数列的极限

数列的极限

【知识概要】

1. 数列极限的定义

1）数列的极限，在n无限增大的变化过程中，如果数列{an}中的项an无限趋向于某个常数A，那么称A为数列{an}的极限，记作limanA. 换句话说，即：对于数列{an}，如

n果存在一个常数A，对于任意给定的0，总存在自然数N，当nN时，不等式

anA恒成立，把A叫做数列{an}的极限，记为limanA.

n 注：① 理解数列极限的关键在于弄清什么是无限增大，什么是无限趋近； ② 有限项的数列不存在极限问题，只有无穷项数列才存在极限问题； ③ 这里的常数A是唯一的，每个无穷数列不一定都有极限，例如：{(1)}；

④ 研究一个数列的极限，关注的是数列后面无限项的问题，改变该数列前面任何有限多个项，都不能改变这个数列的极限；

⑤ “无限趋近于A”是指数列{an}后面的项与A的“距离”可以无限小到“零”.

例1 判断下列结论的正误

（1）若liman0，则an越来越小；

nn （2）若limanA，且{an}不是常数数列，则an无限接近A，但总不能达到A；

n （3）在数列{an}中，如果对一切nN总有an1an，则{an}没有极限； （4）若limanA，则limanA0.

nn 解：（1）不正确，例如：an1，an1an n2，（n为偶数) （2）不正确，例如：an2n，liman2.

，（n为奇数）nn1 （3）不正确，例如：an1 （4）正确

1

1，an1an，但liman1.

nn

2. 数列极限的运算性质

1）数列极限的运算性质

如果limanA，limbnB，那么

nn ① lim(anbn)limanlimbnAB；

nnn② lim(anbn)limanlimbnAB；

nnnanAanlimn(B0). ③ limnblimbBnnn特别地，如果C是常数，那么lim(Can)limClimanCA.

nnn2）四种常见的重要极限

（1）limCC （2）lim10 nnn1nn（3）limq0(1q1) （4）lim(1)e

nnn

例2 下列命题中正确的命题是（ ） （A）若limanA，limbnB，则limnnanA

nbBn（B）若liman0，则lim(anbn)0

nn（C）若limanA，则limanA

n22n（D）若limanA，则limanA

nn22 解：选（D）

例3 已知lim[(2n1)an]2，求limnan.

nn 解：limnanlim(2n1)anlimnnn121

n2n12

例4 求下列数列的极限

2n1,1n6(nN*)，则liman0 ， limSn37. （1）若an1nn,n7n62n22n11； （2）lim2n2nn322

（3）limn(n1n1)1；

n2n11 （4）lim； n2n1e1111(1)0;

n234n123n1 （6）lim.

nn22

3.数列极限常见的解题技巧

（5）lim(1)(1)(1)

现阶段求数列的极限，总是把被求极限的数列变形四个常见的基本极限，再依据极限的四则运算法则求解。所谓的解题“技巧”，也就是如何变形的问题。

一般来说，关于n的数列通项anf(n)，如果仅仅只在底数的位置中含序号n，往往变形为F()，利用limn1n10求解；如果仅仅只在指数的位置中含序号n，往往变形成nnF(qn)，利用limqn0求解；如果既在底数的位置中含序号n，又在指数的位置中含序号

n11n，往往变形成F[(1)n]的形式，利用lim(1)ne求解.同时遵循先化简再变形的原

nnn则.

例5 若lim(3an4bn)8,lim(6anbn)1，求lim(3anbn).

nnn 解：根据3anbnx(3an4bn)y(6anbn)求解，可得lim(3anbn)3.

n

3

【课堂练习】

1. 下列命题正确的是（ ） ①数列1nn3没有极限 ②数列12的极限为0 nn2n3的极限为3 ④ 数列③数列3没有极限 n23A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 答案：D

2. 命题：①单调递减的无穷数列不存在极限；②常数列的极限是这个常数本身；③摇摆的无穷数列不存在极限.以上命题正确的是( )

A.0 B.1 C.2 D.3

答案：B. 由极限的定义仅有②是正确的.①的反例是an=

1这是无穷单调递减数列，它的极n(1)n1限是零；③的反例是an=它是摇摆的无穷数列，它的极限是零.因为|an－

2n(1)n110|=|－0|=可以任意小.故选B.

2n2nanbn113. 已知ab1，则lim的值是( B )

nan1bn11 C. b D.不存在 a14. 设Sn是无穷等比数列的前n项和,若limSn=,则首项a1的取值范围是( C )

n41111111A. （0，） B.（0，） C.（0，）∪（,） D.（0，）∪（，1）

4244242A.－

B.

