博湖县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

博湖县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 函数y(a24a4)ax是指数函数，则的值是（ ） A．4 B．1或3 C．3 D．1

2． 已知两条直线ax+y﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，则实数a等于（ ） A．1或﹣3 B．﹣1或3 C．1或3

D．﹣1或﹣3

处取最小值﹣2，则ω的一个可能取值是（ ）

D．9

3． 函数f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）在x=

A．2

4． 已知双曲线A．

B．

﹣ C．

B．3

C．7

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（ ） D．

1，则|MN|（ ） 2A．10 B．180 C．63 D．65

5． 过点M(2,a)，N(a,4)的直线的斜率为6． 已知双曲线

的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支

有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A．（1，2] B．（1，2） C．[2，+∞） D．（2，+∞）

7． 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2=心率的倒数之和的最大值为（ ） A．2

B．

C．

D．4

，则椭圆和双曲线的离

8． 复数i﹣1（i是虚数单位）的虚部是（ ） A．1

B．﹣1

C．i

D．﹣i

9． 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为 1的半圆，则其侧视图的面积是（ ）

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A．

B． C．1 D．

2x1，则曲线yfx在点1，f1处切线的斜率为（ ） x1A．1 B．1 C．2 D．2 10．已知函数fx111．函数f(x)在定义域R上的导函数是f'(x)，若f(x)f(2x)，且当x(,1)时，(x1)f'(x)0，设af(0)，bf(2)，cf(log28)，则（ ）

A．abc B．abc C．cab D．acb

12．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2015）=（ ） A．2

B．﹣2

C．8

2 D．﹣8

二、填空题

13．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数fxaxbxc（a,b,c为常数）的导函数为fx，

b2对任意xR，不等式fxfx恒成立，则2的最大值为__________． 2ac14．已知数列{an}满足an+1=e+an（n∈N*，e=2.71828）且a3=4e，则a2015= ．

2215．已知a,b为常数，若fxx4x+3，faxbx10x24,则5ab_________.

16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示． x 0 4 5 ﹣1 f（x） 1 2

2

1 下列关于f（x）的命题： ①函数f（x）的极大值点为0，4； ②函数f（x）在[0，2]上是减函数；

③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4； ④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；

⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．

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其中正确命题的序号是 ．

217．要使关于x的不等式0xax64恰好只有一个解，则a_________. 【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.

18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若6a=4b=3c，则cosB= ．

三、解答题

19．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且sinB=（Ⅰ）求sin∠BAD的值； （Ⅱ）求AC边的长．

，cos∠ADC=﹣．

3xa20．【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知函数fxx1.

3bx（1）当ab1时，求满足fx3的x的取值；

（2）若函数fx是定义在R上的奇函数

22①存在tR，不等式ft2tf2tk有解，求k的取值范围；

②若函数gx满足fxgx2求实数m的最大值.

1x33x，若对任意xR，不等式g2xmgx11恒成立，3第 3 页，共 16 页

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21．如图，已知边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2点

（Ⅰ）试在棱AD上找一点N，使得CN∥平面AMP，并证明你的结论． （Ⅱ）证明：AM⊥PM．

，M为BC的中

22．已知条件p:的取值范围．

41，条件q:x2xa2a，且p是的一个必要不充分条件，求实数 x1第 4 页，共 16 页

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23．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点． （I）求证：EF⊥平面PAD；

（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小．

24．求下列函数的定义域，并用区间表示其结果． （1）y=（2）y=

+

．

；

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博湖县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】C 【解析】

考点：指数函数的概念． 2． 【答案】A

【解析】解：两条直线ax+y﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行， 所以=

≠

，

解得 a=﹣3，或a=1． 故选：A．

3． 【答案】C

处取最小值﹣2， cosωx=2sin（ωx+

【解析】解：∵函数f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）在x=∴sin

+acos

=﹣

+

=﹣2，∴a=

，∴f（x）=sinωx+

+

=2kπ+

）．

再根据f（）=2sin（）=﹣2，可得

，k∈Z，∴ω=12k+7，∴k=0时，ω=7，

则ω的可能值为7， 故选：C．

【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．

4． 【答案】D 【解析】解：双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y=±x，即x±y=0．

