高中数学函数概念及表示方式专项讲解及练习

考点精要

1．了解组成函数的要素，会求一些简单函数的概念域和值域；了解映射的概念．

2．在实际情境中，会按照不同的需要选择适当的方式（如图象法、列表法、解析法）表示函数．

3．了解简单的分段函数，并能简单应用．

4．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

热点分析

主要考查简单函数的概念值、值域、表示方式及影射的概念

知识梳理

1．函数：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，依照肯定的法则f，都有唯一肯定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量，自变量取值的范围（数集A）叫做这个函数的概念域．

若是自变量取值a，则由法则f肯定的值y称为函数在a处的函数值，记作

y=f（a）或y|x=a

所有函数值组成的集合y|yf(x),xA叫做这个函数的值域．

2．函数两要素：因为函数的值域被函数的概念域和对应法则完全肯定，所以肯定一个函数就只需要两个要素：概念域和对应法则．

3．映射：设A，B是两个非空集合，若是依照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作

f（x），于是y=f（x），x称作y的原象．映射f也可以记为f：A→B，x→f（x），其中A叫做映射f的概念域（函数概念域的推行），由所有象f（x）组成的集合叫做映射f的值域，通常记作f（A）．

4．一一映射：若是映射f是集合A到集合B的映射，而且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时咱们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射． 5．函数与映射：对概念域内每一个自变量的值，按照肯定的法则对应唯一的函数值，函数值也在一个数集内转变．于是函数也就是数集到数集的映射．映射是函数概念的推行，函数是一种特殊的映射．

这里要注意：在映射中，要求元素的对应形式是“多对一”或“一对一”，一一映射中元素的对应形式必需是“一一对应关系”．

6．函数的表示方式：表示函数常常利用的方式有列表法、解析法和图象法三种．

列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方式叫做列表法．

图象法：对于函数y=f（x）（x∈A）概念域内的每一个x值，都有唯一的y值与它对应．把这两个对应的数组成有序实数对（x, y）作为点P的坐标，即P（x, y），则所有这些点的集合F叫做函数y=f（x）的图象，即

FP(x,y)|yf(x),xA．

这就是说，若是F是函数y=f（x）的图像，则图像上的任一点的坐标（x, y）都知足函数关系y=f（x）；反之，知足函数关系y=f（x）的点（x, y）都在图象F上．

这种用“图形”表示函数的方式叫做图象法．

解析法：若是在函数y=f（x）（ x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方式叫做解析法（也称为公式法）．

7．分段函数：在函数的概念域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如y等．

8．求函数概念域：肯定一个函数只需要两个要素，就是概念域和函数的对应法则f，概念域是自变量x的取值范围，它是函数不可缺少的组成部份，研究一个函数，首先要肯定它的概念域，即“主角”自变量的“活动舞台”．在中学阶段，所研究的函数多数是能用解析式表示的，若是未加特殊说明，函数的概念域就是指能使函数解析式成心义的所有实数x的集合，在实际问题中，还必需考虑自变量x所代表的具体量的允许范围．求函数的概念域，一般要遵循以下几条原则：

（1）若f（x）为整式，则函数的概念域为R． （2）若f（x）为分式，则要求分母不为0． （3）若f（x）为对数形式，则要求真数大于0．

（4）若f（x）为根指数是偶数的根式即偶次根式，则要求被开方式非负．

另外，函数解析式涉及零指数幂或负指数幂时，注意底数（式）不能为0；涉及到分数指数幂时，注意底数大于0；若是函数f（x）是由几个数学式子经由求和、差、积、商组成的，则其概念域是使每一个式子都成心义的实数集合，实际上是一个不等式组的解集合．

例题精讲

例1.（1） 函数f(x)3x21xlg(3x1)的概念域是____________

x,x0,12x,x1,2；y=|x|；y=|x1|

（2）已知函数f(2x）的概念域是［-1，1］，求f(log2x)的概念域.

2xx2（3）函数f(x)(32x)0的概念域是（ ）

lg(2x1)

变式题：已知函数f（x）=是（ ）

A．a＞

例2.求函数的解析式

133x1的概念域是R，则实数a的取值范围2axax33B．－12＜a≤0 C．－12＜a＜0 D．a≤

13（1） 已知f（x）是二次函数，且知足f（x+1）+ f（x1）=2x24x，求f（x）． 练习 ：已知f(x)是一次函数，且f(x1)f(x1)2x3，则f(x)

1（2）已知f(x)知足2f(x)f()3x，求f(x)。

x练习：已知f(x)2f(x)3x2，则f(x)

11（3）已知f(x)x33，求f(x)；

xx练习 ：已知f(x1)x22x3，则f(x)

