算术-几何平均值不等式
在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不
等关系。设为 n 个正实数，它们的算术平均数是
。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数
，它们的几何平均数是
，总有：
等号成立当且仅当 。
算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
例子 在 n = 4 的情况，设:
， 那么
.
Go the distance
可见
。
历史上的证明
历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。n = 2的情况很早就为人所知，但对于一般的 n，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。
柯西的证明
1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：
命题Pn：对任意的 n 个正实数， 1. 当 n=2 时，P2 显然成立。
2. 假设 Pn 成立，那么 P2n 成立。证明：对于2n 个正实数
，
3. 假设Pn成立，那么Pn − 1成立。证明：对于n - 1 个正实数
，
那
么
由
，设于
，
Pn成立，
。
但是
，
，因此上式正好变成
综合以上三点，就可以得到结论：对任意的自然数
，命题 Pn 都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然
Go the distance
数 k，命题 归纳法的证明
使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：
都成立。因此对任意的
，可以先找 k 使得
，再结合第三条就可以得到命题 Pn 成立了。
由对称性不妨设 xn + 1 是 中最大的，由于 ，设 ，则
，并且有
根据二项式定理，
。
于是完成了从 n 到 n + 1 的证明。 此外还有更简洁的归纳法证明[3]：
在 n 的情况下有不等式 和 成立，于是：
所以
。
基于琴生不等式的证明
，从而有
注意到几何平均数 实际上等于 ，因此算术-几何平均不等式等价于：
。
Go the distance
由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。
此外还有基于排序不等式、伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。
推广
算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。
加权算术-几何平均不等式
不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设 和
为正实数，并且
。
加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。
，那么：
矩阵形式
算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式： 对于系数都是正实数的矩阵
设
，，那么有：
Go the distance 也就是说：对 k 个纵列取算术平均数，它们的几何平均大于等于对 n 个横行取的 n 个几何平均数的算术平均。
极限形式
也称为积分形式：对任意在区间[0,1]上可积的正值函数 f，都有
这实际上是在算术-几何平均值不等式取成 两边的黎曼和中的 n 趋于无穷大后得到的形式。
后，将
伯努利不等式
数学中的伯努利不等式是说：对任意整数
；
如果
是偶数，则不等式对任意实数x成立。
和任意实数
，
，有严格不等式：
，和任意实数
，
可以看到在n = 0,1，或x = 0时等号成立，而对任意正整数
。
伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。
[编辑] 证明和推广
伯努利不等式可以用数学归纳法证明：当n = 0,1，不等式明显成立。假设不等式对正整数n，实数
时成立，那么
Go the distance
。
下面是推广到实数幂的版本：如果x > − 1，那么：
若若
或
，有，有
。
；
这不等式可以用导数比较来证明： 当r = 0,1时，等式显然成立。 在
上定义f(x) = (1 + x)r − (1 + rx)，其中
， 对x微分得f'(x) = r(1 + x)r − 1 − r， 则f'(x) = 0当且仅
当x = 0。分情况讨论：
0 < r < 1，则对x > 0，f'(x) < 0；对 − 1 < x < 0，f'(x) > 0。因此f(x)在x = 0时取最大值0，故得
。
r < 0或r > 1，则对x > 0，f'(x) > 0；对 − 1 < x < 0，f'(x) < 0。因此f(x)在x = 0时取最小值0，故得
。
在这两种情况，等号成立当且仅当x = 0。
[编辑] 相关不等式
下述不等式从另一边估计(1 + x)r：对任意x, r > 0，都有
。
佩多不等式
几何学的佩多不等式，是关连两个三角形的不等式，以唐·佩多(Don Pedoe)命名。这不等式指出：如果第一个三角形的边长为a,b,c，面积为f，第二个三角形的边长为A,B,C，面积为F，那么：
