数列专题

数 列 专 题

1． 纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0、A1、A2、B1、B2、

等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，

、A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表

其中系列的幅面规格为：①A0、A1、A2、

示）的比例关系都为x:y1:2；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格．现有A0、A1、A2、、A8纸各一张．若

A4纸的宽度为2dm，则A0纸的面积为________dm；这9张纸的面积之和等于________dm．

222．（2020·北京东城区高三一模）函数y=f（x），x∈[1，+∞），数列{an}满足

anfn，nN*，

①函数f（x）是增函数；

②数列{an}是递增数列．

写出一个满足①的函数f（x）的解析式______．

写出一个满足②但不满足①的函数f（x）的解析式______．

2． 对于函数f(x)和实数Mm,nN，若存在，使f(m)f(m1)f(m2)f(mn)M成立，则称

(m,n)为函数f(x)关于M的一个“生长点”．若(1,2)为函数

f(x)cos(x)23关于M的一个“生长点”，则M___；若f(x)2x1，M105，则函数f(x)关于M的“生长点”共有___个．

3． 小明用数列{an}记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记ak＝1，当第k天没下过雨时，记ak＝﹣1（1≤k≤31）；他用数列{bn}记录该地区该月每天气

1

象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记bk＝1，当预报第k天没有雨时，记bk＝﹣1（1≤k≤31）；记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+…+a31b31＝25，那么该月气象台预报准确的的总天数为_____；若a1b1+a2b2+…+akbk＝m，则气象台预报准确的天数为_____（用m，k表示）．

4． 在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_______________，第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．

112123126．数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：2，3，3，4，4，4，5，5，

345，512n13a24a2a3a4a5a6a7a8a9a108；，n，n，…，n，…有如下运算和结论：①②数列a1，，，，…

n2nTna7a8a9a10a1a2a3a4a5a6n4；④若存在正整是等比数列；③数列，，，，…的前项和为

数k，使Sk10，Sk110，则

ak57．其中正确的结论是_____．（将你认为正确的结论序号都填上）

7．数列

{an}满足：

an1an12an(n1,nN*)，给出下述命题：

①若数列

{an}满足：

a2a1，则

anan1(n1,nN*)成立；

anc(nN*)c②存在常数，使得成立；

*pqmn(其中p,q,m,nN)，则apaqaman； ③若

④存在常数d，使得

ana1(n1)d(nN*)都成立．

2

上述命题正确的是____．（写出所有正确结论的序号）

8．设无穷等比数列an的各项为整数，公比为q，且q1，a1a32a2，写出数列an的一个通项公式________．

n1(nN*)2，其前n项和为Sn，则S2020__________．

9．已知数列{an}的通项公式为

an(1)n(2n1)sin10．如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长

2为2，则其最小正方形的边长为________．

1anan1是以2为公比的等比数列，则使得不等式

11．正项数列111...2019a1a2a2n1an满足a11,a22，又成立的最小整数n为__________．

a12a23a3nanb123n，若数列n是公差为

12．已知数列an的前n项和为Snpn2n,nN，

an2*bn2的等差数列，则数列的通项公式为__________．

13．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的

3

反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得

ACDB1AB4，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，

得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：

记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为Sn，现给出有关数列①数列②数列SnSn的四个命题：

是等比数列；

Sn是递增数列；

③存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn2018 ；

④存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn2018．

其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）． 14．已知数列an的通项公式为anlnn，若存在pR，使得anpn对任意nN*都成立，则p的取

值范围为__________

4

15．已知数列{an}满足an＋an＋1＝15－2n，其前n项和为Sn，若Sn≤S8恒成立，则a1的取值范围为__________．

16．如果函数

fx满足：对于任意给定的等比数列

an,fan仍是等比数列，则称fx为“保等

比数列函数”．在下列函数中所有“保等比数列函数”的序号为______

fx2xfxx1fxx2fx2xfxlnx① ② ③ ④ ⑤

答 案

1．（2020·北京四中高三月考）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0、A1、A2、B1、B2、

等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面

、A8所有规格的纸张的幅宽

规格只采用A系列和B系列，其中系列的幅面规格为：①A0、A1、A2、

（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为x:y1:2；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格．现有A0、

A1、A2、

、A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm，则A0纸的面积为________dm；这9张纸的面积之

