第6节 对数与对数函数
考试要求 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函1
数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要
2的函数模型；4.了解指数函数y＝a(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.
知 识 梳 理
1.对数的概念
如果a＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：①a(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaM＝nlogaM(n∈R).
logaN(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0).
logab3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
nlogNxxa＝N；②logaa＝b(a>0，且a≠1).
bMN a>1 0 图象 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 性质 当x>1时，y>0； 当0 1 (1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1). logba(2)logamb＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0). 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. nx当x>1时，y<0； 当0 象只在第一、四象限. 诊 断 自 测 1.判断以下结论正误(在括号内打“√〞或“×〞) (1)log2x＝2log2x.( ) (2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.( ) 1＋x(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( ) 1－x(4)当x>1时，假设logax>logbx，那么a - 2 - / 18 2 2 word (4)假设0 解析 原式＝2log23×(2log32)＋log5(10×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6. 答案 D 11 3.(老教材必修1P73T3改编)a＝23，b＝log2，c＝log1，那么( ) 323 1 － 2 A.a>b>cB.a>c>b C.c>b>aD.c>a>b 1 解析 ∵0 23∴c>a>b. 答案 D 4.(2018·全国Ⅲ卷)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，那么( ) A.a＋b 解析 由题设，得＝log0.30.2>0，＝log0.32<0. ab11a＋b∴0<＋＝log0.30.4<1，即0<<1. abab又a>0，b<0，故ab A.a>1，c>1 B.a>1，0 word C.0 1＝log2(－x)＋m，且f＝2，那么m＝________. 21解析 由f＝2，且f(x)为奇函数. 2 111∴f－＝－f＝－2，因此log2＋m＝－2，那么m＝1－2. 222答案 1－2 考点一 对数的运算 11ab[例1] (1)设2＝5＝m，且＋＝2，那么m等于( ) abA.10B.10 C.20 D.100 〔1－log63〕＋log62·log618 (2)计算：＝________. log64解析 (1)由，得a＝log2m，b＝log5m， 1111那么＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2. ablog2mlog5m解得m＝10. 62 1－2log63＋〔log63〕＋log6·log6〔6×3〕 3 (2)原式＝ log641－2log63＋〔log63〕＋1－〔log63〕＝ log64＝ 2〔1－log63〕log66－log63log62 ＝＝＝1. 2log62log62log62 2 2 2 答案 (1)A (2)1 规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法那么化简合并. - 4 - / 18 word 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法那么，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.a＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. [训练1] (1)(2019·卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星5E1 等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).太阳的星等是－26.7， 2E2天狼星的星等是－1.45，那么太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.10 10.1 bB.10.1 C.lg 10.1 D.10 －10.1 5ba(2)(多填题)a>b>1，假设logab＋logba＝，a＝b，那么a＝________，b＝________. 25E1 解析 (1)依题意，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得lg ＝－1.45－(－26.7)＝ 2E225.25. E12E110.1 所以lg ＝25.25×＝10.1，即＝10. E25E2 15 (2)设logba＝t，那么t>1，因为t＋＝， t2所以t＝2，那么a＝b.又a＝b， 所以b＝bb，即2b＝b， 又a>b>1，解得b＝2，a＝4. 答案 (1)A (2)4 2 考点二 对数函数的图象及应用 [例2] (1)(2020·某某调研)lg a＋lg b＝0，那么函数f(x)＝a与函数g(x)＝logbx的图象可能是( ) －x2b2 22 ba- 5 - / 18 word log2x，x>0， (2)函数f(x)＝x且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，那么实数a3，x≤0， 的取值X围是________. 