Go the distance
，
等式成立当且仅当两个三角形为一对相似三角形，对应边成比例； 也就是a / A = b / B = c / C。
[编辑] 证明
由海伦公式，两个三角形的面积可用边长表示为
16f2 = (a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(b + c − a) = (a2 + b2 + c2)2 − 2(a4 + b4 + c4) 16F2 = (A + B + C)(A + B − C)(A − B + C)(B + C − A) = (A2 + B2 + C2)2 − 2(A4 + B4 + C4), 再由柯西不等式，
16Ff + 2a2A2 + 2b2B2 + 2c2C2
= (a2 + b2 + c2)(A2 + B2 + C2) 于是，
= A2(b2 + c2 − a2) + B2(a2 + c2 − b2) + C2(a2 + b2 − c2) ，命题得证。
等号成立当且仅当
,也就是说两个三角形相似。
Go the distance ABC是第一个三角形，A'B'C'是取相似后的第二个三角形，BC与B'C'重合
几何证法
三角形的面积与边长的平方成正比，因此在要证的式子两边同乘一个系数λ2，使得λA = a，几何意义是将第二个三角形取相似（如右图）。
设这时A、B、C变成x、y、z，F变成F'。 考虑 AA' 的长度。由余弦公式，
将,代入就变成：
两边化简后同时乘以，并注意到a=x，就可得到原不等式。
等号成立当且仅当A与A'重合，即两个三角形相似。
内斯比特不等式
Go the distance
内斯比特不等式是数学的一条不等式，它说对任何正实数a，b，c，都有：
[编辑] 证明
此不等式证明方法很多，例如从平均数不等式我们有：
，
移项得出：
，
整理左式：
，
。
因而不等式得证。
埃尔德什－莫德尔不等式
Go the distance
如图，埃尔德什-莫德尔不等式说明点O到三个顶点的距离之和（绿色线段）大于到三边距离之和（蓝色线段）的两倍
在几何学中，埃尔德什-莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式。埃尔德什-莫德尔不等式说明了：对于任何三角形ABC和其内部的一点O，点O到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点O到三角形的三个顶点的距离之和的一半。 埃尔德什-莫德尔不等式可以认为是几何学中的欧拉定理的一个推广。欧拉定理声称三角形外接圆的半径总是大于等于内切圆半径的两倍。
[编辑] 历史
该不等式最早由埃尔德什在1935年在《美国数学月刊》上提出，作为第3740号问题。两年之后，由路易斯·莫德尔和D.F.巴罗证明。1957年，卡扎里诺夫提出了一个更简捷的证明[1]。之后不断有更简洁、更基本的证明出现。1958年班考夫（Bankoff）给出了运用正交投影和相似三角形的证明，1997年和2004年出现了使用面积不等式的证明，1993年和2001年发现了根据托勒密定理的证明。
[编辑] 证明
如右图，O为三角形ABC中的一个点。O到三角形三边的垂线分别交三条边于D、E、F。设线段OA、OB、OC的长度分别是x、y、z，线段OD、OE、OF的长度分别是p、q、r，那么埃尔德什-莫德尔不等式为：
Go the distance
一个初等的证明方式是使用三角函数以及均值不等式。
首先，由于OF垂直于AF，OE垂直于AE，A、F、O、E四点共圆且OA为直径，因此线段（角A为顶点A对应的内角）。
过点F、E作关于BC的垂线交BC于X、Y。过O作BC的平行线分别交FX、EY于U、V。由于OF垂直于AF，OE垂直于
AE，，。于是：
另一方面，注意到在直角梯形中FUVE中，斜腰EF的长度大于等于直角腰UV。因此：
类似地，还有：
，
三式相加，得到：
Go the distance 根据均值不等式，
这就是埃尔德什-莫德尔不等式。
，等等，于是最终得到：
外森比克不等式
设三角形的边长为a,b,c，面积为A，则外森比克不等式（Weitzenböck's inequality）当且仅当三角形为等边三角形，等号成立。佩多不等式是外森比克不等式的推广。
成立。
[编辑] 证明一
除了“所有平方数非负”以外，这个证明不用到其它任何不等式。
两边取平方根，即得证。
舒尔不等式
舒尔不等式说明，对于所有的非负实数x、y、z和正数t，都有：
Go the distance
当且仅当x = y = z，或其中两个数相等而另外一个为零时，等号“=”成立。当t是正的偶数时，不等式对所有的实数x、y和z都成立。
[编辑] 证明
由于不等式是对称的，我们不妨设
。则不等式
显然成立，这是因为左边的每一项都是非负的。把它整理，即得舒尔不等式。
[编辑] 推广
舒尔不等式有一个推广：
假设a、b、c是正的实数。如果（a，b，c）和（x，y，z）是顺序的，则以下的不等式成立：
2007年，罗马尼亚数学家Valentin Vornicu证明了一个更一般的形式： 考虑
，其中
，而且要么
，要么
。设
，并设
要么是凸函数，要么是单调函数。那么：
当x = a、y = b、z = c、k = 1、ƒ(m) = mr时，即化为舒尔不等式。[1]
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