>知识点睛
\"将军饮马\"问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题,会与直线、 角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合,在近年的中考和竞窘中经常出现,而且大多以压轴题的形式岀现。 —、定直线与两定点
模型 作法 结论 当两走点A、3在直线/异侧 时,在直线/上找上点P ,使 / PA+PB最小. 当两走点A、3在直线/同侧 时,在直线/上找上点P ,使 A ■ I PA+PB最小. 当两走点A、8在直线/同侧 时,在直线/上找上点P ,使 A. / \\PA-P^ 最大. 当两走点A、B在直线/异侧 时,在直线/上找上点P,使 I \\PA-Pl^ 最尢 当两走点A、3在直线/同侧 时,在直线/上找上点P ,使 i \\PA-Pl^ 最小. 二.角到定点 模型 作法 结论 点P在ZA 03的内部在Q4上找 一点M,在08上找一点N,使得 APCQ周长最小. A 厶 点P在ZAO3的内部在Q4上找 —点M '在08上找一点N,使得 0 A X ------------------ B PN+MN最小. 点P、。在ZAOB的内部,在Q4 上找一点M ,在OB上找一点N, 使得四边形PMNQ周长最小. A X O ---------------------------- B 点M在ZA03的外部,在射线 Q4上找一点P,使PM与点P到 射线OB的距离和最小. A 0 --------------- B 点M在的内部,在射线 OA上找一点A P,使PM与点P到 射线OB的距离和最小. 0 ---------------- B
二.两定点一定长 模型 作法 结论 如图在直线/上找上两点M、N (M 在左),使 AM+MN+NB 最小,且MN = d * d. B • 1 如图,ijn2』、厶之间的距离为 d,在h 厶、厶上分别找M、N两 点,使 MN丄11 厶,且 AM + MN+N3 最小. 丿 如图入叫仏/仏仏、厶之间的 距离为£ ,厶〃厶之间的距离为 d2 ,在厶、厶上分别找M、N两 点,使MN丄厶,在厶、仃上分别 找P、Q两点,使P0丄人且 AM + MN+NP+PQ+QB 最 小. ----------- ------------ 如图,在OO上找一点N,在直 线/找一点M,使得AM + MN 最小. O •* >精讲精练
例1 :如图,点P是乙AOB内任意一点f \"O於30° r OP=8,点〃和点AZ分别是射线Q4和射线OB上的动 点,贝
ZPMN周长的最小值・
例2 :如图,正方形ABCD的边长是4 , 〃在DC上,且DM\ /V是力0边上的一动点,贝4DMN周长的最小 值.
D M
例3 :如图,在R2ABO中.zO必=90° \" ( 4,4 ),点。在边ABAL ^AC.CB^.3,点Z?为OB的中点,点
P为边OA上的动点,当点P在OA上移动时,使四边形PWU周长最小的点P的坐标为( A ・(2,2)
)
例4 :如图,在汀中r AC=BC^ACB=^ .点D在BC上f BD=3 . DC=\\ ,点Q是力0上的动点,则PC+PD 的最小值为(
)
A.4
例5 :如图,在等边卫力中,AB=6 , /V为AB±-点且BN=2AN t 的动点■连结BM. MN.则3/W+/14/V的最小值是 ______________ .
的高线力。交EC于点D t 〃是AD±_
例6 :如图,在R2ABD中,力於6 , z24Q=30° , zZ?=90° r /V为力0上一点且BN=2AN. 〃是力。上的动点, 连结BM t MN.则劭升/14/V的最小值・
例7 :如图,在 ^ABC中,z/l«=90°, AC=6・力於12 r力。平分z04/点尸是力。的中点,点F是AD±_的 动点,则QF+FF的最小值为(
)
B・4 D ・ 2s/3
第7题图 第8题图
例8 :如图,在锐角三角形力中,BC=4 t z/I^C=60° , BD平分zABC,交MU于点D, M、/V分别是BD, BC 上的动点,则CM+ MN的最小值是(
)
B . 2
C. 2 JI
D . 4
A ・ VJ
例9 :如图,在菱形ABCD中r AC= 6^2 , BD=6 , F是BC的中点,P、M分别是AC^力0上的动点,连接
PE、如,则PF+加的最小值是(
)
8. 3>/3 C. 2>/6 0・ 4.5
例10 :如图r矩形ABOC的顶点力的坐标为(45 ) , Q是03的中点,F是OC上的一点,当出力%的周长最小 时,点F的坐标是(
4
C • (0,2)
D. (O.y)
第10题图
例11 :如图,在矩形ABCD中z AB=6 , AD=3 .动点P满足片刑
A ・(0.-)
B • 2>/10
例12:如图f
ABCD中/於10/U5,点£ F、G、〃分别在矩形力02各边上,旦AE=CG, BF=DH,
则四边形\"6片周长的最小值为( 力.5>/5
)
C・ 10j亍
D • \\5長
B ・
例13 :如图,zMO於60° f点P是乙AOB内的走点且OP= 73 ,若点M、/V分别是射线04 03上异于点O的
动点,贝ZPMN周长的最小值是( 力•迹
2 2
)
C. 6
D. 3
B•巫
例14 :如图,乙AOB的边02与\"轴正半轴重合点P是04上的一动点,点/V( 3,0 )是03上的一定点,点M 是O/V的中点,zAO8=30°.要使PW+P/V最小,则点P的坐标为 ________________________ .
