大一高数试题

一、填空题（每小题１分，共１０分）

________ １

2

１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ ＋ ────── 的定义域为

_________

2

√１－ ｘ _______________。

x

２．函数ｙ＝ｘ＋ｅ 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。

ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h） ３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ ─────────────── h→o h ＝ _____________。

４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是

____________。

ｘ

５．∫─────ｄｘ＝_____________。

4

１－ｘ

１

６．ｌｉｍ Ｘｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ

７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。

_______

22

R √R－ｘ

22

８．累次积分∫ ｄｘ ∫ ｆ（Ｘ ＋ Ｙ ）ｄｙ 化为极坐标下的累次积分为 ____________。

0 0

32

ｄｙ ３ ｄｙ

2

９．微分方程─── ＋ ──（─── ） 的阶数为____________。

32

ｄｘ ｘ ｄｘ

∞ ∞

１０．设级数 ∑ ａn发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，

１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）

（一）每小题１分，共１０分

１

１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ｘ

１ １ １

①１－ ── ②１＋ ── ③ ──── ④ｘ ｘ ｘ １－ ｘ

１

２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１ 是 （ ） ｘ

①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量

３．下列说法正确的是 （ ）

①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续， 则ｆ（ X ）在X＝Xo可导 ②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续 ③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导

４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ\"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ） 内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 （ ）

①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧

５．设Ｆ'(x) ＝ Ｇ'(x)，则 （ ）

① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数 ② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数 ③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０

ｄ ｄ

④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ ＝ ──∫Ｇ（ｘ）ｄｘ ｄｘ ｄｘ

1

６．∫ │ｘ│ｄｘ ＝ （ ） -1

① ０ ② １ ③ ２ ④ ３

７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是 （ ）

①平行于ｘｏｙ面的平面

②平行于ｏｚ轴的平面 ③过ｏｚ轴的平面 ④直线

ｘ

332

８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ ＋ ｙ ＋ ｘ ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝ （ ） ｙ

2

①ｔｆ（ｘ，ｙ） ②ｔｆ（ｘ，ｙ） １

3

③ｔｆ（ｘ，ｙ） ④ ──ｆ（ｘ，ｙ）

2

ｔ

ａn＋１ ∞

９．设ａn≥０，且ｌｉｍ ───── ＝ｐ，则级数 ∑ａn （ ） n→∞ ａ n=1

①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散 ②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散 ③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散 ④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散

2

１０．方程 ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘｙ 是 （ ）

①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程

③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程

（二）每小题２分，共２０分

１１．下列函数中为偶函数的是 （ ）

x3

①ｙ＝ｅ ②ｙ＝ｘ＋１

3

③ｙ＝ｘｃｏｓｘ ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│

１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（ ）

①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ） ②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1） ③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ） ④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）

１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的 （ ）

①充分必要的条件 ②必要非充分的条件 ③必要且充分的条件

④既非必要又非充分的条件

ｄ

2

１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］ ，则ｆ（０）＝１， 则ｆ（ｘ）＝ （ ）

ｄｘ

①ｃｏｓｘ ②２－ｃｏｓｘ ③１＋ｓｉｎｘｓｉｎｘ

１５．过点（１，２）且切线斜率为 ４ｘ3

的曲线方程为ｙ＝ （

①ｘ4 ②ｘ4＋ｃ ③ｘ4＋１ １

１ x

１６．ｌｉｍ ─── ∫ ３ｔｇｔ2

ｄｔ＝ （ ）

x→0 ｘ3

0

１

① ０ ② １ ③ ── ④ ∞ ３

ｘｙ

１７．ｌｉｍ ｘｙｓｉｎ ───── ＝ （ ）

x→0 ｘ2＋ｙ2

y→0

① ０ ② １ ③ ∞ ④ ｓｉｎ１

１８．对微分方程 ｙ\"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是 （ ）

① 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ\"＝ｐ' ｄｐ

② 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ\"＝ ─── ｄｙ ｄｐ ③ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ\"＝ｐ───

④１－ ④ｘ4

－ ） ｄｙ １ ｄｐ ④ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ\"＝── ─── ｐ ｄｙ

∞ ∞

nn

１９．设幂级数 ∑ ａnｘ在ｘo（ｘo≠０）收敛， 则 ∑ ａnｘ 在│ｘ│〈│ｘo│（ ）

n=o n=o

①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与ａn有关

ｓｉｎｘ

２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2

所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝ D ｘ

1 1 ｓｉｎｘ

① ∫ ｄｘ ∫ ───── ｄｙ 0 x ｘ __

1 √y ｓｉｎｘ

② ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ 0 y ｘ __

1 √x ｓｉｎｘ

③ ∫ ｄｘ ∫ ─────ｄｙ 0 x ｘ __

1 √x ｓｉｎｘ

④ ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ 0 x ｘ

三、计算题（每小题５分，共４５分）

___________ ／ ｘ－１

１．设 ｙ＝ ／ ────── 求 ｙ' 。 √ ｘ（ｘ＋３）

ｓｉｎ（９ｘ2

－１６）

２．求 ｌｉｍ ─────────── 。 x→4/3 ３ｘ－４

ｄｘ

） （ ３．计算 ∫ ─────── 。

x2

（１＋ｅ ）

t 1 ｄｙ

４．设 ｘ＝ ∫（ｃｏｓｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，ｙ＝∫（ｓｉｎｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，求 ─── 。

