广东省深圳市南山区2018-2019学年高一数学上学期期末统考试题
（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知全集A.
1，
，集合
B.
1，2，3，，
C.
，则
D.
3，
【答案】C 【解析】 【分析】
可求出集合B，然后进行交集的运算，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，可得集合故选：C．
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合B，熟记集合的交集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2.“A. 充分不必要 C. 充分必要 【答案】B 【解析】 【分析】
求出不等式的等价条件，结合不等式的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由不等式“则“即“故选：B．
【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，其中解答中结合不等式的关系是解决本题的关键，着重考查了推理与判断能力，属于基础题.
3.若点
在角的终边上，则
的值为
”是“”是“
”，解得
，
”是“
”成立的 条件
B. 必要不充分 D. 既不充分又不必要
，又由
，所以
．
”成立的必要不充分条件
”成立的必要不充分条件，
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A. 【答案】A 【解析】 【分析】
B. C. D.
根据题意，确定角的终边上点的坐标，再利用三角函数定义，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，点由三角函数的定义，可得故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中确定出角的终边上点的坐标，利用三角函数的定义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
4.已知A.
，则x等于
B.
C.
D.
在角的终边上，即
．
，则
，
【答案】A 【解析】 【分析】
把已知等式变形，可得【详解】由题意，可知故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理指数幂与根式的运算，其中解答中熟记有理指数幂和根式的运算性质，合理运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
5.设函数
的部分图象如图，则
，进一步得到，可得
，即
，则x值可求．
，所以
，解得
．
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A. B. C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数的图象，求出A，和的值，得到函数的解析式，即可得到结论． 【详解】由图象知即
由五点对应法，得即故选：A．
【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，其中解答中根据条件求出A，和的值是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 6.已知集合值范围是 A.
B.
C.
D.
，
，若
，则a的取
，，
，即
，
， ，则
，所以
，
【答案】D 【解析】 【分析】 化简集合A，根据【详解】由题意，集合
；
若
，则
且
．
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，得出且，从而求a的取值范围，得到答案．
或
，
，解得，
所以实数的取值范围为
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故选：D．
【点睛】本题主要考查了对数函数的运算性质，以及集合的运算问题，其中解答中正确求解集合A，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7.已知函数A. 2 【答案】A 【解析】 【分析】
由偶函数的定义，求得【详解】由题意，函数可得则可得故选：A．
【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，函数的奇偶性的运用，其中解答中熟练应用对数的运算性质，正确求解集合A，再根据集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8.若将函数A. C. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用函数
【详解】解：将函数
，
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为偶函数，则
B.
C.
D.
的解析式，再由对数的恒等式，可得所求，得到答案．
为偶函数， ，
，
， ，
时，，
的图象向左平移
个单位长度，则平移后的图象的对称轴为
B. D.
的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案． 的图象向左平移
个单位长度，得到
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由得：， ，
即平移后的图象的对称轴方程为故选：B．
【点睛】本题考查函数称性质，属于中档题．
9.函数
在
的图象的变换规律的应用及正弦函数的对
上的图象为
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用函数的性质奇偶性求出结果． 【详解】函数的解析式满足由故选B.
【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用．属中档题.
10.若A. 【答案】A 【解析】 【分析】
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，则函数为奇函数，排除CD选项， 可知：
，排除A选项.
，则B.
的值为
C. 2
D. 3
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利用同角三角函数的基本关系，把要求值的式子化为【
详
解
】
由
题
意
，
因
为
，即可得到答案.
，
所
以
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.
11.若A. 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意，根据实数指数函数的性质，可得得
，即可得到答案.
，
，根据对数的运算性质，可
，
B.
，
，则a，b，c的大小关系是
C.
D.
【详解】由题意，根据实数指数函数的性质，可得根据对数的运算性质，可得
．
故选：C．
；
【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的运算性质的应用，其中解答中合理运用指数函数和对数函数的运算性质，合理得到解答问题的能力，属于基础题.
12.已知函数A. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 设
，则函数等价为
，由
，转化为
，利用数形结合
B. 2
，则函数
C. 3
的零点个数是
D. 4
的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和
或者分段函数进行求解，即可得到答案．
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【详解】由题意，如图所示，设由若若当当
，则，则时，令时，令
，得
，即，则
，
，则函数等价为，
，不满足条件． ，满足条件，
（舍去）； ，即
是函数
的零点，
，解得，解得
所以函数故选：A．
的零点个数只有1个，
【点睛】本题主要考查了函数零点问题的应用，其中解答中利用换元法结合分段函数的表达式以及数形结合是解决本题的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.【答案】 【解析】 【分析】
利用三角函数的诱导公式角的三角函数值求出结果．
【详解】由题意，根据三角函数的诱导公式，可得
，
故答案为0．
【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及特殊角的三角函数值的求解，其中熟练掌握三角函数的诱导公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于
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______．
，，，然后根据特殊
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基础题.
14.已知函数【答案】【解析】 【分析】
分x小于等于0和x大于0两种情况根据分段函数分别得到f（x）的解析式，把得到的f（x）的解析式分别代入不等式得到两个一元二次不等式，分别求出各自的解集，求出两解集的并集即可得到原不等式的解集．
【详解】解：当x≤0时，f（x）=x+2，代入不等式得：x+2≥x2，即（x-2）（x+1）≤0，解得-1≤x≤2，所以原不等式的解集为[-1，0]；当x＞0时，f（x）=-x+2，代入不等式得：-x+2≥x2，即（x+2）（x-1）≤0，解得-2≤x≤1，所以原不等式的解集为[0，1]，综上原不等式的解集为[-1，1]. 故答案为：[-1，1]
【点睛】此题考查了不等式的解法，考查了转化思想和分类讨论的思想，是一道基础题．
15.函数【答案】【解析】 【分析】
首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的定义域求出函数值域，进一步求出函数的最小值． 【详解】函数
，
当即：故答案为：
．
，
时，函数的最小值为
．
，
的最小值为______．
，则不等式
的解集为______．
【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数恒等变换的公式，求得函数的解析式是解答的关键，主要考查学生的运
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算能力和转化能力，属于基础题型.
