含参一元二次不等式的解法

含参一元二次不等式的解法

温县第一高级中学数学组 任利民

解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点.解含参一元二次不等式时对参数的分类主要依据有三个因素：①比较两根大小；②判别式的符号；③二次项系数的符号.下面例举几例来加以分析说明.

一、 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类

2xxa(a1)0.

例1解关于x的不等式

分析：原不等式等价于(xa)(xa1)0，所对应方程的两根是

xa或x1a.这两个根的大小关系不确定，因此分类的标准是a与1a的大小111a,a,a222这三类. 关系.这样就容易将a分成

解：原不等式等价于(xa)(xa1)0，所对应方程的两根是xa或x1a.

当

a12时，有a1a，所以不等式的解集为{xxa或x1a}.

11ax}{xxR2时，有a1a，所以不等式的解集为2 当且1a2时，有a1a，所以不等式的解集为{xx1a或xa}. 当

【评注】对参数进行的讨论是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类讨论.当二次项系数不含参数且能进行因式分解时，其解法较容易，只讨论根的大小.

1本题中对a的讨论时，2的选取依据就是比较两个根的大小.解题关键是熟练掌握二次函数

的图象特征，做到眼中有题，心中有图.

二、 根据判别式的符号分类

22xax20. 例2解关于x的不等式

2f(x)2xax2，欲确定f(x)0的根的情况，需讨论

分析：设

0,0,0三种情况，由此来确定f(x)的图像，并最终确定不等式的解集.

2a16 解：不等式所对应方程的判别式

① 当0，即a4或a4时，原不等式所对应方程的两根为:

aa216aa216xx44或,

aa216aa216{xxx}44原不等式的解集为或

② 当0，得a4.

当a4时,原不等式的解集为{xxR且x1}.

{xxR且x1}.

当a4时,原不等式的解集为

③ 当0，即4a4时, 原不等式的解集为R.

【评注】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对分类讨论，或利用二次函数图象求解.本题对a讨论时，4的选取依据是题设条件和根存在的条件.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式的符号分类.

三、 根据二次项系数的符号分类

例3解关于x的不等式ax22xa0.

分析：二次项系数决定了不等式的性质（a0时，是一次不等式；a0时，是二次不等式）.原不等式对应方程的根无法确定，需讨论的符号

解：①当a0时,原不等式的解集为{xx0}.

244aa0当时,原不等式所对应方程的判别式.

② 当a0时, 0，即0a1时,原不等式的解集为

11a211a2{xx}aa.

当0，即a1时，原不等式的解集为. 当0，即a1时，原不等式的解集为. ③ 当a0时,

0，即1a0时,原不等式的解集为

11a211a2{xxx}aa或

{xx1}a10当，即时，原不等式的解集为.

当0，即a1时，原不等式的解集为R.

【评注】本题中对参数的讨论，选取了0，1，-1其依据是二次项系数的符号、判别式的符号和根的大小.问题比较复杂，但只要抓住这三点，有次序地按大小讨论，问题就不

难解决.另要注意原不等式在a断和识别.

0或a0时所对应的两个根的大小是不同的，要注意判