22dm和等于________．

【解析】可设

Aii0,1,2,3,2ai1,8Si1ai1的纸张的长度为，面积为，Ai的宽度为2，

Ai1的长度为

ai222ai1a2，所以，数列n是以2为公比的等比数列，

5

a12a522由题意知A4纸的宽度为，a522，

a5222228214，

222S1a18222所以，A0纸的面积为

2642dm2，

又

Sn22an2，

Sn1Sn2222an1a212n12222anan2，

1S所以，数列n是以642为首项，以2为公比的等比数列，

16421925112dm21412因此，这9张纸的面积之和等于．

5112故答案为：642；4．

【押题点】数列在实际中的应用，等比数列通项公式与求和公式的应用

anfn，nN*2．（2020·北京东城区高三一模）函数y=f（x），x∈[1，+∞），数列{an}满足，

①函数f（x）是增函数；

②数列{an}是递增数列．

6

写出一个满足①的函数f（x）的解析式______．

写出一个满足②但不满足①的函数f（x）的解析式______．

【解析】由题意可知：在x∈[1，+∞）这个区间上是增函数的函数有许多，可写为：f（x）=x2．

4fxx3． 第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为：

244则这个函数在[1，3]上单调递减，在[3，+∞）上单调递增，

4fxx3在[1，+∞）上不是增函数，不满足①． ∴

24ann3在n∈N*上越来越大，属递增数列． 而对应的数列为：

24fxx3． 故答案为f（x）=x2；

2【押题点】数列的单调性、函数的单调性的应用

3．（2020·北京十一学校高三月考）对于函数f(x)和实数Mm,nN，若存在，使

f(m)f(m1)f(m2)f(mn)M成立，则称(m,n)为函数f(x)关于M的一个“生长点”．若(1,2)为函

数

f(x)cos(x)23关于M的一个“生长点”，则M___；若f(x)2x1，M105，则函数f(x)关于M的

“生长点”共有___个．

7

1【答案】2； 3

【解析】由题可知：

(1,2)为函数

f(x)cos(x)23关于M的一个“生长点”

所以Mf(1)f2f3

3f1cossin3223

1f2coscos332 33f3cossin3223

12

所以

Mf(1)f2f3由f(x)2x1，M105

则f(m)f(m1)f(m2)f(mn)M 所以2mm1m2...mnn1105 则n12mn1105

8

又1051105335521715

m,nN由

n13m162mn135n2 所以n15m82mn121n4 或n17m42mn115n6 或所以函数f(x)关于M的“生长点”共有3个

1故答案为：2；3．

【押题点】新定义的理解，等差数列求和公式

4．（2020·北京大兴区模拟）小明用数列{an}记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记ak＝1，当第k天没下过雨时，记ak＝﹣1（1≤k≤31）；他用数列{bn}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记bk＝1，当预报第k天没有雨时，记bk＝﹣1（1≤k≤31）；记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+…+a31b31＝25，那么该月气象台预报准确的的总天数为_____；若a1b1+a2b2+…+akbk＝m，则气象台预报准确的天数为_____（用

m，k表示）．

9

mk【答案】28 2

【解析】依题意，若akbk1（1k31），则表示第k天预报正确，

若akbk1（1k31），则表示第k天预报错误，

若a1b1a2b2akbkm，

假设其中有x天预报正确，即等式的左边有x个1，mk2，

kx个1，

则

xkxm，解得

xmk即气象台预报准确的天数为2；

于是若a1b1a2b2a31b3125，

3125282则气象台预报准确的天数为．

mk故答案为：28，2．

【押题点】数列在实际中的应用

5．（2020·北京密云区下学期一模）在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人

10

员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_______________，第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．

