一．选择题（共10小题，满分30分）
1．抛物线y＝5（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ） A．（﹣2，1） 2．已知＝5，则A．
B．（2，﹣1） 的值是（ ） B．﹣
C．
D．
C．（﹣2，﹣1）
D．（2，1）
3．任意掷一枚均匀的小正方体色子，朝上点数是偶数的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
4．已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（ ） A．3
B．4
C．5
D．6
5．如图，FG∥DE∥BC，若BD＝4，DF＝3，CE＝3，则GE的长为（ ）
A．2
B．4
C．
D．
6．若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（ ） A．π
B．π
C．π
D．2π
7．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（ ）
A．18°
B．36°
C．54°
D．72°
8．如图，A，B，C是直角坐标系中的三个点，现以坐标原点O为位似中心，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'．若点A的坐标为（﹣1，1），则点A'的坐标为（ ） A．（，） B．（C．（，﹣） D．（
，）或 （，﹣） ，﹣）或（，）
9．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x＞0时，函数值y的取值范围是（ ）
A．
B．y≤2
C．y＜2
D．y≤3
10．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线交AC于D，M在AC延长线上，N在BD上，MN经过BC中点E，MD＝MN，若sinA＝，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共6小题，满分18分）
11．抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴的交点坐标是 ．
12．在一个不透明的口袋中装有3个绿球、2个黑球和1个红球，它们除颜色外其余均相同，若从中随机摸出一个球，它是黑球的概率为 ．
13．函数y＝（x+3）2的图象可以由函数y＝x2的图象向 平移3个单位得到． 14．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，若则BC＝ ．
＝，DE＝6，
15．如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是 ．
16．如图，⊙O的半径为，四边形ABCD为⊙O的内接矩形，AD＝6，M为DC中点，
E为⊙O上的一个动点，连结DE，作DF⊥DE交射线EA于F，连结MF，则MF的最大值为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分） 17．计算：
﹣（π﹣1）0+2sin30°．
18．为巩固防疫成果，确保校园平安，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小亮和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）小亮从A测温通道通过的概率是 ；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小亮和小丽从同一个测温通道通过的概率． 19．如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图． （1）在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽△ABC．
（2）在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使CQ＝2AQ．
20．已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣1，0），（3，0）． （1）求该抛物线的对称轴．
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
21．图（1），图（2）分别是某种型号拉杆箱的实物图与抽象图，已知信息：滑杆DE的长＝箱BC的长＝拉杆AB的长，点A，B，C三点共线，固定活钮O为BC的中点，活动支杆OE＝BC＝30cm，点C可以在滑竿DE上移动，设拉杆AB与滑杆DE的夹角为∠α，请根据以上信息，解决下列问题： （1）连接BE， ①求证：BE⊥DE；
②当α＝45°时，DC≈ cm（精确到0.1cm）；
（2）若DC＝20cm，求∠α的度数及拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：≈1.12）
≈1.41，
≈2.236，cos48.2°≈0.667，sin48.2°≈0.745，tan48.2°
22．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）； （2）在上述条件不变，销售正常的情况下，设商场日盈利y元，求y与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最高？
23．如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，且 （1）若
