六年级奥数-第九讲.抽屉原理[1].学生版.doc

一、知识点介绍

抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．

二、抽屉原理的定义

（1）举例

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义

一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。

三、抽屉原理的解题方案

（一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数

余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x1xn1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里

（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题

将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．

知识精讲

模块一、利用抽屉原理公式解题 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论

【例 1】 6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？

1 【例 2】 向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？

【例 3】 三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩．

【例 4】 “六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游

园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．

【例 5】 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？

【例 6】 证明：在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识．

【例 7】 上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长方

形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例．

（2）求抽屉

【例 8】 把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？

【例 9】 把125本书分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有

多少人？

【例 10】 某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意

两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?

（3）求苹果

【例 11】 班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到

2 不少于两本书？

【例 12】 海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在140厘米到150厘米之间（包括140厘米到

，那么，至少从多少个学生中保证能找到4个人的身高相同？ 150厘米）

（二）、构造抽屉利用公式进行解题

【例 13】 在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以

从口袋中随意取出2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样．你能说明这是为什么吗？

【例 14】 红、蓝两种颜色将一个25方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色．是

否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？

第第第第第四三五一二列列列列列第一行第二行

【例 15】 将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色．（每一列的三小格涂的颜色不相同），不论如何涂色，

其中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？

模块三、最不利原则

【例 16】 （2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛决赛）

“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题．每个年级12道题，并且至少有8道题与其他

各年级都不同．如果每道题出现在不同年级，最多只能出现3次．本届活动至少要准备 道决赛试题．

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【例 17】 有一个布袋中有40个相同的小球，其中编上号码1、2、3、4的各有10个，问：一次至少要取

出多少个小球，才能保证其中至少有3个小球的号码相同？

【例 18】 黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的

两双筷子。问至少要取多少根才能保证达到要求？

课后作业：

1、 把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼．

2、 假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你

能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？

3、 100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个.

4、 三年级二班有43名同学，班上的“图书角”至少要准备多少本课外书，才能保证有的同学可以同时借

两本书？

5、 11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借两本不

同类的书，最少借一本．试说明：必有两个学生所借的书的类型相同

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