0 t ｄｘ

５．求过点 Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。

___

６．设 ｕ＝ｅx

＋√ｙ ＋ｓｉｎｚ，求 ｄｕ 。

x asinθ

７．计算 ∫ ∫ ｒｓｉｎθｄｒｄθ 。 0 0

ｙ＋１

８．求微分方程 ｄｙ＝（ ──── ）2

ｄｘ 通解 。 ｘ＋１

３

９．将 ｆ（ｘ）＝ ───────── 展成的幂级数 。 （１－ｘ）（２＋ｘ）

四、应用和证明题（共１５分）

１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度 （ 比例常数为ｋ〉０ ）求速度与时间的关系。

___ １

２．（７分）借助于函数的单调性证明：当ｘ〉１时，２√ｘ 〉３－ ── 。 ｘ 附：高数（一）参考答案和评分标准

一、填空题（每小题１分，共１０分）

１．（－１，１）

２．２ｘ－ｙ＋１＝０

３．５Ａ

４．ｙ＝ｘ＋１

１

2

５．──ａｒｃｔｇｘ＋ｃ ２

６．１

７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）

π/2 π

2

８．∫ ｄθ ∫ ｆ（ｒ）ｒｄｒ 0 0

９．三阶

１０．发散

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的 （ ）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）

（一）每小题１分，共１０分

１．③ ２．③ ３．④ ４．④ ５．②

６．② ７．② ８．⑤ ９．④ １０．③

（二）每小题２分，共２０分

１１．④ １２．④ １３．⑤ １４．③ １５．③

１６．② １７．① １８．③ １９．① ２０．②

三、计算题（每小题５分，共４５分）

１

１．解：ｌｎｙ＝──［ｌｎ（ｘ－１）－ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ＋３）］ （２分） ２

１ １ １ １ １

──ｙ'＝──（────－──－────） （２分） ｙ ２ ｘ－１ ｘ ｘ＋３ __________

１ ／ ｘ－１ １ １ １

2

ｙ'＝── ／──────（────－──－────） （１分） ２ √ ｘ（ｘ＋３） ｘ－１ ｘ ｘ＋３

2

１８ｘｃｏｓ（９ｘ－１６）

２．解：原式＝ｌｉｍ ──────────────── （３分） x→4/3 ３

2

１８（４／３）ｃｏｓ［９（４／３）－１６］

＝ ────────────────────── ＝８ （２分） ３

xx

１＋ｅ－ｅ

３．解：原式＝∫───────ｄｘ （２分）

x2

（１＋ｅ）

x

ｄｘ ｄ（１＋ｅ）

＝∫─────－∫─────── （１分）

xx2

１＋ｅ （１＋ｅ）

xx

１＋ｅ－ｅ １

＝∫───────ｄｘ ＋ ───── （１分）

xx

１＋ｅ １＋ｅ １

x

＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅ）＋ ───── ＋ ｃ （１分）

x

１＋ｅ

４．解：因为ｄｘ＝（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ，ｄｙ＝－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ （３分）

ｄｙ －（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ

所以 ─── ＝ ──────────────── ＝ －ｔｇｔ （２分）

ｄｘ （ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ

５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝ （３分） ｘ－１ ｙ－１ ｚ－２

所求直线方程为 ────＝────＝──── （２分） １ ０ －３ __ __

x +√y + sinz

６．解：ｄｕ＝ｅｄ（ｘ＋√ｙ ＋ｓｉｎｘ） （３分） __ 一、

D C A C A B C C B A D A B A D A D B D A

二课程代码：00020

一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1x1.设函数f()，则f(2x)（ ）

xx1A.C.

1 12x B.

2 1x2(x1)2(x1) D. 2xx2.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（ ） A.x+3 B.x-3 C.2x D.-2x xx)（ ）

xx1A.e B.e-1 3.lim(4.函数y

C. D.1

x3的连续区间是（ ）

(x2)(x1)A.(,2)(1,) B.(,1)(1,)

C.(,2)(2,1)(1,) D.3,

(x1)ln(x1)2　，x15.设函数f(x) 在x=-1连续,则a=（ ）

a　　　　　　　，x1A.1 B.-1

6.设y=lnsinx,则dy=（ ） A.-cotx dx C.-tanx dx 7.设y=ax(a>0,a1),则y(n)

x0

C.2 D.0

B.cotx dx D.tanx dx

（ ）

A.0 B.1 C.lna D.(lna)n

8.设一产品的总成本是产量x的函数C(x),则生产x0个单位时的总成本变化率(即边际成本)是（ ） C(x)C(x)A. B.xx0

xxdC(x)dC(x) D.xx0

dxdx9.函数y=e-x-x在区间(-1,1)内（ ） A.单调减小 B.单调增加 C.不增不减 D.有增有减 10.如可微函数f(x)在x0处取到极大值f(x0),则（ ） C.

