排列组合经典练习答案答案

排列组合二项定理

排列组合二项定理 知识要点

一、两个原理.

1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列. ．．．．．．．

从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = mn.. 例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：m种）

二、排列.

1. ⑴对排列定义的理解.

定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m．．．．．．个元素的一个排列. ⑵相同排列.

如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数.

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n

m

个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号An表示.

n⑷排列数公式： Amn(n1)(nm1)n!(mn,n,mN)

(nm)!注意：nn!(n1)!n! 规定0! = 1

mmmm1mm110 AnmnAnm 规定CnCnAnn1 1AnAmCnAnmAn12. 含有可重元素的排列问题. ．．．．．．

对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于nn!.

n1!n2!...nk!例如：已知数字3、2、2，求其排列个数n(12)!3又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个

1!2!数n3!1.

3!三、组合.

1. ⑴组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

Amn(n1)(nm1)n!m⑵组合数公式：Cn Cnmm!m!(nm)!Ammn⑶两个公式：①CnCmnmn; ②Cm1mmnCnCn1

①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.

（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是

m1m1C1含红球选法有Cmn1Cn一类是不含红球的选法有Cn）

②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与

1不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有Cmn，如果不取这

一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有Cn种，依分类原理有C⑷排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式

012nCnCnCnn2 n024135CnCnCnCnCnCn2n1mmmm1CmnCm1Cm2CmnCmn1k1kCknCnn1mm1mmCCnnn1.

11k1CnCkn1k1n1②常用的证明组合等式方法例.

n111123n1i. 裂项求和法. 如：（利用） 1n!(n1)!n!2!3!4!(n1)!(n1)!ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.

m1mC3C4C5CnCn1. v. 递推法（即用CmnCnCn1递推）如：

33334vi. 构造二项式. 如：(Cn)(Cn)(Cn)C2n

证明：这里构造二项式(x1)n(1x)n(1x)2n其中xn的系数，左边为

01n12n2n00212n2C2n CnCnnCnCnCnCnCnCn(Cn)(Cn)(Cn)，而右边

0212n2nn四、排列、组合综合.

1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.

③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某m(mn)mm1mnm1个元素必相邻的排列有Annm1Am个.其中Anm1是一个“整体排列”，而Am则是“局部排列”.

22又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为An. An11A212②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有An. n1A221③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有An. Ann1

注：①③区别在于①是确定的座位，有A2种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不2确定性.

④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.

mm例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？An（插空法），当n – nmAnm1m+1≥m, 即m≤n1时有意义.

2⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有Ann种，m(mn)个元素的全排列有Amm种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有

AnnAmm种排列方法.

例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？ ⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有

nnCknC(k1)nnCnAkk.

C2例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有43（平均分组就用不着管组

2!与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （P82C18C210C20/2!）

注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有AnmAnm1/Am，当n – m+1 ≥m, 即m≤n1时有意义.

nmmm2⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.

例如：x1x2x3x412的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x1,x2,x3,x4显然x1x2x3x412，故（x1,x2,x3,x4）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解(y1,y2,y3,y4)，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图

3 x2 x 3 所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数C11. x1x4注意：若为非负数解的x个数，即用a1,a2,...an中ai等于xi1，有

x1x2x3...xnAa11a21...an1A，进而转化为求a的正整数解的个数为CAn .

n1⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有

rArrAknr.

例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置

上，共有多少种排法？

11m1AnAn1或Anm固定在某一位置上：Am1Am1An1（一类是不取出特殊元素a，n1；不在某一位置上：

mm1有

mAn1，一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空

法解决是一样的）

⑩指定元素排列组合问题.

i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内 。先C后A

krkrkr策略，排列CrrCnrAk；组合CrCnr.

ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内。先C后A

k策略，排列CnrkAkk；组合Cnr.

iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个

skskCC元素中的s个元素。先C后A策略，排列rnrAk；组合CrCnrsks.