5. 在数列{an}中，若lim(3n1)an1,则limnan=___________.

nnb a6.设数列{an},{bn}均为等差数列，（公差都不为零），limnan=3,则bnb1b2b2n=___________. limnna3nn21anb)0，则a=___________,b=___________. 7. 已知lim(nn14

8. 已知无穷等比数列{an}的首项为a1，公比为q且有lim（

na11qn)，则首项a1的2q2取值范围是___________. 答案： 5.

1213 6. 7. 1 －1 8. ＜a1≤,且a1≠1. 3922n1a9. 若lim0，则a的取值范围是（ ）

n2aA．a1 B．a1或an111 C．1a D．a或a1 3331a1，解这个不等2a分析：由lima0（a为常数），知a1，所以由已知可得

n式就可求得a的取值范围．

1a1a1， 解：由lim0，得n2a2a所以1a2a，两边平方，得：(1a)4a，

22n13a22a10,(3a1)(a1)0，所以a1或a．

3答案 B

10. 在数列{an}中，已知a1a1，且an2SnSn1(n2)，求limn. 2nSn3an2(2n1)2 解：lim2lim2

nSn(2n1)(2n1)n11. 已知f(x)22*a1,af(a)2(nN)， (x＞0),设1n1n2x4求：(1)数列{an}的通项公式；（2）limb4n2anb4n22n32an2

解：（1）由an+1·f(an)=2,得an+1·

2

2

2

22

2=2 2an4∴an+1－an=4 ∴{an}是以1为首项，4为公差的等差数列，

2

∴an=1+4(n－1)=4n－3 ∵an＞0 ∴an=4n3

5

4n24n3(2)原式=lim4n2 4n3nb32当|b|＜2,即－2＜b＜2时，原式=－当|b|=2，即b=±2时，原式=

1 37 52

当|b|＞2，即b＞2或b＜－2时，原式=b13,(2b2)7综上，原式=,(b2)

5b2,(b2或b2)

12. 如图，在边长为I的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与

AB、BC相切，…，圆On1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去，记圆On的

面积为an，(nN). (Ⅰ)证明{an}是等比数列； （Ⅱ）求lim(a1a2a3n*an)的值.

31tan30°=l， 62 解：（Ⅰ）记rn为圆On的半径.r1=

rn1rn1=sin30°=

rn1rn2212l∴rn=rn－1(n≥2) ∴a1=πr1=

123anr1(n)n ∴{an}成等比数列. an1rn19a13l21n（Ⅱ)∵an=()－1·a1(n∈N) ∴lim（a1+a2+…+an)=.

n132919

6

13. 设数列{an}满足a1aa2a32n+…+n=a－1, {an}的前n项和为n23Sn(a0,a1,nN*).

(1)求{an}； (2)求limnSn； 2n(a1)n（3）求证：(n2)(n1)ann(n2)an12n(n1)an2 解：（1） ∵a1+

aa2a3n=a2n－1 23n∴a1+

aa2a3n1=a2(n－1)－1(n≥2) 23n1－1+

∴a2(n－1)

an2n2n2n－2

=a－1 ∴an=n(a－a)(n≥2) n2n2n－2

∵a1=a－1 ∴当n=1时，等式亦成立. ∴an=n(a－a)n∈N*

2n2n－222n－22242n－2

(2)由（1）an=n(a－a)=n(a－1)a ∴Sn=(a－1)(1+2a+3a+…+na) a2Sn=(a2－1)(a2+2n4+…+(n－1)a2n－2+na2n) a2Sn－Sn=－(1+a2+a4+…+a2n－2－na2n)(a2－1)

2

a2n1a2n12n22n(a－1)Sn=－(2－na)(a－1) ∴Sn=－2+na

a1(a1)2

a2n1na22Sna2n10,(a1)a1lim=lim［2n］=． lim2n2n22n(ann1)n(a1)na1n(a1)1,(a1)2n(3)若要证（n+2)(n+1)an+n(n+2)an+1＜2n(n+1)an+2，只要证

anan1a＜2·n2 nn1n2an2anan1(n2)(a21)a2n2n(a21)a2n2(n1)(a21)a2n∵2·=2×

n2nn1n2nn1=(a－1)·a(2a－1－a)=(a－1)·a∴原不等式成立.

2

2n－2

4

2

2

2

2n－2

(2a+1)＞0

2

7

【真题演练】

111n2214. 求lim的值为（ ）

n111n4431 (A). 0 (B). (C). (D). 1

22答案：(B)

15. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6S312,则lim 答案：1

Sn________.

nn28