22

根据圆（x﹣2）+y=1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，

可得，1=，∴ =，

，可得e=．

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故此双曲线的离心率为：故选D．

．

【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值，是解题的关键．

5． 【答案】D 【解析】

考点：1.斜率；2.两点间距离. 6． 【答案】C

【解析】解：已知双曲线

的右焦点为F，

若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， ∴≥

，离心率e2=

，

∴e≥2，故选C

【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．

7． 【答案】 C

【解析】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|MF1|=r1，|MF2|=r2，|F1F2|=2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2 ∵∠F1MF2=

，

，①

222

∴由余弦定理可得4c=（r1）+（r2）﹣2r1r2cos

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22

在椭圆中，①化简为即4c=4a﹣3r1r2，

即=﹣1，②

22

在双曲线中，①化简为即4c=4a1+r1r2，

即=1﹣，③ +

=4，

+

）≥（1×

+

×

2），

联立②③得，

由柯西不等式得（1+）（即（即

++≤

2

）≤×4=

，

， ，e2=

时取等号．即取得最大值且为

．

当且仅当e1=故选C．

【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．

8． 【答案】A

【解析】解：由复数虚部的定义知，i﹣1的虚部是1， 故选A．

【点评】该题考查复数的基本概念，属基础题．

9． 【答案】B

【解析】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，

又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆， ∴半圆锥的底面半径为1，高为

，

的直角三角形，

即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和故侧视图的面积是故选：B．

【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．

10．【答案】A

，

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【解析】

2x1112，则f'x2，所以f'11． xxx考点：1、复合函数；2、导数的几何意义. 试题分析：由已知得fx11．【答案】C 【解析】

考点：函数的对称性，导数与单调性．

可或缺的重要一环，因此掌握函数的图象的性质是我们在平常学习中要重点注意的，如函数f(x)满足：

【名师点睛】函数的图象是研究函数性质的一个重要工具，通过函数的图象研究问题是数形结合思想应用的不

f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)，则其图象关于直线xa对称，如满足f(2mx)2nf(x)，

则其图象关于点(m,n)对称． 12．【答案】B

【解析】解：∵f（x+4）=f（x）， ∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1）， 又∵f（x）在R上是奇函数， ∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2． 故选B．

【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．

二、填空题

13．【答案】222

【解析】试题分析：根据题意易得：f'x2axb，由fxf'x得：axb2axcb0在R

2c4122a0b4ac4aa上恒成立，等价于：{ ，可解得：b24ac4a24aca，则：22222，

0acacc1a第 9 页，共 16 页

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c4t令t1,(t0)，y2at2t2b244的最大值为222． 222，故222act2222t考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用 14．【答案】 2016 ．

【解析】解：由an+1=e+an，得an+1﹣an=e， ∴数列{an}是以e为公差的等差数列， 则a1=a3﹣2e=4e﹣2e=2e，

∴a2015=a1+2014e=2e+2014e=2016e． 故答案为：2016e．

【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列的通项公式，是基础题．

15．【答案】 【解析】

试题分析：由fxx4x+3，faxbx10x24，得(axb)24(axb)3x210x24，

22a212222即ax2abxb4ax4b3x10x24，比较系数得2ab4a10，解得a1,b7或

b24b324a1,b3，则5ab.

考点：函数的性质及其应用.

【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用，其中解答中涉及到函数解析式的化简与运算，求解解析式中的代入法的应用和多项式相等问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定难度，属于中档试题，本题的解答中化简f(axb)的解析式是解答的关键. 16．【答案】 ①②⑤ ．

【解析】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；

因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；

由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，

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根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，

综上正确的命题序号为①②⑤． 故答案为：①②⑤．

【点评】本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．

17．【答案】22.

【解析】分析题意得，问题等价于xax64只有一解，即xax20只有一解， ∴a80a22，故填：22. 18．【答案】 ∴b=

，c=2a，

．

=

=

．

222【解析】解：在△ABC中，∵6a=4b=3c

由余弦定理可得cosB=故答案为：

．

【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a表示b，c是解决问题的关键，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】

，所以cosB=…

…

【解析】解：（Ⅰ）由题意，因为sinB=又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=

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所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，得故BC=15，

