2022甘肃省高三上学期数学(理)期末考试试题

高三 第一学期数学（理科）期末考试卷

一、 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的

四个选项中，只有一项符合题目要求。）

1.

已知全集

，

，

A．D．2.

复数z满足

`

，则复数的共轭复数

（ ）

B．

C．

，则

班级： 姓名： 学号： A．1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i 3.

已知向量a,b满足|a||b||ab|1,则向量a,b夹角的余弦值为 （ ）

A．

1133 B． C． D． 22224. 已知变量x，y满足约束条件

，则目标函数z2xy的最大值是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1 5.

公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（ ）（参考数据：sin15°=0．2588，sin7．5°=0．1305）

A．6 B．12 C．24 D．48

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6.

设∈R，则（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7.

一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．该四棱锥的体积等于（ ）

A． 8.

如图是函数函数的图像，只要将

A．向左平移B．向左平移

变．

C．向左平移D．向左平移

变．

9.

若直线2axby20(a0，b0)被圆xy2x4y10截得的弦长

22是直线与直线

l2:(a1)xay40垂直的

B．2 C．3 D．6

图像的一部分．为了得到这个

（x∈R）的图像上所有的点（ ）

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变．

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变．

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不

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11的最小值是（ ） ab11A. B. C. 2 D. 4

42为4，则

10. 有名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：号或号选手得第一名；观众乙猜测：

号选手不可能得第一名；观众丙猜测：猜测：

号选手中的一位获得第一名；观众丁

号选手都不可能获得第一名，比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、

丙、丁中只有人猜对比赛结果，此人是（ ）

A．甲 B．乙 C.丙 D.丁

11. 在公比为

A．12. 设函数

的等比数列

中，若

，则

的值是（ ）

D．

，使得

B． C．,其中

，若存在唯一的整数

，则的取值范围是（ ）

A．

B． C． D．

二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

13. 14. 15.

已知已知已知四棱锥

，则，则

= ．

____________．

，若其

的底面为正方形，且

的高为 .

外接球半径为2，则四棱锥

16.

等差数列

的公差为

，关于的不等式的解集为

，则使数列的前项和最小的正整数的值为 ．

三、 解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤）

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17. （本题满分12分）在

满足（1）求角（2）已知

18. （本题满分12分）已知数列an的前n项和为Sn,且Sn2n2n,nN,数列

*中，角．

，，所对的边分别为， ，，且

的大小； ，

的面积为

，求边长的值．

bn满足an4log2bn3(1)求an和bn的通项公式；

，nN.

*(2)求数列{anbn}的前n项和Tn . 19.

（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是

ADC60的菱形，M为PB的中点.

(1)求证：PA平面CDM； (2)求二面角DMCB的余弦值.

20. （本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为

椭圆C上的点到右焦点的最大距离为3． （1）求椭圆C的标准方程．

（2）斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，并且满足以AB为直径的圆过原点，求直线在y轴上截距的取值范围．

，

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21. （本小题满分12分）已知函数

线与直线（1）求

，曲线在点处的切

垂直（其中为自然对数的底数）． 的解析式及单调递减区间；

恒成立，

（2）是否存在常数，使得对于定义域内的任意，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.

（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程为参数，0≤π）．

（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状； （2）若直线l经过点(1，0)，求直线l被曲线C截得的线段AB的长．

23. （本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲

已知

（1）解不等式（2）若关于的不等式

． ；

对任意的

恒成立，求的取值范围．

xtcos4cosl，直线的参数方程为（t为2siny1tsin最新 精品 Word 欢迎下载 可修改

期末考试理科数学参考答案

一、选择题： 1 C 2 B 3 B 4 C 5 C 6 A 7 A 8 A 9 D 10 D 11 B 12 D 二、填空题：

13 14 15 16 4 4 三、解答题：

3 43 417.

18. 解析：(1)

由Sn=2n2n,得 当n=1时,a1S13;

+2当n2时,anSnSn12n2n,n∈. N2(n1)(n1)4n1由an=4log2bn+3,得bn2n1,n∈N+ ………………………6分 (2)由(1)知anbn(4n1)2n1,n∈N+ 所以Tn372112...4n122n1,

2Tn327221123...4n12n,

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2TnTn4n12n[34(222...2n1)](4n5)2n5

Tn(4n5)2n5,n∈N+. ………………………12分

19. (1)解法一：

解法二：由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．

建立空间直角坐标系如图，则

A(3,0,0),P(0,0,3),D(0,1,0), B(3,2,0),C(0,1,0)．由M为

PB中点，

∴M(3333,2,),PA(3,0,3),,1,)．∴DM(2222

DC(0,2,0)．∴PADM33320(3)0， 22PADC03200(3)0．

∴PA⊥DM，PA⊥DC． ∴PA⊥平面DMC． (2)CM(33,0,),CB(3,1,0)．令平面BMC的法向量n(x,y,z)， 22

则nCM0，从而x+z=0； ……①, nCB0，从而3xy0． 由①、②，取x=−1，则y3,z1． ∴可取n(1,由(II)知平面CDM的法向量可取PA(3,0,3)，… ∴cosn,PA3,1)

nPA231010．∴所求二面角的余弦值为－．

55|n||PA|56最新 精品 Word 欢迎下载 可修改

20. 解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆C的方程为（a

＞b＞0），半焦距为c． 由椭圆的离心率e=

=

，即a=2c，

由椭圆C上的点到右焦点的最大距离3， ∴a+c=3，解得：a=2，c=1， 由b2=a2﹣c2=3， ∴椭圆C的标准方程：

（2）设直线l的方程为y=kx+m，

，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，

；（4分）

由

△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，整理得：3+4k2＞m2， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣

y1•y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1•x2+km（x1+x2）+m2， 以AB为直径的圆过原点， ∴OA⊥OB，则

•

=0，

，x1•x2=

，

∴x1•x2+y1•y2=0，即x1•x2+k2x1•x2+km（x1+x2）+m2=0， 则（1+k2）x1•x2+km（x1+x2）+m2=0， （1+k2）•将k2=解得：m2＞

﹣km•

m2﹣1，代入3+4k2＞m2，3+4（，

+m2=0，化简得：7m2=12+12k2，

m2﹣1）＞m2，

又由7m2=12+12k2≥12， 从而m2≥

，m≥

或m≤﹣

]∪[

．

，+∞）．

∴实m的取值范围（﹣∞，﹣

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21.

22. （1）曲线C的直角坐标方程为y4x，故曲线C是顶点为O(0，0)，焦点为F(1，0)的抛物线．

（2）直线l的参数方程为2xtcos（t为参数，0≤π），故l经过点(0，1)，若直线

y1tsinl经过点(1，0)，则3π． 43π2xtcost42∴直线l的参数方程为（t为参数），

y1tsin3π12t42最新 精品 Word 欢迎下载 可修改

22代入y4x，得t26t20，

设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t226，t1t22， ∴|AB||t1t2|(t1t2)4t1t28． 23.

2

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