三角形FCE全等；进而得出AB＝FC,即可得出四边形ABFC是平行四边形,再由直角三角形的判定方法得出△BFC是直角三角形,即可得出平行四边形ABFC是矩形． 【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB∥DC, ∴∠ABE＝∠ECF, 又∵E为BC的中点, ∴BE＝CE,
在△ABE和△FCE中,
∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐸𝐶𝐹
∵{𝐵𝐸=𝐶𝐸, ∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐹𝐸𝐶∴△ABE≌△FCE(ASA)；
∴AB＝CF,
∴四边形ABFC是平行四边形, ∵BE＝EC,EF＝EC, ∴BE＝EF＝EC, ∴△BFC是直角三角形, 则∠BFC＝90°．
∴平行四边形ABFC是矩形．
【点评】此题主要考查了矩形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识,根据已知得出AB＝CF是解题关键．
22．(8分)某高中学校为使高一新生入校后及时穿上合身的校服,现提前对某校九年级(1)班学生即将所穿校服型号情况进行摸底调查,并根据调查结果绘制如图两个不完整的统计图(校服型号以身高作为标准,共分为6种号)．
根据以上信息,解答下列问题： (1)该班共有多少名学生？
(2)在条形统计图中,请把空缺部分补充完整；在扇形统计图中,请计算185型校服所对应的扇形圆心角的大小；
(3)求该班学生所穿校服型号的众数和中位数．如果该高中学校准备招收2000名高一新生,则估计需要准备多少套180型号的校服？
【分析】(1)根据166型号的额人数和所占的百分比,可以求得该班共有多少名学生；
(2)根据(1)中的结果和扇形统计图中的数据,可以计算出175型号和185型号的学生人数,从而可以将条形统计图补充完整,再根据统计图中的数据,可以计算出185型校服所对应的扇形圆心角的大小；
(3)根据统计图中的数据,可以写出众数和中位数,并计算出需要准备多少套180型号的校服． 【解答】解：(1)15÷30%＝50(名), 即该班共有50名学生；
(2)穿175型校服的学生有50×20%＝10(名), 185型的学生有：50﹣3﹣15﹣15﹣10﹣5＝2(名), 补充完整的条形统计图如右图所示,
185型校服所对应的扇形圆心角的度数是：360°×50=14.4°； (3)由统计图可知,
该班学生所穿校服型号的众数是165和170,中位数170, 2000×
5
=200(套) 502
答：需要准备200套180型号的校服．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、众数、中位数,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答．
23．(6分)一个不透明的布袋里装有2个白球,1个黑球和若干个红球,它们除颜色外其余都相同,从中任意摸出1个球,是红球的概率为．
41
(1)布袋里红球有 1 个；
(2)先从布袋中摸出个球后不放回,再摸出1个球,请用列表或画树状图的方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
【分析】(1)设红球的个数为x个,根据概率公式得到
𝑥𝑥+2+1
=,然后解方程即可；
4
1
(2)先画树状图展示所有12种等可能结果,再找出两次摸到的球都是白球的结果数,然后根据概率公式计算． 【解答】解：(1)设红球的个数为x个, 根据题意得
𝑥𝑥+2+1
=, 4
1
解得x＝1(检验合适),
所以布袋里红球有1个, 故答案为：1； (2)画树状图如下：
共有12种等可能结果,其中两次摸到的球都是白球结果数为2种, 所以两次摸到的球都是白球的概率=12=6．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
24．(8分)如图,四边形ABCD是菱形,菱形的周长为40cm,对角线AC,BD交于O,AO：BO＝4：3． (1)求对角线AC,BD的长；
(2)作AB边上的高DE,菱形的面积和DE的长．
2
1
【分析】(1)根据菱形的性质得AB＝BC＝CD＝AD＝10,OA＝OC,OB＝OD,BD⊥AC,设AO＝4x,OB＝3x,利用勾股定理得到AB＝5x,从而得到x＝2,然后计算AC、BD的长；
(2)如图,利用菱形的面积等于对角线乘积的一半可计算出菱形的面积,然后利用面积法计算DE的长． 【解答】解：(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10,OA＝OC,OB＝OD,BD⊥AC, ∵AO：BO＝4：3． ∴设AO＝4x,OB＝3x,
在Rt△AOB中,AB=√(3𝑥)2+(4𝑥)2=5x, ∴5x＝10,解得x＝2,
∴AC＝2OA＝8x＝16(cm),BD＝2OB＝6x＝12(cm)； (2)如图,