×﹣（﹣）×，解得BD=

=…

…

2

从而在△ADC中，由余弦定理，得AC=9+225﹣2×3×15×（﹣）=

，所以AC=

…

【点评】本题考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．

20．【答案】（1）x1（2）①1,，②6

【解析】

23x1x3，化简得33x23x10 解析：（1）由题意，x1311xx解得31舍或3，

3所以x1

试题

3xa3xax10 （2）因为fx是奇函数，所以fxfx0，所以x13b3bxx化简并变形得：3ab332ab60

要使上式对任意的x成立，则3ab0且2ab60 解得：{a1a1a1或{ ，因为fx的定义域是R，所以{ 舍去 b3b3b33x1所以a1,b3，所以fxx1

333x1121x ①fxx133331第 12 页，共 16 页

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对任意x1,x2R,x1x2有：

12223x23x1fx1fx2x1x23313133x113x21xx因为x1x2，所以32310，所以fx1fx2，

 因此fx在R上递减．

因为ft22tf2t2k，所以t22t2t2k， 即t22tk0在

时有解

所以44t0，解得：t1， 所以的取值范围为1,

1x3x3xx②因为fxgx2333，所以gx3fx2

即gx33

xx2x所以g2x332x33不等式g2xmgx11恒成立， 即33xxx22

x22m3x3x11，

9恒成立

3x3x9令t3x3x,t2，则mt在t2时恒成立

t99令htt，h't12，

ttxx即：m33t2,3时，h't0，所以ht在2,3上单调递减

所以htminh36，所以m6 所以，实数m的最大值为6

考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题

【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。 21．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：在棱AD上找中点N，连接CN，则CN∥平面AMP； 证明：因为M为BC的中点，四边形ABCD是矩形，

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t3,时，h't0，所以ht在3,上单调递增

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所以CM平行且相等于DN， 所以四边形MCNA为矩形，

所以CN∥AM，又CN⊄平面AMP，AM⊂平面AMP， 所以CN∥平面AMP．

（Ⅱ）证明：过P作PE⊥CD，连接AE，ME，

因为边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2所以PE⊥平面ABCD，CM=所以PE⊥AM， 在△AME中，AE=

222

所以AE=AM+ME，

，M为BC的中点

， =3，ME=

=

，AM=

=

，

所以AM⊥ME， 所以AM⊥平面PME 所以AM⊥PM．

【点评】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理的运用；正确利用已知条件得到线线关系是关键，体现了转化的思想．

22．【答案】1,2． 【解析】

试题分析：先化简条件p得3x1，分三种情况化简条件，由p是的一个必要不充分条件，可分三种情况列不等组，分别求解后求并集即可求得符合题意的实数的取值范围.

14xa10a1得p:3x1，由x2xa2a得xa，当时，q:；2x111当a时，q:a1,a；当a时，q:a,a1

22由题意得，p是的一个必要不充分条件，

试题解析：由

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111时，满足条件；当a时，a1,a3,1得a1,， 22211当a时，a,a13,1得a,2 综上，a1,2．

22当a考点：1、充分条件与必要条件；2、子集的性质及不等式的解法.

【方法点睛】本题主要考查子集的性质及不等式的解法、充分条件与必要条件，属于中档题,判断p是的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件，二是由条件能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．本题的解答是根据集合思想解不等式求解的. 23．【答案】

【解析】解：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD， ∴AB⊥平面PAD， ∵E、F为PA、PB的中点， ∴EF∥AB，

∴EF⊥平面PAD； （II）解：过P作AD的垂线，垂足为O， ∵平面PAD⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD． 取AO中点M，连OG，EO，EM， ∵EF∥AB∥OG，

∴OG即为面EFG与面ABCD的交线

又EM∥OP，则EM⊥平面ABCD．且OG⊥AO， 故OG⊥EO

∴∠EOM 即为所求 在RT△EOM中，EM=∴tan∠EOM=

OM=1

，故∠EOM=60°

∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60°．

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【点评】本题主要考察直线与平面垂直的判定以及二面角的求法．解决第二问的难点在于找到两半平面的交线，进而求出二面角的平面角．

24．【答案】 【解析】解：（1）∵y=∴

，

+

，

解得x≥﹣2且x≠﹣2且x≠3，

∴函数y的定义域是（﹣2，3）∪（3，+∞）； （2）∵y=∴

， ，

解得x≤4且x≠1且x≠3，

∴函数y的定义域是（﹣∞，1）∪（1，3）∪（3，4]．

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