＝
，连接DE．
＝140°，求∠C的度数．
（2）求证AB＝AP．
24．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝3，AB＝4，AD⊥BC于点D，射线CE平行AB交AD的延长线于点E，P是射线CE上一点（在点E的右侧），连结AP交BC于点F．
（1）求证：△ACE∽△BAC． （2）若
，求
的值．
（3）以PF为直径的圆经过△BDE中的某一个顶点时，求所有满足条件的EP的长．
25．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（1，0），（0，）． （1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若该抛物线的顶点为A，与x轴交点为B，C（B在C的左边），求△ABC的面积； （3）在该抛物线上是否存在一点P，使得△ACP的面积与△ABC的面积相等？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分） 1．解：∵抛物线y＝5（x﹣2）2+1， ∴该抛物线的顶点坐标为（2，1）， 故选：D． 2．解：∵＝5， ∴b＝5a， ∴
＝
＝
＝﹣，
故选：A．
3．解：设事件A表示点数是偶数，则它包含的基本事件为点数为2，点数为4，点数为6，共三个
样本空间S的基本事件的总数为6，由此可知p（A）＝＝＝． 故选：C．
4．解：∵点P在圆内，且d＝5， ∴r＞5， 故选：D．
5．解：∵FG∥DE∥BC， ∴
＝
，
∵BD＝4，DF＝3，CE＝3， ∴＝
，
解得：GE＝， 故选：C．
6．解：∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°， ∴此扇形的弧长为故选：B．
7．解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴
，
，∠BAE＝108°，
＝π．
∴，
∴∠BAF＝∠BAE＝54°， ∴∠BDF＝∠BAF＝54°， 故选：C．
8．解：∵以坐标原点O为位似中心，△A′B′C′与△ABC的位似比为， 而点A的坐标为（﹣1，1），
∴点A'的坐标为（﹣，）或（，﹣）． 故选：B．
9．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象过（2，0），（0，2），对称轴为直线x＝0.5，
∴，
∴，
∴二次函数为y＝﹣x2+x+2， ∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+， ∴顶点为（，）
由函数图象可得，当x＞0时，y≤， 故选：A．
10．解：过D作DH⊥AB于H，延长MN交AB于F，如图：
在Rt△ABC中，sinA＝， ∴
＝，
设BC＝6x，则AB＝7x， ∵E为BC中点， ∴BE＝BC＝3x， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠DBH，
∵∠DHB＝∠DCB＝90°，BD＝BD， ∴△BCD≌△BHD（AAS）， ∴BH＝BC＝6x，∠CDB＝∠HDB， ∵MD＝MN， ∴∠CDB＝∠MND， ∴∠MND＝∠HDB， ∴DH∥MN， ∵DH⊥AB，
∴MN⊥AB，即NF⊥AB， ∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝∠A， ∴sin∠BEF＝sinA＝， ∴
＝，即
x，
＝，
∴BF＝
∵NF⊥AB，DH⊥AB， ∴NF∥DH，
∴＝＝＝，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分） 11．解：把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3得y＝3，
所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）． 故答案为（0，3）．
12．解：∵这个不透明的布袋里装有3个绿球、2个黑球和1个红球， ∴从中任意摸出一个球，是白球的概率为＝， 故答案为：．
13．解：函数y＝x2顶点的坐标为（0，0）， 函数y＝（x+3）2的顶点坐标为（﹣3，0）， ∴点（0，0）向左平移3个单位可得（﹣3，0），
∴函数y＝（x+3）2的图象可以由函数y＝x2的图象向左平移3个单位得到． 故答案为：左． 14．解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴∵∴∴
， ， ， ，
∵DE＝6， ∴BC＝16， 故答案为：16．
15．解：设点D在格点上，如图：
在Rt△ABD中，tan∠ABC＝
＝＝2，
故答案为：2．
16．解：如图，连接AC交BD于点O，以AD为边向上作等边△ADJ，连接JF，JA，JD，JM．
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∵AD＝6，AC＝4∴sin∠ACD＝
＝
， ，
∴∠ACD＝60°， ∴∠FED＝∠ACD＝60°， ∵DF⊥DE， ∴∠EDF＝90°， ∴∠EFD＝30°， ∵△JAD是等边三角形， ∴∠AJD＝60°， ∴∠AFD＝∠AJD，
∴点F的运动轨迹是以J为圆心JA为半径的圆， ∴当点F在MJ的延长线上时，FM的值最大， 此时FJ＝6，JM＝∴FM的最大值为6+故答案为：6+
．
，
＝
，
三．解答题（共9小题，满分72分） 17．解：原式＝2﹣1+2× ＝2﹣1+1 ＝2．
