2022-2023学年北京市顺义区初三数学第一学期期末试卷及解析

一．选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1．将41000用科学记数法表示应为( ) A．0.41105

B．41103

C．4.1105

D．4.1104

2．已知3x4y(y0)，那么下列比例式不成立的是( ) A．

xy 34B．

xy 43C．

x4 y3D．

34 yx3．在RtABC中，C90，AC4，BC3，则cosB的值为( ) A．

4 53B．

5C．

4 3D．

3 44．在平面直角坐标系中，将抛物线yx2平移，可以得到抛物线yx22x1，下列平移的叙述正确的是( )

A．向上平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度

B．向下平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度

5．如图，为测楼房BC的高，在距楼房50米的A处，测得楼顶的仰角为a，则楼房BC的高为( )

A．50tana米

B．

50米 tanaC．50sina米 D．

50米 sinaAE1，AB3，则ED26．如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，射线CE交BA的延长线于点F，若

AF的长为( )

A．1

B．

2 3C．

3 2D．2

2，37．如图，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的折扇张开的角度为120，则两把扇子扇面面积较大的是( )

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A．折扇

B．圆扇

C．一样大

D．无法判断

8．下面两个问题中都有两个变量：

①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x； ②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．

其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是( ) A．①是反比例函数，②是二次函数 B．①是二次函数，②是反比例函数 C．①②都是二次函数 D．①②都是反比例函数 二.填空题（共16分，每题2分） 9．分解因式：x2y4y ．

10．对于二次函数y2(x3)21，当x的取值范围是 时，y随x的增大而减小．

11．某一时刻，小明测得一高为1m的竹竿的影长为0.8m，小李测得一棵树的影长为9.6m，那么这棵树的高是 ．

12．将二次函数yx24x3化为ya(xh)2k的形式，则h ，k ． 13．如图，点A，B，C都在O上，如果AOCABC，那么AC的度数为 ．

14．若抛物线yx22xk1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．

15．如图，在等腰直角ABC中，C90，点D是AC上一点，如果CD6，sinCBD的长为 ．

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3，那么AB5

16．如图，正方形ABCD的顶点A，B都在O上，且CD边与O相切于点E，如果O的半径为1，那么正方形ABCD的边长为 ．

三.解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：2sin4518cos60(31)0． 32x54x18．解不等式组：7x3．

3x219．如图，在ABC中，点D在边BC上，且满足CA2CDCB．请找出图中的一对相似三角形，并证明．

k20．已知：在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y(k0)的图象与直线ymx(m0)都经过点

xA(2,2)．

（1）分别求k，m的值；

（2）若点P的坐标为(n，0)(n0)，过点P作平行于y轴的直线与直线ymx和反比例函数y象分别交于点C，D，若点D在点C的上方，直接写出n的取值范围．

k

的图x

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21．在RtABC中，C90，若AB2．请你添加一个条件： ，设计一道解直角三角形的题目（不用计算器计算），并画出图形，解这个直角三角形．

22．如图，A是O的直径CD延长线上的一点，点B在O上，AC30． （1）求证：AB是O的切线； （2）若BC23，求AC的长．

23．如图，将等边三角形ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处（不与B、C重合），折痕为EF． （1）求证：BDE∽CFD；

（2）若BD6，DC2，分别求BDE，CFD的周长； （3）在（2）的条件下，求BE的长．

24．在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证

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明．小亮说：当圆心O在ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明．

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 已知：如图，在O中，AB所对的圆周角是ACB，圆心角是AOB． 1求证：ACBAOB． 2 25．如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和BC与路面AB垂直，隧道内侧宽AB8米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离AE，点E到隧道顶面的距离EF．设AEx米，EFy米．通过取点、测量，工程人员得到了x与

y的几组值，如表：

x（米) 0 4.0 2 5.5 4 6.0 6 5.5 8 4.0 y（米) （1）根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为 米，并求出满足的函数关系式

ya(xh)2k(a0)；

（2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图象（图2)．

（3）若如图3的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？

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26．已知：二次函数yax22axa1． （1）求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；

（2）若点A(n1,y1)，B(n2,y2)在抛物线yax22axa1(a0)上，且y1y2，求n的取值范围． 27．已知：在平行四边形ABCD中，AEBC于点E，DF平分ADC，交线段AE于点F．

（1）如图1，若AEAD，延长EA到点G，使得AGBE，连结DG，依题意补全图形并证明DGAB； （2）在（1）的条件下，用等式表示线段CD，AF，BE之间的数量关系，并证明；

