第^一讲分数与循环小数
同学们在计算分数的时候一定碰到过除不尽的情况•比如计算 1 3，我们会发现商在0
和小数点之后一直出现 3,怎么也计算不完；再比如在计算 3 7的时候，我们会发现商在 0 和小数点之后不停的出现 428571 .
像这样，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数， 如0.333…、0.428571428571…和1.2357357357…都是循环小数.
通常我们把0.333…简写成0.&,把0.428571428571…简写成0.42857&,把 1.2357357357…简写成1.2&5&. —个循环小数的小数部分里，依次不断重复出现的一段数 字，叫做这个循环小数的 循环节.上面三个循环小数的循环节分别为
环节从小数点后第一位开始的循环小数，叫做
叫做循环小数•例
3、428571和357.循
纯循环小数，例如0.&和 0.42857&•不是从
第一位开始的循环小数，叫做混循环小数，例如1.2&5&.
F面我们来学习一下分数与小数之间的互化.
以分母即可•例如 -
把分数化为小数非常简单， 直接用分子除
5
0.4,
_8
8 15 0.5&. 15
将下列分数化为小数:
44 10 13
「分析」要把分数化小数，可以列除法竖式计算.对于除不尽的情况，注意寻找循环节.
将下列分数化为小数:
17
14
22 3
5 7
,
7 11
20 25
6
4
9
分母为7的循环小数可 由此产生
分母为13的循环小数可 由此产生 反过来，我们怎么把
对于任意一个分数， 我们一定可以把它化成有限小数或循环小数.
一个小数化成分数呢？有限小数化分数很简单， 有限小数都可以化成分母是 数有以下的规律.
例如0.12丄2
, 3.749 3 749 ,每个
100 25 1000
3
10、100、1000、……的分数•那么循环小数呢？循环小数化分
(1) 纯循环小数化分数：我们从分子和分母两方面来考虑.
分子是由循环节所组成的多位数；
而分母则由若干个 9组成，且9的个数恰好等于循环
节的位数.比如 0於 5 , 1.7& 170 , 5.&194& 5 1949 •
9 99 99999
(2) 混循环小数化成分数：我们同样从分子与分母两方面来考虑.
分子是两数相减所得的差，其中被减数是从小数点后第一位到第一个循环节末位所组成 的多位数，而减数则是小数点后不循环的数字组成的多位数；分母由若干个 组成，9的个数等于循环节的位数，
9和若干个0
1223
0的个数等于小数点后不循环部分的位数.比如
&& 2094 20 1037 , 0.20&& -
90000 9900 4950
&& 618 6
0.6&&
990 & 1358 135
, 0.0135&
990 55 90000
612 34
请同学们务必牢记以上方法，熟练使用.
把下列循环小数转化为分数：
0.&, 0.2：&, 0.&8&, 0.5&, 6.36&3&.
最后一定要注意将结果
「分析」把循环小数化成分数，我们可以直接使用上面所学的方法， 约分成最简分数.
把下列循环小数转化为分数： 0.& 0.&&, 0.&2&, 0.12&.
在把分数化成循环小数时，除了直接除，还可以通过扩分把分母变成 殊形式来转化.
9、99、999等特
把下列分数化成循环小数：
2 , 14 ,丝,11 ,色.
11 37 101
45 35
11可以扩成 99, 那 37、101
「分析」除了直接除，还可以先把分母变成特殊数后再转化. 可以扩成多少呢？ 45和35呢？
把下列分数化成循环小数:
7 1 90 3 11 33 ' 27 ' 1001 ' 14 ' 36
可以发现，分数转化成的小数的类型和分母中含有质因数
2和5的个数有关.如果最简
2
分数的分母的质因数只有 2和5,会化成有限小数；如果最简分数的分母的质因数中没有 或5,会化成纯循环小数；如果最简分数的分母的质因数中既有 化成混循环小数.
对于循环小数的加减法，我们既可以先化成分数再计算，也可以直接列竖式计算. 但在列竖式时，同学们一定要把数位对齐.要计算出正确结果，我们应该多写出几位再 加减，然后看最后的和或差的数字规律，尤其在加数循环节位数不一样时，更要多加小心， 再多写几位.
2或5,也有其他质数，会
1 1
1
1
0. 1
+
0 . 2 0
1 1 1 1
3 1 1
1
1
3
1
1
1 1 3 11 1 4 1 2
1
1
1
循环节有2位 循环节有3位
3 6
4
1
2 5
3 4
3 5
7 1 3
1
循环节有6位
0.1& 0.&3& 0.365547
在计算时同学们要多注意进位问题，我们必须牢牢记住省略号表示后面还有无穷多位数 字，它们在计算时仍然可能出现进位的情况.
计算：(1) 0•磁 0.&&; (2) 0.6& 0.5!&; ( 3) 0.&& 0.43& (4) 0.&& 0.&3&; (5) 0.7& 0.&; (6) 0.34& 0.1&&.