16.已知
是定义在
如果对
值范围为______． 【答案】【解析】 【分析】 先求出案．
【详解】由题意，可知又又由所以所以故答案为：
.
． ，
是
时，
为增函数，所以时，
上的最大值为，使得
，
， ，
，
时，
，
，然后解不等式
，即可求解，得到答
上的奇函数，当
，
时，，使得
，函数
，则实数m的取
上的奇函数，所以
在
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定与应用，以及函数的最值的应用，其中解答中转化为
是解答的关键，着重考查了转化思想，推理与运算能力，属于基础题.
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.设全集是实数集R，当若
【答案】(1)【解析】 【分析】 把因为
代入集合B，求出集合B的解集，再根据交集和并集的定义进行求解；
，可知
，求出
，再根据子集的性质进行求解；
，
，
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，
和
；
．
时，求
，求实数a的取值范围．
，
;(2)
.
【详解】（1）由题意，可得当
时，
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则若、当当又综上，
时，时，，则
．
，，则，满足
A.
， ．
或
，
【点睛】本题主要考查了交集和并集的定义以及子集的性质，其中解答中熟记集合的运算，以及合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题. 18.已知（1）求（2）求． 【答案】（1）（2）【解析】
试题分析：（1）由cosα＝，得到sinα＝式得到tan2α＝
，而tanα＝
＝4
，再利用二倍角正切公＋sinαsin
=，
，的值；
，且
．
；（2）cosβ＝cos[α-(α-β)]＝cosαcos
而0<β<α<，故β＝. 试题解析：
(1)由cosα＝，0<α<，
得sinα＝所以tanα＝
＝＝4
， ，tan2α＝
＝
.
＝＝×＋
×
＝
，
(2)由0<β<α<，cos(α-β)＝＞0得0<α-β<，所以sin
＋sinαsin
于是cosβ＝cos[α-(α-β)]＝cosαcos＝，
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所以β＝.
19.设1若
对任意
．
恒成立，求实数m的取值范围；
的解集．
2讨论关于x的不等式【答案】（1）【解析】 【分析】 1由题意可得
对
；（2）见解析.
恒成立，即有的最小值，运用基本不等式可得最
小值，即可得到所求范围；
2讨论判别式小于等于0，以及判别式大于0，由二次函数的图象可得不等式的解集． 【详解】1由题意，若即为即有可得2当当可得
，即；
，即或
时，
时，方程
的解集为R；
的两根为
．
，
，
对
对任意
恒成立，
，可得
时，取得最小值2， 恒成立，
的最小值，由
的解集为
【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及一元二次不等式的解法，注意运用转化思想和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．
20.某学生用“五点法”作函数过程中，列出了部分数据如表：
0 的图象时，在列表
x
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1求函数2若方程【答案】（1）【解析】 【分析】
的解析式，并求
在
的最小正周期；
上存在两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． ，最小正周期
；（2）
.
1由五点对应法求出和的值即可得到结论
2求出角的范围，作出对应的三角函数图象，利用数形结合进行求解即可. 【详解】
由表中知函数的最大值为2，最小值为
，则
，
由五点对应法得，得，，
即函数的解析式为当设作出函数当要使方程则
时，
在，得，作图，
的图象如图：
，，
，最小正周期
，
，
，
上存在两个不相等的实数根，
．
，即实数m的取值范围是
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，其中解答中根据五点法求出函数的解析式以及利用换元法作出图象,利用数形结合是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
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21.某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54，58为了预测以后各月的患病人数，甲选择的了模型
，乙选择了模型
，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数，结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66，82，115，
1你认为谁选择的模型较好？需说明理由
2至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人？试用你选择的较好模型解决上述问题． 【答案】（1）应将【解析】 【分析】
根据前3个月的数据求出两个函数模型的解析式，再计算4，5，6月的数据，与真实值比较得出结论；
由（1），列不等式求解，即可得出结论． 【详解】解得所以
，
由题意，把
，
，2，3代入，所以
，；
把解得所以
、应将令
、，2，3代入，
，
，所以，
更接近真实值， 作为模拟函数． ，解得
，
，得：
， ，
；
，
得：
，
，
，
作为模拟函数,理由见解析；（2）
个月.
至少经过11个月患该传染病的人数将会超过2000人．
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，以及指数与对数的运算性质的应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，求解函数的解析式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
22.已知函数
，
，且
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1求2对于
的定义域，并判断函数
，
的奇偶性；
恒成立，求实数m的取值范围． ；奇函数;（2）
时，
；
时，
【答案】（1）定义域为
. 【解析】 【分析】
（1）由对数的真数大于0，解不等式可得定义域；运用奇偶性的定义，即可得到结论； （2）对a讨论，
，
，结合对数函数的单调性，以及参数分离法，二次函数的最
值求法，可得m的范围． 【详解】（1）由题意，函数可得由即有2对于可得当由当由综上可得，
时，
；
时，
，时，
，可得
为奇函数；
恒成立， ，由，可得
，由，可得
时，
可得
时，y取得最小值8，则
可得时，y取得最大值
．
，则
的最小值，
， 的最大值，
，
或
，即定义域为
，由
； ，
，
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定，以及对数的运算性质和二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，以及对数的运算性质和二次函数的图象与性质的合理应用是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.
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