【答案】16 21

【解析】某医院一次性收治患者127人．

第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．

且从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，

从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，

则第19天治愈出院患者的人数为

1(12n)Sn12712，解得n7，

a512416，

第715121天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．

故答案为：16，21．

【押题点】等比数列在实际问题中的应用，等比数列的性质

16．（2020·北京101中学月考）数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：2，

11

3121212343，3，4，4，4，5，5，5，5a2a312n13a248；②数列a1，，n，n，…，n，…有如下运算和结论：①

，a4a5a6，a7a8a9a10，…是等比数列；③数列a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，…的

n2n5Tnak4；④若存在正整数k，使Sk10，Sk110，则7．其中正确的结论是_____．前n项和为（将

你认为正确的结论序号都填上）

【答案】①③④

3112121234【解析】①前24项构成的数列是：2，3，3，4，4，4，5，5，5，5，

414513561232236，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，

所以

a2438，故①正确．

②数列a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，…

n216n1是2，1，4，2，…，2，2，

n1n21222（常数） 由等差数列定义

所以数列a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，…是等差数列，

故②不正确．

12

③因为数列a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，…是等差数列，

1n(n1)1n2nTnnn2224， 所以由等差数列前项和公式可知：

故③正确．

④由③知：a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，

a11a12a13a14a15，a16a17a18a19a20a21，

51612345615622477777777． 是，1，，2，，

因为T57.510，T610.50

57．

所以存在k20，使S2010，S2110，且

a20=故④正确．

故答案为：①③④．

【押题点】等差数列的性质和数列的证明

7．（2020·北京八十中月模拟）数列

{an}满足：

an1an12an(n1,nN*)，给出下述命题：

13

①若数列

{an}满足：

a2a1，则

anan1(n1,nN*)成立；

anc(nN*)c②存在常数，使得成立；

*pqmn(其中p,q,m,nN)，则apaqaman； ③若

ana1(n1)d(nN*)d④存在常数，使得都成立．

上述命题正确的是____．（写出所有正确结论的序号）

【答案】①④．

【解析】对①；因为a2a1，所以a2a10，由已知an1ananan1，

所以an1ananan1a2a10，即anan1，正确

anan12，所以an1an1应有最大值，错，

对②； 假设存在在常数c，使得anc，则有

canpqmnapqamnaaaaqmn2，所以假设p2，即原数列应为对③，因为pqmn，2，则应有2递增数列，错，对④，不妨设a11，an1ann，则应有

dann(n1)12，若存在常数d，使得ana1(n1)d，

ana1nn12，显然成立，正确，所以正确命题的序号为①④．

【押题点】数列的综合应用

14

a1a32a28．（2020·北京朝阳区六校联考）设无穷等比数列an的各项为整数，公比为q，且q1，，

写出数列an的一个通项公式________．

【答案】

an2n,nN*（答案不唯一）

an【解析】无穷等比数列的各项为整数，则公比q为整数，且q1，a1a32a2，

则

a1a1q22a1q，变形可得

a11q02，

所以a10，

an2nnN*an时，数列的一个通项公式为，

当

a12,q2故答案为：

an2nnN*．（答案不唯一）

【押题点】数列的应用，等比数列的通项公式

n1(nN*)2，其前n项和

9．（2020·北京第一次大联考）已知数列{an}的通项公式为为Sn，则S2020__________．

an(1)n(2n1)sin【答案】0

n1a124k31148k； 2，4k3【解析】当n4k3，kN时，

*sin

15

*kNn4k2当，时，

sinn02，a4k21；

当n4k1，kN时，

*sinn1a124k11118k2； 2，4k1当n4k，kN时，

*sinn02，a4k1．

a4k3a4k2a4k1a4k48k18k210，

S20202020004．

【押题点】数列前n项和的周期性的应用

10．（2020·北京101中学模拟）如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方

2形，且其最大的正方形的边长为2，则其最小正方形的边长为________．

1【答案】32

22 【解析】由题意，正方形的边长构成以2为首项，以2为公比的等比数列，现已知共得到1023个

16

92211 n12232正方形，则有1221023，∴n10，∴最小正方形的边长为，故答案为32．

【押题点】数学文化，等比数列的通项公式的应用

1anan1是以2为公

11．（2020·北京中央民族大学附中高三一模）正项数列比的等比数列，则使得不等式

111...2019a1a2a2n1an满足a11,a22，又成立的最小整数n为__________．

【答案】6

11aa2nn1aa22n1，两边平方是首项为12，公比为2的等比数列，故an2112n1a2，两式相除得an4，故2n1是以a11为首项，公比为4的等比

【解析】依题意得

anan1122n3anan1，所以

an1an211a2n114数列，故1a2n24n1n1n1222n1，所以a2n122n21a．2n是以a22为首项，公比为4的等比数列，故

232n11122n3a，所以a2n．所以1a21a2n111a1a3111a2n1a2a41a2n12n214121112n12n12n322019213463223，经检验可知，n6符合题意．即n的412212，由，