「分析」对于一般小数的加法，我们都可以列竖式计算•那么循环小数的加法， 样呢？在竖式中的循环节又应该怎么处理呢？
另外，我们已经学过了循环小数如何化为分数，那么我们能不能利用分数来计算呢？
是不是也一
计算：(1) 0.&& 0.&7&; (2) 0.1&& 0.&5& (3) 0.&& 0.&5&.
由于循环节的存在，循环小数小数点后数字排列具有周期性.比如 位，小数部0.4&的循环节有两 分以4、8为一个周期.利用周期性，我们就可以知道小数点后若干位的数字是 多少.
把真分数a化成小数后，小数点后第 2013位上的数字是1. a是多少？
7
「分析」a是一个真分数，所以 a必须小于7,只能是1、2、3、4、5、6中的一个.请同
7
学们，自己试着计算一下分母是
7的各个分数，发现什么规律了吗？
将最简真分数a化成小数后，从小数点后第一位开始的连续
n位数之和为9006, a与n分
7
别为多少？
「分析」a是1、2、3、4、5、6中的一个.试着计算一下 -、-、
-化成小数后，小
7
数点后连续1000位之和.发现什么规律了吗？
7
7
神奇的0.&
“ 0.&和1谁更大？”数学课上，老师请同学们做这样的比较. “肯定是1大”，同学们异口同声地回答. “等会儿大家自己算吧”老师神秘地笑了笑. 为了验证这个答案，老师讲循环小数化分数的时候， 同学们听得特别认真.老师一讲完，
他们就迫不及待的开始验证了：
由循环小数化分数的公式： 0.&的循环节有一位，所以它化为分数之后，分母为 9,分
子也是9.
因此，0.& 9
1 .
9
“咦，0.&和1怎么是一样的？”
“ 0.&竟然是个假冒的循环小数！ ”这下，同学们你看看我，我看看你，都傻眼了. “对啊，0.&就等于1.大家现在不但能把循环小数化为分数，还查出了冒牌货！
笑着鼓励大家.
0 9999999删狮腮
”老师
作业1.
将下列分数化为小数：33，
2
4
—3 ? —57 5 ， —6
. 作业2. 把下列循环小数转化为分数：
0.&&，
0.&4@
作业3.
把下列循环小数转化为分数：
0.1&， 0.2&&
作业 4.计算：(1) 0.0& 0.2& 0.6&，(2) 0.&& 0.7&.
作业5.
(1 )把6化成小数后，小数点后第
2013位上的数字是多少？
7
(2)把真分数a化成小数后，小数点后第
2013位上的数字是1. 7
a是多少?
第^一讲分数与循环小数
例题1.答案： 例题2.答案： 例题3.答案：
0.375, 0.8& 4念,0.285714&, 0.769230&.
4 9
8 33
5 27
17 30
n 811
6 2220
0.&&, 0.37& 0.217& 0.2尿,0.0857142& .
例题4. (1) 0.4&; (2) 1.26&; (3) 0.55&; (4) 0.555646&; (5) 0.31&; (6)
0.2332241&.
例题5.答案：4
详解：分母为7的真分数化为小数后，循环节都是六位的，且六 个数字都是1、4、2、8、5、7 （顺序不同）.2013除以6余3, 说明循环节第三位是1,所以是571428循环，这个真分数是上.
7
例题6.答案:
2002或者
a
2 2001
详解：分母为7的真分数化为小数后，每个循环节的六个数字之 和都是1 4 2 8 5 7 27 . 9006 27
333L L 15，说明在小数点后的
n
个数字中，有333个循环节，之后剩余的数字之和是15,可能是
1 4 2 8，对应的分数是1 , a 1 , n 6 333 4 2002 .也有可能是
7 2 2 8 5，对应的分数是 7 , a 2 , n 6 333 3 2001 .
练习 1.答案：0.85, 0.56， 7.&，0.714285&， 0.63^.
练习2.答案：9，火，蟲，誥 练习 3.答案：0.2&，0.037&， 0.089910&，
0.21&12857&， 0.30$.
练习 4.答案：(1 ) 1.44253多；(2) 0.5796887&； ( 3) 0.373919&.
作业 1.答案：(1) 8.25; (2) 0.&; ( 3) 0.&1428& ； ( 4) 0.8&.
作业2.答案：2 ；上
11 27
简答：提示，37是999的约数.
作业3.答案：-;业
6 165
简答：提示，牢记循环小数化分数的方法，并注意约分.
作业 4. 答案：0.8& ( 89 )； 1.& ( 11 )
99 9
简答：列竖式或将循环小数化为分数均可.
作业5.答案：(1) 7; (2) 4
简答：(1) 6 0.85714&，利用周期问题的解决方法：2013 6 335L L 3， 所求位上的数字是7. (2)因为不管是7分之几，一定是6位循 环节的纯循环小数，由于2013 6 335L L 3，根据题意，说明循环节 的第3位上是1，可知是4 .
7
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