II. 排列组合常见解题策略：

①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略； ⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题.

①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其

k分法种数为A/Arr（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以Ak.

例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为C10C8C4/A21575.若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为C10C9C8C6C4C2/A2A4

②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为AAm m233C8C5例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：C105A3种.

244211222224若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有C10C8C5A3种 ③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为

m. A/ArrAm2343244C10C8C43A3 例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为2A2④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，

m1m2mkAC不管是否分尽，其分法种数为nCn-m1…Cn-(m1m2...mk-1)

例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为C102C83C5若从10人中选出6人分成三525203组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为C101C92C712600.

五、二项式定理.

0n01n1rnrrn0nabCnabCnabCnab. 1. ⑴二项式定理：(ab)nCn展开式具有以下特点：

① 项数：共有n1项；

012r,Cn,Cn,,Cn,,Cn② 系数：依次为组合数Cnn;

③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.

⑵二项展开式的通项.

（ab)n展开式中的第r1项为：Tr1Cnarnrrb(0rn,rZ).

⑶二项式系数的性质.

①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数最大. ．．．．．nI. 当n是偶数时，中间项是第1项，它的二项式系数C2n最大；

2n1n1II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第1项，它们的二项式系数C22③系数和：

01nCnCnCnn202413CnCnCnCnCn2n1nn1n12C2最大. nn

附：一般来说(axby)n(a,b为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解. 当．．．．．．．．．．．

AkAk1,AkAk1a1或b1时，一般采用解不等式组或(Ak为Tk1的系数或系数的绝对值）的办法来

AAAAk1k1kk求解.

⑷如何来求(abc)n展开式中含apbqcr的系数呢？其中p,q,rN,且pqrn把

r(abc)n[(ab)c]n视为二项式，先找出含有Cr的项Cn(ab)nrCr，另一方面在(ab)nr中含有bq的

npqrqnrqqqpq项为CnrabCnrab，故在(abc)中含abc的项为CnCnrabcrqpqr.其系数为

rCnCnqr(nr)!n!n!pqrCnCnpCr.

r!(nr)!q!(nrq)!r!q!p!2. 近似计算的处理方法.

当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1a)n1na，因为这时展开式的后面部分

2233nnCnaCnaCna很小，可以忽略不计。类似地，有(1a)n1na但使用这两个公式时应注意a的条

件，以及对计算精确度的要求.

高二数学第十章《排列、组合和二项式定理》习题（一）

1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( ) A．40 B．50 C．60 D．70

2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A．36种

B．48种 C．72种

D．96种

3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( ) A．6个

B．9个 C．18个

D．36个

4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )

A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人

5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( ) A．45种

B．36种 C．28种

D．25种

6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( ) A．24种

B．36种 C．38种

D．108种

7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( ) A．33

B．34 C．35

D．36

8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( ) A．72

B．96 C．108

D．144

9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( ) A．50种

B．60种 C．120种

D．210种

10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)

11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)

12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种. 13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．

14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）

（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种

15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有 A.504种 B.960种 C.1008种 D.1108种 16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 （A）72 （B）96 （C） 108 （D）144

17. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ）

A.10 B.11 C.12 D.15

18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ） A．152 B.126 C.90 D.54

19. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )

（A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种 20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）

A.18 B.24 C.30 D.36

21. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）

A. 60 B. 48 C. 42 D. 36

22. 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（ ）

A.85 B. 56 C.49 D. 28

23. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）

A. 360 B. 188 C. 216 D. 96

24. 12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（ ）

131A． B． C．

555541 D．

325. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．

26. 锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）

8254860A． B． C． D．

9191919127. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．

28. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）

A．10种 B．20种 C．36种 D．52种

29. 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（ ）

（A）.30种 （B）.90种 （C）.180种 （D）.270种

30. 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种

31. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 个（用数字作答）．

32．有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？

33．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？

(1)各组人数分别为2,4,6个；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．

34．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？

(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？