（3）如图2，若AE:AD1:2，用等式表示线段CD，AF，BE之间的数量关系，直接写出结果．

28．在平面直角坐标系xOy中，图形M上存在一点P，将点P先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到点Q，若点Q在图形N上，则称图形M与图形N成“斜关联”． （1）已知点A(2,1)，B(2,2)，C(1,2)，D(1,1)． ①点A与B、C、D中的哪个点成“斜关联”？

k②若线段AB与双曲线y(k0)成“斜关联”，求k的取值范围；

x（2）已知T的半径为1，圆心T的坐标为(t,0)，直线l的表达式为y3x6，若T与直线l成“斜关联”，请直接写出t的取值范围．

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答案与解析

一．选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1．解：将41000用科学记数法表示应为4.1104． 故选：D． 2．解：A．

xy， 344x3y（方程两边乘12)，故本选项符合题意；

B．

xy， 433x4y（方程两边乘12)，故本选项不符合题意； C．

x4， y33x4y（方程两边乘3y)，故本选项不符合题意；

D．

34， yx3x4y（方程两边乘xy)，故本选项不符合题意；

故选：A．

3．解：RtABC中，C90，AC4，BC3， AB5，cosBBC3． AB5故选：B． 4．解：

yx22x1(x1)2，

平移后抛物线的顶点为(1,0)，

抛物线yx2的顶点为(0,0)，

点(0,0)向左平移1个单位得点(1,0)，

抛物线yx2向左平移1个单位可得抛物线yx22x1，

故选：C．

5．解：在直角ABC中，sinBCAC，cos， ABABBCtan， ACBCACtan50tan．

故选：A．

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6．解：四边形ABCD为菱形， AD//CB，ABBCAD，

AE1， ED2AE1， AD3AE1， CB3AD//CB，

FAE∽FBC，

AFAE1， FBBC3AF1， AF333， 2AF故选：C．

1120(a)2120a837．解：折扇的面积a2， 360360272a1团扇的面积()2a2，

24折扇的面积大于圆扇的面积．

故选：A．

8．解：①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x，可以得到yx(10x)x210x，是二次函数； ②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x，可以得到y所以①是二次函数，②是反比例函数． 故选：B．

二.填空题（共16分，每题2分） 9．解：x2y4y，

20，是反比例函数． xy(x24)， y(x2)(x2)．

故答案为：y(x2)(x2)．

10．解：二次函数y2(x3)21，

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当x3时，y随x的增大而减小，当x3时，y随x的增大而增大，

故答案为：大于3．

11．解：设这棵树的高是xm，根据题意可得： 1:0.8x:9.6，

解得：x12． 故答案为：12m． 12．解：yx24x3 x24x41

(x2)21， 故h2，k1． 故答案为：2，1． 13．解：如图：

AOC1360，12ABC， AOC2ABC360， AOCABC， 3AOC360， AOCABC120，

AC360AOCABC120，

故答案为：120．

14．解：△b24ac441(k1)84k， 抛物线yx22xk1与x轴有交点，

△84k0，解得：k2．

故答案为：k2．

15．解：在RtCBD中，CD6，sinCBD3， 5第9页（共19页）

BDCD610，

sinCBD35CBBD2CD2102628， ABC是等腰直角三角形，C90， AB2CB82，

故答案为：82．

16．解：连接EO并延长交AB于H，连接AO， 四边形ABCD是正方形，

ABADCD，DDAE90， CD边与O相切于点E， HECD，

HEAB，

AH1AB， 2DAEDDEH90，

四边形AHED是矩形，

HEAD，

设OHx，

ADABHEx1，

1AH(x1)，

2AO2AH2OH2， 12(x12)x2， 23（负值舍去）， 5解得x8ADHEOHOE，

58故正方形ABCD的边长为，

58故答案为：．

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三.解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．解：2sin4518cos60(31)0 21321 221232