解析 (1)由lg a＋lg b＝0，得ab＝1. 1－xx∴f(x)＝a＝＝b， b 因此f(x)＝b与g(x)＝logbx单调性相同. A，B，D中的函数单调性相反，只有C的函数单调性相同. (2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋ x－xa在y轴上的截距. 由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点. 答案 (1)C (2)(1，＋∞) 规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. [训练2] (1)假设函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，那么f〔a〕f〔b〕f〔c〕 ，，的大小abc- 6 - / 18 word 关系是( ) A.C. f〔a〕f〔b〕f〔c〕f〔c〕f〔b〕f〔a〕 >>B.>> abccbaf〔b〕f〔a〕f〔c〕f〔a〕f〔c〕f〔b〕 >>D.>> bacacb2 (2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1) 2 解析 (1)由题意可得， f〔a〕f〔b〕f〔c〕 ，，分别看作函数f(x)＝log2(x＋1)图象上的点abc(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))与原点连线的斜率.结合图象可知当a>b>c时， f〔c〕f〔b〕f〔a〕 >>. cba(2)由题意，易知a>1. 如图，在同一坐标系内作出y＝(x－1)，x∈(1，2)及y＝logax，x∈(1，2)的图象. 假设y＝logax过点(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2. 根据题意，函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)，x∈(1，2)的上方. 结合图象，a的取值X围是(1，2]. 2 2 答案 (1)B (2)C 考点三 解决与对数函数性质有关的问题 角度1 比较大小 [例3－1] (1)a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，那么a，b，c的大小关系是( ) A.a＝b (2)(2019·某某卷)a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.5，那么a，b，c的大小关系为( ) A.a 0.2 多维探究 word 3 解析 (1)因为a＝log23＋log23＝log233＝log23>1，b＝log29－log23＝log233＝a，c2＝log32 因为y＝0.5是减函数，所以0.5＝0.5 [例3－2] (1)(2020·某某诊断)定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，那么不等式f(log2x)>2的解集为( ) x1 0.2 0 1A.(2，＋∞) B.0，∪(2，＋∞) 2 C.0，2 ∪(2，＋∞) D.(2，＋∞) 2 (2)函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，假设f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，那么实数 a的取值X围是________. 解析 (1)因为偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又 f(1)＝2，所以不等式f(log2x)>2，即|log2x|>1，解得0 (2)当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立， 那么f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>a， 8 解得1 当0 知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0. - 8 - / 18 12 word ∴8－a 8综上可知，实数a的取值X围是1，. 38答案 (1)B (2)1， 3 规律方法 形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0 (1)假设函数f(x)是R上的奇函数，求a的值； (2)假设函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值X围； (3)假设函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，某某数a的取值X围. 解 (1)假设函数f(x)是R上的奇函数，那么f(0)＝0， ∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0. 当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数. 所以a＝0. 1 (2)假设函数f(x)的定义域是一切实数，那么x＋a>0恒成立. 211 即a>－x恒成立，由于－x∈(－∞，0)， 22故只要a≥0，那么a的取值X围是[0，＋∞). (3)由得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值 1是f(1)＝log2＋a. 2 1由题设得log2(1＋a)－log2＋a≥2， 2 那么log2(1＋a)≥log2(4a＋2). 1＋a≥4a＋2，11∴解得－ 11 故实数a的取值X围是－，－. 32 规律方法 1.研究函数性质，要树立定义域优先的原那么，讨论函数的一切问题都在定义域 - 9 - / 18 word 上进行. 2.解题注意几点：(1)由f(0)＝0，得a＝0，需验证f(－x)＝－f(x).(2)f(x)的定义域为R，转化为不等式恒成立问题.(3)第(3)问运用转化思想，把对数不等式转化为等价的代数不等式. 1 [训练3] (1)(角度1)(一题多解)(2018·某某卷)a＝log2e，b＝ln 2，c＝log1，那么a，b， 23 c的大小关系为( ) A.a>b>cB.b>a>c C.c>b>aD.c>a>b (2)(角度2)设f(x)＝lg 2＋a是奇函数，那么使f(x)<0的x的取值X围是________. 