例15 :如图,已知正比例函数y=kx ( £>0 )的图像与x轴相交所成的锐角为70°,走点力的坐标为(0,4) , P 为F轴上的f 动点,M、/V为函数y^kx ( k>0 )的图像上的两个动点r则AM±MP+PN的最小值为
第15题图
例16 :如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点B在原点,点4 U在坐楙由上r点Z?的坐标为(6,4),
F为CO的中点,点只Q为边上两个动点,且Pg2 ,要使四边形APQE的周长最小r则点P的坐示应为
例17 :如图,矩形ABCD中,A»2 t AB=4 , MU为对角线,E、F分别为边AB、CQ上的动点,且EFrAC于点
连接CF,求AF+CE 的最小值.
例18 :如图,正方形ABCD的面积是12 r心ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点
P,求PD + PE的最小值。
例19 :
如图,MBC为等腰直角三角形,AC=BC=4 f zBCD=15° , P为CD上的动点,求|PA-PB|的最大
已知>巩固练习
练习1 :如图,在匕ABC中,AC=BC=2 , zACB-90° , D是BC边的中点,E是AB边上一动点r求EC+ED的最小
练习2 :如图,点C的坐标为(3, y
练习3 :如图,正方形ABCD中,最小值与最大值。
厂当△ ABC的周长最短时,求y的值。
y ■ ■
■
A (3, 0) ■
■ O
1 A 1 1 1 B (2, 0)
X
AB-7 , M是DC上的一点,且DM-3 , N是AC上的一动点,求|QW — MN|的 N
练习4 :如图,zAOB=30° , zAOB内有一定点P ,且OPJO ,在0A上有一点Q , 0B上有一点R。若沖QR周 长最小r则最小周长是多少?
练习5 :如图,zMON=40° r P为zMON内一走点,A为0M上的点,B为ON上的点,当沖AB的周长取最小 值时:
(1)找到A、B点,保留作图痕迹;
(2 )求此时zAPB等于多少度。如果zMON= 0 z zAPB又等于多少度?
练习6 :如图,四边形ABCD中,zBAD=110° r zB=zD=90° ,在BC、CD上分别找一点M. N ,使匕AMN周长 最小,并求此时zAMN+zANM的度数。
练习7 :如图,在x轴上找一点Cf在y轴上找一点D ,使AD+CD + BC最小,并求直线CD的解析式及点C. D 的坐标。 人y
■ ■
-• A (1» 3) ■ - I O
11(11
・B (3. 1)
亠
X
练习8:如图zMON=20\\Ax B分别为射线OM、ON上两走点,且O A=2,OB=4 ■点P、Q分别为射线0M、
ON上两动点,当P、Q运动时r线段AQ+PQ+PB的最小值是多少?
练习9 :在平面直角坐标系中,矩形OABC如图所示,点A在戈•轴正半轴上,点C在y轴正半轴上,且0A=6 r
0C=4 , D为0C中点,点E、F在线段OA上,点E在点F左侧,EF=20当四边形BDEF的周长最小时,求点E 的坐标。
练习10 :在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在、x轴、y轴的正半轴上
A(3,0) ,B(0,4) , D 为边 OB 的中点。
(1)若E为边OA上的一个动点,求“CDE的周长最小值;
(2 )若E、F为边OA上的两个动点,且EF=lr当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标。
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