浅谈数学课中题组教学的几种形式

3.2 尊重主体，激发热情

建模活动中问题的解决与学生的生活经验、学习经验以及理解能力有很大的关系．在教学过程中，教师需充分发挥学生的主体作用，尊重学生的个性化思考，激励学生独立探索，从不同的角度理解问题，用不同的方法解决问题．只有充分尊重学生的认知水平，发挥学生在认知活动中的主体作

用，并通过自身的不断探索和尝试，才能有助于激发学生学习数学的热情、感悟数学建模的魅力．

3.3 与时俱进，信息助力

信息化是当今世界和社会发展的大趋势，信息技术在数学教学中，尤其是数学建模教学中凸显重要作用．使用信息技术更方便地呈现丰富多彩的问题情境，使学生更好地理解问题，并大大增加了研究的趣味性．建模问题的数据来源于实际生活，往往带来较繁琐的数学计算，利用信息技术更有助于对数据的处理．对于较复杂的建模问题，尤其是建模比赛中的问题，往往离不开利用计算机编程．

总之，当今课程改革越来越强调数学应用，中学数学建模也开始了新的探索，笔者所在高中每年组队参加数学建模比赛，均取得优异成绩．数学建模教学将在当今数学教学中不断深入，应用也将越来越广泛．作为教师，需积极研究建模教学，促进学生数学核心素养的发展．

浅谈数学课中题组教学的几种形式

刘国华 江苏省海安市实验中学（226600）

我们知道，掌握知识和培养学生思维能力是x2+10（4）求函数y=的最小值．

2中学数学教学的主线，而优化的题组教学，可培x+9养学生的优秀的思维品质，发展能力，从而提高题（1）通过分类讨论，来巩固“一正”；（2）了课堂教学质量．本文就题组教学的类型与使用（3）通过补项与拆项，巩固“二定”；（4）用来谈一些体会，供参考． 巩固“三相等”，因为用和积不等式等号不成立，

1 概念法则巩固型 故需用他法．常用的方法有：①配：y=x2+9+ 对某个概念，或某个性质，学生多数都是从198810

当=x2+9+−≥6−=，

表象来认识或正面的去理解，模仿式的使用，不22233x+9x+9x+9能很快认识其本质特征，容易造成思维的偏1且仅当x=0时取等号；②用函数y=t+的单调

差．对此应从知识点的各个不同侧面列出题组，t以巩固概念． 性来求解，应注意t=x2+9≥3，易知函数y=t

例如在讲到不等式“a+b≥2ab(a，b∈R+)”1+在t∈[3，+∞)上是单调递增，故当t=3时，函

的应用时，用如下一组练习来巩固“一正，二定，t10三相等”的条件是很有效的．

数y有最小值．

31

（1）求函数y=x++1(x≠0)的最值；

2 规律探索型 x

1数学的发展归功于创造，只有善于观察，勇

的最小值； （2）求函数=yx2+2x+1于探索，才能有创造，所以我们数学教学的一个1重要目的是教会学生探索和发现．而一组同类命（3）求函数y=x+2(x>0)的最小值； x38 福建中学数学 2019年第7期 题的训练，可引导学生发现规律，探索结论，培养自主学习能力．例如下列题组：

（1）已知定点A(1，5)，F为双曲线y2−x2=1上的焦点，点P在双曲线上移动，求使|AP|+22⋅

|FP|取最小值时的P点坐标；

（2）已知定点A(2，1)，F为椭圆16x2+25y2= 400的左焦点，点P在椭圆上移动，求3|PA|+5⋅ |PF|的最小值；

（3）抛物线y2=−8x内有一点A(−2，2)，抛

物线焦点F，在抛物线上有点P，若|AP|+|FP|最小时，求P点坐标．

通过分析讨论引导学生得出它们是同一类

题目，即：在圆锥曲线上找一点P，使|PA|+1

e⋅

|PF|最短．

由圆锥曲线的统一定义并利用几何性质可解此类题目，方法是：过A作与F对应的准

线的垂线，垂直线段长即为最小值，垂线与曲线的交点即为所求的点．

3 知识网络构建型

在教学中，当几个知识点、几块相关内容新课完成时，为了构建知识网络，应采用题组教学的形式，来巩固已学的各单块内容，并把它们串联起来，行成新的认知结构．

例如，在学习一元二次不等式的解法时，可用以下题组：

已知函数f(x)2x2+4x−6， （1）求函数图象的顶点坐标及对称轴方程； （2）判定方程2x2+4x−6=0有无实数根； （3）求不等式2x2+4x−6≤0的解集；

（4）若不等式2x2+4x>m恒成立，求实数m的范围．

通过画出二次函数的图象分析，可使上述各题轻松获解．而此题组将二次函数、二次方程、及一元二次不等式有机地结合起来，再统一到利用二次函数的图象来求解，这样使学生能深刻理解各知识的内在联系，这是各个小题本身所不能起到的作用．