2（4）已知f(1)lgx，求f(x)；

x练习：已知f(3x1)9x26x5，则f(x) 例3 求下列函数的值域

（1）f（x） = x22x3，x∈[2, 4] （2）f（x） = x22x3，x∈[3, 4] （3）f（x） = sin2x2sinx 3，x∈R

1x22x（4）y2（复合函数）

（5）yx41x；（注：总结yaxbcxd型值域，）

yx1x2 （6）y

（7）y|x1||x4|；

2x2x2（8）y2；

xx12x2x11(x)； （9）y2x123x1； x2（10）yx21sinx。 f(x)的值域为

2cosx32x

针对训练

1．设A，B都是正整数集N*，映射f：A→B把A中的元素n映射到B中的元素2n+n，则在映射f下，象20的原象是 A．2

B．3

C．4

D．5

2．下列各组函数中表示相同函数的一组是 A．f(x)x2,g(x)log22x

x24 C．f(x),g(x)x2

x2B．f(x)lgx2,g(x)2lgx D．f(x)x3,g(t)t3

3．函数y=f（x）的图像与直线x=a（aR）的交点个数为 A．0

B．1

C．0或1

D．可多于1

4．函数f(x)1xx的概念域为 A．x|x1

B．x|x0

C．x|x1或x0 D．x|0x1

x23x45．函数y的概念域为

x A．[4，1] （0，1]

B．[4，0） C．（0，1] D．[4，0）∪

116．函数ylg的概念域是

x A．{x|x<0}

x>1}

B．{x|x>1} C．{x|021x1x7．已知f，则f（x）的解析式可取为 21x1x A．

x 21xB．2x 21xC．

2x 21xD．2x 21x8．y=0.3x的值域为 A．(0,)

x219．y2的值域为

x1B．1, C．,1 D．0,1

A．[1，1] B．（1，1] C．[1，1） D．（1，1）

10．若f(x) A．

12x1，则方程f（4x） = x的根是 xB．

x2x212C．2 D．2

2ex111．设f(x)2log3(x1)，则f（f（2））的值为

C．2

log2(4x)f(x1)f(x2)x0x0 A．0 B．1 D．3

，则f（3）的值

12．概念在R上的函数f（x）知足f(x)为 A．1

B．2

C．1 D．2

13．用min{a, b, c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x, x+2, 10 x}（x0x≥ 0），则f（x）的最大值为 A．4

B．5

C．6

D．7

x24x6(x0)14．设函数f(x)，则不等式f（x）> f（1）的解集是

x6(x0) A．(3,1)(3,) B．(3,1)(2,) C

D．(,3)(1,3)

．

(1,1)(3,)15．已知函数f(x)x2|x2|，则f（1）=______________

3xx116．已知函数f(x)，若f（x）=2，则x = ___________

xx117．函数f(x)_________.

4x4,x12x4x3,x1的图像和函数g（x）= log2x的图像的交点个数是

x22xa18．已知函数f(x)，若当x1,时f（x） >0恒成立，求a的取值

x范围．

12答案 例1 ,1 例2 f (x) = x2x1 例3 （1）y3,5（2）y4,12（3）

3y4,0（4）y0,2

针对训练

1．C 2．D 3．C 4．D 5．D 6．D 7．C 8．D 9．C 10．A 11．C 12．B

13．C 14．A 15．2

16．log32 17．3 18．a > 3

高考链接 模拟实战

1（11北京理）若是log1xlog1y0，那么

22（A）yx1 (B)xy1 (C)1xy (D)1yx

2x2,2（11北京文）已知函数f(x)x若关于x 的方程f（x）=k有两个

(x1)3,x2不同的实根，则实数k的取值范围是_______

13（06全国文）已知f(x1)2x3，且 f(m)6，则m等于

2（ ） A、 

1133 B、 C、 D、 44224（05北京文）函数f(x)x11的概念域为 . 2x3x,x1,5（09北京文）已知函数f(x)若f(x)2，则x 。

x,x1,6（08全国）图中的图象所表示的函数的解析式为

A.yB.yC.y3|x1| (0≤x≤2) 233|x1| (0≤x≤2) 223|x1| (0≤x≤2) 2 ( )

D.y1|x1| (0≤x≤2)

3x,x1,7（2021北京文）已知函数f(x)若f(x)2，则x .

x,x1,1,x01x（2021北京理）若函数f(x) 则不等式|f(x)|的解集为

3(1)x,x03____________.

log(1x),x08．概念在R上的函数f(x)知足f(x)= 2，

f(x1)f(x2),x0则f（2021）的值为

( )

A.-1 B. 0 C.1 D. 2 9 . 函数fx对于任意实数x知足条件fx21，若f15,则fx

ff5__ ________.

x2(x1)13(1x2)，则f()________，若f(a)，则实数10．函数f(x)x2222x(x2)a的取值范围是

11. 例10 . 已知函数yf(x)和yg(x)在[2,2]的图象如下所示：

给出下列四个命题：

①方程f[g(x)]0有且仅有6个根 ②方程g[f(x)]0有且仅有3个根 ③方程f[f(x)]0有且仅有5个根 ④方程g[g(x)]0有且仅有4个根

答案：1D 2（0，1） 3 A 4[－1, 2)∪(2, +∞) 5 略 6B 7---11略

其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.