22421． 218．解：由32x54x，得：x1， 由

7x33x，得：x3， 2则不等式组的解集为1x3． 19．解：BCA∽ACD． 证明：CA2CDCB，

CACB， CDCA又CC， BCA∽ACD．

k20．解：（1）反比例函数y(k0)的图象与直线ymx(m0)都经过点A(2,2)，

xk224，22m， m1，

即k4，m1；

（2）点P的坐标为(n，0)(n0)，过点P作平行于y轴的直线与直线ymx和反比例函数y象分别交于点C，D，点D在点C的上方， 0n2．

k

的图x

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21．解：我添加一个条件：BC1，如图：

C90，AB2，BC1，

ACAB2BC222123，sinABC1AB2， A30，

B90A60，

AC3，A30，B60，故答案为：BC1． 22．（1）证明：如图，

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连接OB， BDBD，

BOD2C60， ABOD306090， ABO90， OBAB，

点B在O上，

AB是O的切线；

（2）解：如图2，

连接BD，

CD是O的直径， CBD90，

CDBC232332， 4，BDBCtan3023cosAcos30332AC30，

ABC180302120，

ABDABCCBD1209030，

AABD，

ADBD2，

ACADCD6．

23．（1）证明：ABC是等边三角形， BCA60，

由折叠得EDFA60，

BED180BBDE120BDE，CDF180EDFBDE120BDE， BEDCDF，

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BDE∽CFD．

（2）解：BD6，DC2， ABACBC628，

由折叠得DEAE，DFAF， BEAEAB8，CFAFAC8，

BDBEDEBDBEAE6814，DCCFDFDCCFAF2810，

BDE的周长为14，CFD的周长10．

（3）解：BDE∽CFD，



BEDCBDE的周长147CFD的周长105， BE75DC752145， BE的长为

145． 24．证明：如图2: OAOC， AACO， AODAACO， AOD2ACO，

同理可得：BOD2BCO， AOBAODBOD 2ACO2BCO 2ACB，

ACB12AOB；

如图3:OAOC， AACO， AODAACO， AOD2ACO，

同理可得：BOD2BCO， AOBBODAOD 2BCO2ACO 2ACB，

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1ACBAOB．

225．解：（1）根据二次函数的对称性可知，当x4时，y有最大值6.0， 故答案为：6.0；

由题意知，h4，k6，

隧道满足的关系式为ya(x4)26，

把x0，y4代入解析式得：16a64， 1解得a，

8隧道满足的关系式为y(x4)26；

18（2）根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标，画出图象如图所示：

1（3）当x1时，y(14)264.875，

84.8750.354.525（米)，

答：隧道需标注的限高应4.525米． 26．解：（1）

yax22axa1．

a(x22x1)1 a(x1)21，

这个二次函数图象的对称轴是直线：x1，顶点坐标(1,1)；

（2）a0，

二次函数图象开口向上，

①若A(n1,y1)在直线x1的右边，B(n2,y2)在直线x1的左边， n11由题意可得，

n21第15页（共19页）

1(n2)(n1)1， 0n3， 2②若A(n1,y1)在直线x1的左边，B(n2,y2)在直线x1的右边， n11由题意可得，

n211(n1)n21，

无解，

综上所述：0n3． 227．解：（1）补全图形如图1，

证明：如图1，延长EA到点G，使GABE，连接DG，

四边形ABCD是平行四边形， AD//BC，ABCD，ADCB， AEBC于点E，

DAGAECAEB90，

DAAE，

DAGAEB(SAS)， DGAB；

（2）AFBECD． 证明：DAGAEB， DGAB，ADGEAB，

DGCD，GDCADGADCEABB90，

GFDADF90，GDFCDF90，且ADFCDF， GFDGDF，

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FGDGCD，

FGAFGAAFBE， AFBECD．

（3）CD1AFBE． 2证明：如图，延长EA到点M，使AM2BE，连接DM，

四边形ABCD是平行四边形， AD//BC，BADC，CDAB， AEBC，

AEAD，

BEAMAD90，

又

AE1BE1， ，

AD2AM2AEB∽DAM， BAEMDA，

MDCMDAADCBAEB180AEB90，

DF平分ADC，

ADFCDF，

MFD90ADF，MDFMDCCDF90CDF，

MFDMDF， MFMD，

111111CDABMDMF(AFAM)AFAMAFBE．

22222228．解：（1）将A(2,1)向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到(1,2)，

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点A与C点成“斜关联”；

（2）将A(2,1)向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到A(1,2)，将B(2,2)向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到B(1,3)，

线段AB向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到线段AB，

当y当y

k

过A(1,2)时，k2， x

k

过B(1,3)时，k3， x

k， k的取值范围是3k2； (k0)成“斜关联”

x线段AB与双曲线y（3）将T向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到T，过T作TF//x轴交直线y3x6于F，过G作GHTF于H，

当T在直线y3x6的左侧，T与直线y3x6相切于点E时，t最小，如图：

设直线y3x6与x轴交于G，与y轴交于K，可得G(23，0)，K(0,6)， OG23，OK6，

GKOG2OK243， GK2OG，

GKO30，KGO60， HGF30，TFE60，

在RtHGF中，HG1， HFHG33， 3在Rt△TEF中，TE1，TFE60，

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TF23， 33， 3THTFHFT(T(73，1)， 3731，0)， 3731， 3t最小为当T在直线y3x6的右侧，T与直线y3x6相切于点E时，t最大，如图：

同理可得FTHT3，

233，HF，

33T(3，1)， T(31，0)，

t最大为31，

t的取值范围是731t31． 3第19页（共19页）