1－x (3)(角度3)函数f(x)＝loga(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(m，n)，且函数g(x)＝mx－2bx＋n在[1，＋∞)上单调递减，那么实数b的取值X围是________. 1 解析 (1)法一 因为a＝log2e>1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝log1＝log23>log2e＝a>1，所以c>a>b. 231 法二 log1＝log23，如图，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，由图知c>a>b. 32 2 (2)由f(x)是奇函数可得a＝－1， 1＋x∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1). 1－x1＋x由f(x)<0，可得0<<1，∴－1 2所以实数b的取值X围为[－1，＋∞). 答案 (1)D (2)(－1，0) (3)[－1，＋∞) 2 2 - 10 - / 18 word 赢得高分 基本初等函数的应用“瓶颈题〞突破 以基本初等函数为载体考查函数的应用，常考常新.命题多与函数零点(不等式)、参数的求值交汇，如2017·全国Ⅲ卷·T15，2018·全国Ⅰ卷·T9，2019·全国Ⅲ卷·T11，解题的关键是活用函数的图象与性质，重视导数的工具作用. x1x[典例] (2020·某某模拟)函数f(x)＝e，g(x)＝ln ＋，对任意a∈R，存在b∈(0，＋∞)， 22 使f(a)＝g(b)，那么b－a的最小值为( ) 12 A.2e－1 B.e－ 2C.2－ln 2 D.2＋ln 2 解析 存在b∈(0，＋∞)，使f(a)＝g(b)， b1b1aa那么e＝ln ＋，令t＝e＝ln ＋>0. 2222 ∴a＝ln t，b＝2e设φ(t)＝2e t－1 t－ 12 ，那么b－a＝2e t－ 12 －ln t. t－ －ln t，那么φ′(t)＝2e2 1 －(t>0). 2 1 t11显然φ′(t)在(0，＋∞)上是增函数，当t＝时，φ′＝0. 221 ∴φ′(t)有唯一零点t＝. 2 11故当t＝时，φ(t)取得最小值φ＝2＋ln 2. 22答案 D 思维升华 1.解题的关键：(1)由f(a)＝g(b)，引入参数t表示a，b两个量.(2)构造函数，转化为求函数的最值. 2.可导函数唯一极值点也是函数的最值点，导数是求解函数最值的工具. |2－1|，x≤2， [训练] (2020·某某一中检测)函数f(x)＝ －x＋5，x>2. x假设互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，那么2＋2＋2的取值X围是( ) A.(16，32) B.(18，34) C.(17，35) D.(6，7) 解析 画出函数f(x)的图象如下图. abc- 11 - / 18 word 不妨设a 由f(a)＝f(b)，得1－2＝2－1，那么2＋2＝2. 又f(a)＝f(b)＝f(c)，结合图象，得0<5－c<1，那么4 一、选择题 2，x≥4， 1.函数f(x)＝那么f(2＋log23)的值为( ) f〔x＋1〕，x<4， xcabcababA.24 B.16 C.12 D.8 解析 因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝2答案 A 2.(2020·某某长郡中学联考)实数a＝2关系是( ) A.c ln 2 3＋log3 2 ＝8×2 log32 ＝24. ，b＝2＋2ln 2，c＝(ln 2)，那么a，b，c的大小 2 ∈(1，2)，b>2，c＝(ln 2)∈(0，1). 2 因此b>a>c. 答案 D 3.假设函数f(x)＝a－a(a>0且a≠1)在R上为减函数，那么函数y＝loga(|x|－1)的图象可能是( ) x－x- 12 - / 18 word 解析 由f(x)在R上是减函数，知0 ∴当x>1时，y＝loga(x－1)的图象由y＝logax的图象向右平移一个单位得到.因此选项D正确. 答案 D 113 4.(2020·某某联考)假设函数f(x)＝|x|＋x，那么f(lg 2)＋flg ＋f(lg 5)＋flg ＝ 25 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析 由于f(x)＝|x|＋x，得f(－x)＋f(x)＝2|x|. 11 又lg ＝－lg 2，lg ＝－lg 5. 25 所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2. 答案 A 3 2315.假设函数f(x)＝logax＋x(a>0，且a≠1)在区间，＋∞内恒有f(x)>0，那么f(x)的 22 单调递增区间为( ) A.(0，＋∞) B.(2，＋∞) 1C.(1，＋∞) D.，＋∞ 2 312 解析 令M＝x＋x，当x∈，＋∞时，M∈(1，＋∞)，恒有f(x)>0，所以a>1，所以函数 22 y＝logaM为增函数，又M＝x＋－， 4 32 916 3因为M的单调递增区间为－，＋∞. 4 332 又x＋x>0，所以x>0或x<－， 22 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞). 答案 A - 13 - / 18 word 二、填空题 6.(2020·某某统考)2解析 2 3logx4 3 3logx43 ＝27，那么x的值为________. 3 23 3 3 3 ＝2 logx22＝x2，又27＝3＝(3)2＝92，所以x2＝92，所以x＝9. 答案 9 7.(2019·全国Ⅱ卷)f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－e，假设f(ln 2)＝8，那么a＝________. 解析 由题意得，当x>0，－x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－e aln 2 －axax)＝e －ax，所以f(ln 2)＝e － ＝e －aln 2 ＝2＝8＝2，即2＝2，所以a＝－3. －a3－a3 答案 －3 2，x≤1， 8.设函数f(x)＝那么满足f(x)≤2的x的取值X围是________. 