菱形ABCD的面积=
11
×AC×BD=×16×12＝96(cm2), 22∵菱形的面积＝DE×AB, ∴DE×AB＝96, ∴DE=10=5(cm)．
96
48
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作．也考查了菱形的性质．
25．(8分)如图,以△ABC的边BC为直径的⊙O,交AB边于点D,D为AB的中点,DE⊥AC于点E． (1)求证：AC＝BC． (2)求证：DE是⊙O的切线．
【分析】(1)连接CD,由圆周角定理可得出∠BDC＝90°,则CD⊥AB,由中垂线的性质得出结论； (2)连接OD,再证明OD⊥DE即可． 【解答】证明：(1)如图,连接CD,
∵BC是⊙O的直径． ∴∠BDC＝90°, ∴CD⊥AB,
又∵D为AB的中点, ∴AD＝BD, ∴AC＝BC； (2)连接OD,
∵AD＝BD,OC＝OB, ∴OD是△ABC的中位线, ∴DO∥AC, ∵DE⊥AC, ∴DE⊥OD,
又∵点D在⊙O上． ∴DE是⊙O的切线．
【点评】本题主要考查了切线的判定,圆周角定理,等腰三角形的判定等知识点,熟练掌握切线的判定是解题的关键．
26．(8分)某商品市场销售抢手,其进价为每件80元,售价为每件130元,每个月可卖出500件；据市场调查,若每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖2件(每件售价不能高于240元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的涨价多少元时,每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
(3)每件商品的涨价多少元时,每个月的利润恰为40000元？根据以上结论,请你直接写出x在什么范围时,每个月的利润不低于40000元？
【分析】(1)根据总利润等于每件的利润乘以销售量,可列出y关于x的函数关系式；根据每件售价不能高于240元,可得关于x的不等式,求解即可；
(2)将(1)中的二次函数关系式写成顶点式,根据二次函数的性质,可得答案；
(3)令y＝40000,可得关于x的一元二次方程,解得x值,并根据问题的实际意义作出取舍,再结合二次函数的性质,可得x的取值范围．
【解答】解：(1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元,由题意得： y＝(130﹣80+x)(500﹣2x) ＝﹣2x2+400x+25000 ∵每件售价不能高于240元 ∴130+x≤240 ∴x≤110
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+400x+25000,自变量x的取值范围为0＜x≤110,且x为正整数． (2)∵y＝﹣2x2+400x+25000 ＝﹣2(x﹣100)2+45000
∴当x＝100时,y有最大值45000元．
∴每件商品的涨价100元时,每个月可获得最大利润,最大的月利润是45000元． (3)令y＝40000,得： ﹣2x2+400x+25000＝40000 解得：x1＝50,x2＝150 ∵0＜x≤110
∴x＝50,即每件商品的涨价为50元时,每个月的利润恰为40000元；
由二次函数的性质及问题的实际意义,可知当50≤x≤110,且x为正整数时,每个月的利润不低于40000元． ∴每件商品的涨价为50元时,每个月的利润恰为40000元；当50≤x≤110,且x为正整数时,每个月的利润不低于40000元．
【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程在成本利润问题中的应用,明确成本利润问题的基本关系式,并明确二次函数和一元二次方程的性质及解法,是解题的关键．
27．(11分)已知：如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点D(0,﹣6),直线y=−3x+2交x轴于点B,与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式；
(2)抛物线上点E位于第四象限,且在抛物线的对称轴的右侧,当△BCE的面积为32时,过点E作平行于y轴的直线交x轴于Q,交BC于点F,在y轴上是否存在点K,使得以K、E、F三点为顶点的三角形是直角三角形,若存在,求出点K的坐标,若不存在,请说明理由；
(3)如图2,在线段OB上有一动点P,直接写出√10DP+BP的最小值和此时点P的坐标．
1
【分析】(1)先求出点B,C坐标,再将点B,C坐标代入抛物线解析式中,求解即可得出结论；
(2)利用△BCE的面积为32,求出点E,F坐标,再分三种情况,利用直角三角形的性质求解,即可得出结论； (3)先作出PM=√10DP,再判断出点M在x轴上时,所求的式子的值最小,再判断出△DOP'∽△M'DP',得出DP'=√10m,再用勾股定理求出m,即可得出结论． 【解答】解：(1)∵直线y=−3x+2过点B,C, 令y＝0,则−x+2＝0, ∴x＝6, 令x＝0,则y＝2, ∴B(6,0),C(0,2),