18．解：（1）小亮从A测温通道通过的概率是， 故答案为：； （2）列表如下：
A B C
A A，A A，B A，C
B B，A B，B B，C
C C，A C，B C，C
由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小丽从同一个测温通道通过的有3种可能，
所以小亮和小丽从同一个测温通道通过的概率为＝． 19．解：（1）如图1所示，△ADE即为所求；
（2）如图2所示，线段BP即为所求．
20．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣1，0），（3，0）． ∴抛物线的对称轴为直线x＝
＝1；
（2）∵抛物线的对称轴为直线＝1，且a＞0，开口向上， ∴x＜1时，y随x的增大而减小．
21．（1）①证明：∵∴OB＝OC＝OE，
，点O为BC的中点，
∴∠OBE＝∠OEB，∠OCE＝∠OEC， ∵∠OBE+∠OEB+∠OCE+∠OEC＝180°， ∴∠OEB+∠OEC＝90°， ∴∠BEC＝90°， 即BE⊥DE； ②解：α＝45°时， ∵OE＝BC＝30cm，
∴OC＝OE＝30cm，BC＝DE＝60cm， ∴∠α＝∠OEC＝45°， ∴OE⊥BC， ∴CE＝
＝
≈42.4，
∴CD＝DE﹣CE＝60﹣42.4＝17.6（cm）， 故答案为：17.6；
（2）解：如图，过点A作AH垂直DE的延长线于点H，
∵DC＝20cm， ∴CE＝60﹣20＝40cm， 在Rt△BCE中，∴∠α≈48.2°， 在Rt△BCE中，∵BE⊥DE，AH⊥DE， ∴BE∥AH， 又∵AB＝BC，
，
，
∴（cm），
即点A到DE的距离约为89.4cm．
22．解：（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数＝50﹣x，故答案为2x；50﹣x；
（2）y＝（50﹣x）（30+2x）＝﹣2x2+70x+1500； （3）y＝﹣2x2+70x+1500， 当x＝﹣
＝17.5时，y最大．
答：每件商品降价17.5元时，商场日盈利的最大． 23．（1）解：连接BE，如图，
∵BP是直径， ∴∠BEC＝90°， ∵∴∵∴
＝140°， ＝40°， ＝
，
＝80°，
∴∠CBE＝40°， ∴∠C＝50°； ②证明：∵
＝
，
∴∠CBP＝∠EBP，
∵∠ABE+∠A＝90°，∠C+∠A＝90°， ∴∠C＝∠ABE，
∵∠APB＝∠CBP+∠C，∠ABP＝∠EBP+∠ABE， ∴∠APB＝∠ABP， ∴AP＝AB．
24．（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠CAB+∠ACE＝180°， ∵∠CAB＝90°， ∴∠ACE＝90°， ∴∠ACB+∠ECD＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠CDE＝90°， ∴∠AEC+∠ECD＝90°， ∴∠CEA＝∠ACB， ∴△ACE∽△BAC；
（2）解：由（1）得△ACE∽△BAC， ∴∴
， ，
∴CE＝， ∵∴EP＝
， ，
∴CP＝CE+EP＝6， ∵CP∥AB， ∴△CFP∽△BFA， ∴
；
（3）解：当以PF为直径的圆经过△BDE中的一个顶点D时，
AP与AE重合，点P与点E重合，不符合题意， 当以PF为直径的圆经过△BDE中的一个顶点E时，
连接EF，则∠PEF＝90°， ∵∠PCA＝90°， ∴EF∥AC， ∴△PEF∽△PCA， ∴
，
∵∠FCE＝∠CBA， ∴tan∠FCE＝tan∠CBA， ∵tan∠FCE＝
，tan
，
∴∴EF＝
， ，
由（1）知，CE＝， ∵PC＝PE+CE＝PE+，
，
∴＝，
∴PE＝；
以PF为直径的圆经过△BDE中的一个顶点B时，
连接BP，
则∠FBP＝90°，BP⊥BC， ∵AE⊥BC， ∴BP∥AE， ∵EP∥AB，
∴四边形EABP是平行四边形， ∴EP＝AB＝4，
综上所述，满足条件的EP的长为4或
．
25．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（1，0），（0，），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣x+；
（2）由（1）得：y＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+1）2+2， ∴顶点A（﹣1，2），
令y＝0，则﹣（x+1）2+2＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣3， ∵B在C的左边，
∴B（﹣3，0），C（1，0），
∴S△ABC＝×4×2＝4； （3）存在，理由：
若△ACP的面积与△ABC的面积相等，则点P到AC的距离与点B到AC的距离相等， ∴PB∥AC，
∵A（﹣1，2），C（1，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx+m， 则解得：
， ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1， ∵PB∥AC，
∴设直线PB的解析式为y＝﹣x+n， ∵B（﹣3，0）， ∴3+n＝0， 解得：n＝﹣3．
∴直线PB的解析式为y＝﹣x﹣3， ∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣x+上，
联立得：，
解得：或，
∴点P（3，﹣6）．
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