4 错误纠正强化型

数学中许多概念具有相似性，或是相近的、相通的，这就使学生在学习中容易造成混淆，通过题组的辨析，弄清异同，纠正理解的偏差，提

高了学生的判断能力，同时也从更深的层次上理解了概念．如题组：对不等式x+(a+1)x+a<0，分别求满足下列条件的实数a的取值范围：

（1）不等式的解集为[0，3)；

（2）不等式在[0，3)上有解； （3）不等式在[0，3)上恒成立；

（4）不等式的解集总是区间[0，3)的子集． 分析 由x+(a+1)x+a<0 ⇒(x+1)(x+a)<0 ⇒x+a<0，

当a≥0时，x+a<0无解，原不等式解集为空集；

当a<0时，原不等式解集为[0，a2)．

（1）必须且只须a<0时，[0，3)=[0，a2) ⇒a2=3且a<0，故a=−3；

（2）必须且只须[0，3)[0，a2)≠∅， 则a<0时均适合，故a∈(−∞，0)； （3）必须且只须[0，

3)⊆[0，a2)，且a<0 ⇒a2≥3且a<0，则a≤−3，

故a∈(−∞，−3]；

（4）应有a<0时，满足[0，3)⊇[0，a2) ⇒a∈[−3，0)或为空集（即a≥0）， 故a∈[−3，+∞)．

以上4个小题很容易混淆的，也经常造成错解，通过上题练习，弄清了四个不同的概念，也学会了解这些不同类型的题目所使用的方法．

5 思维拓展迁移型

围绕一个核心题变换题目的条件，结论和表达形式，可得到许多类型的题目，如果核心题解决了，其他题也就迎刃而解了，从而会解一条题，就能解一片题．同时，也学会了对一道题的联想、类比、推广和引伸，增加了视野，拓宽了思路．

例如，求cos2A+cos2(A−60)+cos2(A+60)的值．

在降次、利用和角公式化简后，容易得到原式等于32，在学生掌握这道题的解法后，可作如

下题型变化：

（1）已知sinA+sinB+sinC=cosA+cosB+ cosC=0，求证：cos2A+cos2B+cos2C为定值；

2019年第7期 福建中学数学 39

（2）是否存在常数α，且0<α<

π

，使函2

数f(x)=cos2x+cos2(α−x)+cos2(α+x)为常数，并证明你的结论．

变式（1）将原题的角的条件，用另一种形式给出，并变为证明题，由条件等式采用移项后，

11

平方相加得cos(A−B)=−，cos(C−B)=−，所

22

2π2π以A=2kπ±+B，C=2kπ±+B，k∈Z，所

33ππ2以cos2A=cos2(B−)，cos=Ccos2(B+)，用原

33

题结论可获解．

变式（2）是探索性命题，仿照原题解法，

π化简f(x)，分离出α，可得α=时结论成立．

3以上谈了5种题组教学的形式，若平时教学中经常使用这类题组教学形式，对学生思维品质的培养会有很大收益．然而思维能力是一项综合能力，而这个综合能力的培养是一个长期又艰巨的任务，有待于广大数学教师坚持不懈的努力．

一道选择题的探究

杨 娟 上海市金汇实验学校（201103）

接法求图形面积的能力的话，应该用填空题的形式1 试题呈现

更为恰当．可见命题者的初衷肯定另有深意． 如图1，正方形ABCD和CEFG的边长分别是

根据间接法的结论，∆AEG的面积只与n的大． m，n，那么∆AEG的面积的值（ ）

小有关，与m的大小无关．反映到图中，即保持正n的大小都有关 Ａ．与m，

方形CEFG的大小不变（n不变），随意变换正方形Ｂ．与m，n的大小都无关

，∆AEG的面积始终是定ABCD的大小（m可变）Ｃ．只与m的大小有关

1Ｄ．只与n的大小有关 值n2． 2ADGF至此，学生可能会有疑问：要是正方形ABCD

B1CE 变得很大，或者变得很小，∆AEG的面积还是n22图1

吗？这时候，图形上的直观感受和客观计算结果之首先，图中∆AEG的高不易求得，所以直接用

间就产生了矛盾．因此，需要引导学生换个角度来面积公式求解比较困难．因此，大多数同学采用的

看待这个问题． 都是间接法．即∆AEG的面积=正方形ABCD的面

如果直接采用三角形的面积公式求解，那么就积+正方形CEFG的面积−∆ABE的面积−∆ADE的

需要把∆AEG的某一条边当作为底，再作其对应的面积−∆GFE的面积．计算过程如下：

高来求解．首先，我们运用勾股定理分别计算出S∆AEG=S正ABCD+S正CEFG−S∆ABE−S∆ADG−S∆GFEAG，AE和GE的长度，用m和n来表示． 111222=m+n−m(m+n)−m(m−n)−n222 AG=m2+(m−n)2；

1=n2． AE=m2+(m+n)2； 2GE=2n． 所以选D，∆AEG的面积只与n的大小有关．

因为S∆AEG只与n有关，而恰好GE的长度只与2 反思

n有关，因此以GE为底，作高AH，如图2．下面，首先，这是一道选择题，并没有要求学生求出

只要求出AH的长度即可．连接CF交GE于点O，∆AEG的面积的具体值，而只是判断其与m和n的

连接AC．因为ABCD和CEFG都是正方形．所以大小是否有关．如果出题者是为了考察学生运用间