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B(6,0)和D(0,﹣6), 36+6𝑏+𝑐=0∴{, 𝑐=−6𝑏=−5∴{, 𝑐=−6
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣5x﹣6；
(2)设点Q(m,0),则E(m,m2﹣5m+6),F(m,−3m+2), ∵△BCE的面积为32, ∴EF•(xB﹣xC)＝32,
211
1
131
∴[−3m+2﹣(m2﹣5m+6)]•(6﹣0)＝32, 2∴m＝4或m=3(舍), ∴E(4,10),F(4,), 322
1
∵以K、E、F三点为顶点的三角形是直角三角形, 当∠EFK＝90°时, ∴FK∥x轴, ∴K(0,),
32
当∠FEK＝90°时, ∴EK∥x轴, ∴K(0,﹣10),
当∠EKF＝90°时,设K(k,0), ∴EK2+FK2＝EF2,
∴42+(k+10)2+42+(−k)2＝(+10)2,
3
3
2
2
∴k=
−14±4√7, 3−14+4√7−14−4√7∴K(0,)或(0,)；
33
(3)如图,
以点D为直角顶点作Rt△PDM,使DM＝3DP,
在Rt△PDM中,根据勾股定理,PM=√𝐷𝑀2+𝐷𝑃2=√10DP, 要使√10DP+BP最小,则有点B,P,M在同一条线上, 而点B,P在x轴上,
所以,点M在x轴上时,√10DP+BP最小,此时,点M记作M',点P记作P', 设P'(m,0),
∵∠DOP'＝∠M'DP'＝90°,∠OP'D＝∠DP'M', ∴△DOP'∽△M'DP', ∴∴
𝐷𝑃′𝑃′𝑀′𝑚𝐷𝑃′
=
𝑂𝑃′𝐷𝑃′
, , =
𝐷𝑃′√10𝐷𝑃′∴DP'=√10m,
在Rt△DOP'中,OD＝6,根据勾股定理得,(√10m)2﹣m2＝36, ∴m＝2或m＝﹣2(舍), ∴P(2,0),
∴√10DP+BP=√10×2√10+(6﹣2)＝24,
即√10DP+BP的最小值为24,此时点P的坐标为(2,0)．
【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法,直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,构造出PM=√10DP是解本题的关键．
28．(11分)如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,P是半径OB上一动点(不与O,B重合),过点P作射线l⊥̂于D,E两点,过点C的切线交射线l于点F． AB,分别交弦BC,𝐵𝐶(1)求证：FC＝FD． ̂的中点时, (2)当E是𝐵𝐶
①若∠BAC＝60°,判断以O,B,E,C为顶点的四边形是什么特殊四边形,并说明理由； ②若
𝐴𝐶𝐵𝐶
=,且AB＝30,则OP＝ 9 ．
4
3
【分析】(1)连接OC,根据切线的性质得出OC⊥CF以及∠OBC＝∠OCB得∠FCD＝∠FDC,可证得结论； (2)①如图2,连接OC,OE,BE,CE,可证△BOE,△OCE均为等边三角形,可得OB＝BE＝CE＝OC,可得结论； ②设AC＝3k,BC＝4k(k＞0),由勾股定理可求k＝6,可得AC＝18,BC＝24,由面积法可求PE,由勾股定理可求OP的长．
【解答】证明：(1)连接OC,
(1)证明：连接OC ∵CF是⊙O的切线, ∴OC⊥CF, ∴∠OCF＝90°, ∴∠OCB+∠DCF＝90°, ∵OC＝OB, ∴∠OCB＝∠OBC, ∵PD⊥AB, ∴∠BPD＝90°, ∴∠OBC+∠BDP＝90°, ∴∠BDP＝∠DCF, ∵∠BDP＝∠CDF, ∴∠DCF＝∠CDF, ∴FC＝FD；
(2)如图2,连接OC,OE,BE,CE,
①以O,B,E,C为顶点的四边形是菱形．理由如下： ∵AB是直径, ∴∠ACB＝90°, ∵∠BAC＝60°,
∴∠BOC＝120°, ̂的中点, ∵点E是𝐵𝐶
∴∠BOE＝∠COE＝60°, ∵OB＝OE＝OC,
∴△BOE,△OCE均为等边三角形, ∴OB＝BE＝CE＝OC ∴四边形BOCE是菱形； ②∵
𝐴𝐶𝐵𝐶
=,
4
3
∴设AC＝3k,BC＝4k(k＞0),
由勾股定理得AC2+BC2＝AB2,即(3k)2+(4k)2＝302,解得k＝6, ∴AC＝18,BC＝24, ̂的中点, ∵点E是𝐵𝐶
∴OE⊥BC,BH＝CH＝12,
∴S△OBE=2OE×BH=2OB×PE,即15×12＝15PE,解得：PE＝12, 由勾股定理得OP=√𝑂𝐸2−𝑃𝐸2=√152−122=9． 故答案为：9．
【点评】本题是圆的综合题,考查了圆的有关知识,等腰三角形的性质,切线的性质,等边三角形的判定和性质,菱形的判定,勾股定理等知识,添加恰当的辅助线是本题的关键．
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