A.f(x0)0 C.f(x0)0

B.f(x0)0 D.f(x0)不一定存在

11.[f(x)xf(x)]dx（ ） A.f(x)+C C.xf(x)+C

B.xf(x)dx D.[xf(x)]dx

12.设f(x)的一个原函数是x2,则xf(x)dx（ ）

x3C A.3

B.x5+C x5C D.152C.x3C 313.

88e3xdx（ ）

B.2e0A.0 C.

83xdx

22edx

xD.322x2exdx

14.下列广义积分中,发散的是（ ）

1dxA. B.0x1dxC.3 D.0x1dx01

xdx01x

15.满足下述何条件,级数

Un1n一定收敛（ ）

A.

U有界

ii1n

B.limUn0

nUC.limn1r1 nUn D.

|Un1n|收敛

16.幂级数A.0,2 C.0,2

(x1)n1n的收敛区间是（ ）

B.(0,2) D.(-1,1)

17.设zex2yx2y,则

z（ ） yA.e

x2y B.

x

2

y2

e



x2y

C.2xey D.1eyx2y

18.函数z=(x+1)2+(y-2)2的驻点是（ ） A.(1,2) B.(-1,2) C.(-1,-2) D.(1,-2) 19.

20y20xcosxcosydxdy（ ）

B.1

C.-1

D.2

A.0

dy1sinx满足初始条件y(0)=2的特解是（ ） dxA.y=x+cosx+1 B.y=x+cosx+2 C.y=x-cosx+2 D.y=x-cosx+3

二、简单计算题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 20.微分方程

(n3n)n1. 21.求极限 limn22.设y1xx,求y(1).

cos2xdx.

1sinxcosx24.求函数z=ln(1+x2+y2)当x=1,y=2时的全微分. 23.求不定积分

25.用级数的敛散定义判定级数

n11nn1的敛散性.

三、计算题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

yzzy. 26.设zxyxF(u),u,F(u)为可导函数,求xxxy27.计算定积分 I28.计算二重积分I21xlnxdx.

cos(x2y2)dxdy,其中D是由x轴和yDx2所围成的闭区域. 2dyyex0满足初始条件y(1)=e的特解. dx四、应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 29.求微分方程x30.已知某厂生产x件某产品的成本为C=25000+200x+

12x.　问 40(1)要使平均成本最小,应生产多少件产品?

(2)如产品以每件500元出售,要使利润最大,应生产多少件产品? 31.求由曲线yx,直线x+y=6和 10.设函数y=ln x,则它的弹性函数

Ey=_____________. Ex11.函数f(x)=x2e-x的单调增加区间为______________. 12.不定积分

dx2x3=__________________.

13.设f(x)连续且

x0f(t)dtx2cos2x，则f(x)=________________.

14.微分方程xdy-ydx=2dy的通解为____________________.

2z15.设z=xe,则=______________________.

xyxy

三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

kex16.设函数f(x)=3x1x0在x=0处连续，试求常数k. x0ex17.求函数f(x)=+x arctanx的导数.

sin2xx218.求极限limx.

x0xesinx19.计算定积分20.求不定积分

220sin2xdx.

1x1x2dx.

四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21.求函数f(x)=x3-6x2+9x-4在闭区间[0，2]上的最大值和最小值. 22.已知f(3x+2)=2xe,计算23.计算二重积分

-3x

52f(x)dx.

2xydxdy，其中D是由直线y=x,x=1以及x轴所围的区域. D

五、应用题（本大题9分）

24.已知矩形相邻两边的长度分别为x,y，其周长为4.将矩形绕其一边旋转一周得一旋转体（如图）.问当x,y各为多少时可使旋转体的体积最大？

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 三

-3/2 -e^-1

x- arctgx + C 3/2

y + 2 = 0 t^2f(x,y)

-1/(2sqrt(x)sqrt(y)) 2pi/3 1/2

(c_1x + c_2 ) e^(4x)

四

一、

D C A C A B C C B A D A B A D A D B D A 二

21 -3/2 22 -e^-1

23 x- arctgx + C 24 3/2

25 y + 2 = 0 26 t^2f(x,y)

27 -1/(2sqrt(x)sqrt(y)) 28 2pi/3

29 1/2

30 (c_1x + c_2 ) e^(4x) 三

四