1－log2x，x>1， 1－x解析 当x≤1时，由2 1－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1； 1 当x>1时，由1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1. 2综上可知，x≥0. 答案 [0，＋∞) 三、解答题 1＋ax9.函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数. x－1(1)求a的值与函数f(x)的定义域； (2)假设当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，某某数m的取值X围. 1＋ax解 (1)因为函数f(x)＝log2是奇函数， x－1所以f(－x)＝－f(x)， 1－ax1＋ax所以log2＝－log2， －x－1x－1即log2 ax－1x－1 ＝log2， x＋11＋ax1＋x所以a＝1，f(x)＝log2， x－1令 1＋x>0，解得x<－1或x>1， x－1 - 14 - / 18 word 所以函数的定义域为{x|x<－1或x>1}. (2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)， 当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1. 因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立， 所以m≤1，所以m的取值X围是(－∞，1]. 10.函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝log1x. 2 (1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(x－1)>－2. 解 (1)当x<0时，－x>0，那么f(－x)＝log1(－x). 2 2 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log1(－x)， 2 所以函数f(x)的解析式为 f(x)＝0，x＝0， log〔－x〕，x<0. logx，x>0， 2112 (2)因为f(4)＝log14＝－2，f(x)是偶函数，且f(0)＝0>－2， 2 所以不等式f(x－1)>－2转化为f(|x－1|)>f(4). 又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x－1|<4，解得－5 1111.(2019·某某卷)在同一直角坐标系中，函数y＝x，y＝logax＋(a>0，且a≠1)的图象可 a2能是( ) 2 22 - 15 - / 18 word 111解析 假设a>1，那么y＝x单调递减，A，B，D不符合，且y＝logax＋过定点，0，Ca22项不符合，因此0 12.(2017·全国Ⅰ卷)设x，y，z为正数，且2＝3＝5，那么( ) A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z 解析 令t＝2＝3＝5， ∵x，y，z为正数，∴t>1. lg tlg tlg t那么x＝log2t＝，同理，y＝，z＝. lg 2lg 3lg 52lg t3lg tlg t〔2lg 3－3lg 2〕 ∴2x－3y＝－＝ lg 2lg 3lg 2×lg 3＝ lg t〔lg 9－lg 8〕 >0， lg 2×lg 3 xyzxyz∴2x>3y. 2lg t5lg tlg t〔2lg 5－5lg 2〕 又∵2x－5z＝－＝ lg 2lg 5lg 2×lg 5＝ lg t〔lg 25－lg 32〕 <0， lg 2×lg 5 ∴2x<5z，∴3y<2x<5z. - 16 - / 18 word 答案 D 13.设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a 14.函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； (2)如果对任意的x∈[1，4]不等式f(x)·f(x)>k·g(x)恒成立，某某数k的取值X围. 解 (1)h(x)＝(4－2log2x)log2x＝2－2(log2x－1) 因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]， 故函数h(x)的值域为[0，2]. (2)由f(x)·f(x)>k·g(x)， 得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x， 令t＝log2x，因为x∈[1，4]， 所以t＝log2x∈[0，2]， 所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立， ①当t＝0时，k∈R； 〔3－4t〕〔3－t〕②当t∈(0，2]时，k<恒成立， 2 2 2 t9 即k<4t＋－15， t993 因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号， tt29 所以4t＋－15的最小值为－3. t所以k<－3. - 17 - / 18 word 综上，实数k的取值X围为(－∞，－3). C级 创新猜想 15.(情境创新题)(2020·某某调研)函数f(x)的定义域为D，假设满足：①f(x)在D内是单调 函数；②存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为，，那么就称y＝f(x)为“半保值22 函数〞，假设函数f(x)＝loga(a＋t)(a>0，且a≠1)是“半保值函数〞，那么t的取值X围为( ) 1110，A.B.－，0∪0， 422 x2 ab111C.0，D.－， 222 解析 函数f(x)＝loga(a＋t)(a<0，且a≠1)是“半保值函数〞，且定义域为R.当a>1时， x2 z＝ax＋t2在R上递增，y＝logaz在(0，＋∞)上递增，可得f(x)为R上的增函数；当0 1x2 ∴f(x)在定义域R上为增函数，f(x)＝loga(a＋t)＝x， 2∴a＋t＝a2，那么a－a2＋t＝0. xx2 1 xxx2 令u＝a2，u>0， 那么u－u＋t＝0有两个不相等的正实根. 得Δ＝1－4t>0，且t>0， 2 2 2 2 1121 ∴0 答案 B - 18 - / 18 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容