最小值为6．

【押题点】递推数列的应用，数列通项公式的求法，数列求和

anSnpn22n,nN*n12．（2020·北京四中高三月考）已知数列的前项和为，

17

bna12a23a3nanba123n，若数列n是公差为2的等差数列，则数列n的通项公式为__________．

【答案】

an3n72

【解析】由

Snpn22n,nN*可知，当n1时，a1p2，

当n2时，anSnSn12pnp2，

a1p2符合上式，

所以对任意的nN均有an2pnp2，则an1an2p，

因而数列an是公差2p的等差数列a23p2，b1a1p2，

b2a12a27p67p61b2b1(p2)22p3,a1123，则32， ，得

17a(n1)33nnan22． 所以数列的通项公式为

【押题点】等差数列的前n项公式及等差数列的通项公式的应用

13．（2020·北京师大附中高三月考）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的

18

长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得

ACDB1AB4，以CD为一边在线段AB的上方做一个正

六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：

记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为Sn，现给出有关数列①数列②数列SnSn的四个命题：

是等比数列；

Sn是递增数列；

③存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn2018 ；

④存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn2018．

其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）．

【答案】②④

【解析】由题意，得图1中线段为a，即

S1a；

19

aaS2S14S12a2图2中正六边形边长为2，则；

aaS3S24S2a4图3中的最小正六边形边长为4，则；

aaaS4S34S282； 图4中的最小正六边形边长为8，则

由此类推，所以SnSnSn1a2n1，

为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确；

a2a2n3

因为

SnS1(S2S1)(S3S2)(SnSn1)a2aa2a(1a1)n112a4a(1n1)5a1212，

即存在最大的正数

a20185，使得对任意的正整数n，都有Sn2018，

即④正确；③错误，

综上可知正确的由②④．

【押题点】数学文化，数列的应用，等比数列前n项和公式

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14．（2020·北京海定区模拟）已知数列an的通项公式为anlnn，若存在pR，使得anpn对任意nN*都成立，则p的取值范围为__________

ln3,3 【答案】

【解析】数列lnnpnmax，

an的通项公式为anlnn，若存在pR，使得anpn对任意的nN*都成立，则

1xlnxlnxfx＝fx＝x2x，则x设，

1lnxfx＝2＝0x令，解得xe，

所以函数的单调增区间为0,e，函数的减区间为e,，

所以函数在xe时函数取最大值，

ln3由于nN，所以当n3时函数最大值为3．

ln3ln3,,33p． 所以的取值范围是．故答案为：

【押题点】数列的单调性，导数与函数的单调性、最值

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15．（2020·北京清华大学中学生标准学术能力诊断性测试）已知数列{an}满足an＋an＋1＝15－2n，其前n项和为Sn，若Sn≤S8恒成立，则a1的取值范围为__________．

【答案】(,7]

【解析】设a1x，因为anan1152n，则，a213x，a3x2，a411x，a5x4，a69x，

a7x6，a87x，a9x8；

可知数列的奇数项是递减的，且偶数项也是递减的．

且当n7时anan1152n0

当n8时anan1152n0

要使SnS8恒成立

a87x0ax80a,7则9解得x7即1

故答案为：,7

【押题点】数列的递推关系式及数列的前n项和的性质

16．（2020·北京房山区模拟）如果函数数列，则称

fxfx满足：对于任意给定的等比数列

an,fan仍是等比

为“保等比数列函数”．在下列函数中所有“保等比数列函数”的序号为______

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①

fx2x ②

fxx1 ③

fxx2 ④

fx2x ⑤fxlnx

【答案】①③

【解析】由等比数列性质知

2anan2an1

对于①，

fanfan22an2an22an1f2an12，则①正确；

fafaa1a1aaaa1对于②，nn2nn2nn2nn2

22an11anan2fan1，则②错误；

2对于③，

2222fanfan2anan2an1fan1，则③正确；

对于④，

fanfan22an2an22anan22an1f2an12，则④错误；

对于⑤，

22fanfan2lnanlnan2lnan1fan1，则⑤错误；

综上，正确的命题序号为①③

本题正确结果：①③

【押题点】数列新定义的应用，等比数列的性质

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