复合函数的导数教案

【学情分析】：

在学习了用导数定义这种方法计算常见函数的导数,而且已经熟悉了导数加减运算法则后.本节将继续介绍复合函数的求导方法.

【教学目标】：

(1)理解掌握复合函数的求导法则.

(2)能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导 (3)培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．

【教学重点】：

简单复合函数的求导法则，也是由导数的定义导出的，要掌握复合函数的求导法则，须在理解复合过程的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数并灵活应用.

【教学难点】：

复合函数的求导法则的导入,复合函数的结构分析,可多配例题, 让学生对求导法则有一个直观的了解.

【教学过程设计】： 教学环节 (1)复习常见函数导教学活动 作业讲评及提问,回忆常见函数设计意图 为课题引入作铺的导数公式和导数四则运算,会数以及四则运算. 解释导数实际意义. 开门见山提出问(2)教科书P16思考题 如何求函数yln(x1)的导数? 题. (3) 复合函数的定(1) 复合函数的定义. 直接给出定义,垫. 义. (2)比较复合函数与基本初等函并与基本初等函数的异同? 数相区别和联系. (4)例题选讲 例1试说明下列函数是怎样复合而成的？ 允许讨论, (1)y(2x2)3； ⑵ysinx2； ⑶ycos(x) 4允许提问, 允许争论, 允许修正, ⑷ylnsin(3x1)． 允许置疑. 例2写出由下列函数老师点评. 复合而成的函数： ⑴ycosu，u1x2； ⑵ylnu，ulnx． (1) 能否用学过四则运算解决问题? 说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等． 两种方法作对照(2)新方法：将函数y(3x2)看作2与比较,体会不是函数yu2和函数u3x2复合例3.求函数 函数，并分别求对应变量的导数y(3x2)2的导数. (u)2u，yuu如下：x(3x2)3 2同的解决方 法与策略.鼓励学生模仿并及时两个导数相乘，得 修正. uyu32(3x2)g318x12x2ug， 从而有y'xy'uu'x 对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求yu′和u′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同. (3)能否用方法(2)解决(2)教科书P16思考题: 如何求函数yln(x1)的导数? (4)学生动手,可板演,可用实物投影仪讲评. (6)自学教科书P17例学生自学,教师巡堂并答疑. 4. (7)例4: 求y=sin(2x+)的导32在摸索中熟悉. 分析: 设u=sin(2x+)时，求ux'，3但此时u仍是复合函数，所以可必要时老师应板再设v=2x+. 数. (8) 课堂练习： 书详细过程. 3解略. (1)20(5x－3)3 巩固提高. 1．求下列函数的导数(2) 15(2+3x)4 (先设中间变量，再求(3) －6x(2－x2)2 导). (1)y=(5x－3)4 (2)y=(2+3x)5 (3)y=(2－x2)3 (4)y=(2x3+x)2 (4) 24x5+16x3+2x 可板演，可小测。 核对答案、讲评并小结. ⑴复合函数求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，(10)课堂小结 然后再用复合函数的求导法则求导； ⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代. (11)作业布置:教科书P18A3,4(6),8,B3 练习与测试: 1．填空： 1x2( )sinx(1x2)( )x( )(x21)x( ))(1)(2)；(2)( 222sinx4sin2xx1(x1)2.求下列函数的导数：(1)y=axx21 (2)y=2 (3)y=tanx (4)y= 1cosxax3x3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正. 1cosx2x(1cosx)x2sinx() 2xx21x24.求y=的导数. sinx4x35.求y=2的导数. xcosx 6.求函数y=(2x2－3)1x2的导数. 参考答案: xx(x21)x(x21)(1)(x21)x(2x)1．(1)∵(2) 2222(x1)x1(x1)1x2(1x2)2sinx(1x2)(2sinx)(2) ( )22sinx(2sinx)2x2sinx(1x2)(2cosx)(4x)sinx(1x2)(2cosx) 224sinx4sinx2. (1)y′=((ax)(ax)(ax)(ax)ax)′ 2(ax)ax(ax)(ax)2a 22(ax)(ax)x2(x2)(3x2)(x2)(3x2)(2)y′=(2)′ 223x(3x)3x2(x2)(6x)3x212xx4 4439x9x3x(3)y′=(tanx)′=((sinx)cosxsinx(cosx)sinx)′ 2(cosx)cosxcos2xsin2x12secx 22cosxcosx(4)y′=(＝1(1cosx)1(1cosx)1)′ 2(1cosx)1cosx0(1cosx)sinxsinx (1cosx)2(1cosx)23.不正确，分母未平方，分子上正负号弄错. 1cosx(1cosx)x2(1cosx)(x2)()2x(x2)2 xsinx2cosx2x31x2(1x2)sinx(1x2)(sinx)4.y′=()′ 2sinx(sinx) 2xsinx(1x2)cosx sin2x4x3(4x3)x2cosx(4x3)(x2cosx)5.y′=(2)′ 22xcosx(xcosx)3x2x2cosx(4x3)(2xcosxx2sinx)x4cos2xx4cosx8xcosx4x2sinxx5sinx 42xcosx(4x4)sinx(x38)cosxx3cos2x 2xsinx(1x2)cosx 2sinx4x3(4x3)x2cosx(4x3)(x2cosx)5.y′=(2)′ 22xcosx(xcosx)3x2x2cosx(4x3)(2xcosxx2sinx)x4cos2xx4cosx8xcosx4x2sinxx5sinx 42xcosx(4x4)sinx(x38)cosxx3cos2x6. 分析: y可看成两个函数的乘积，2x2－3可求导，1x2是复合函数，可以先算出1x2对x的导数. 令y=uv，u=2x2－3，v=1x2, 令v=，ω=1+x2 vxvx =() (1+x) x′ 2112xx=2(2x) 22221x1x∴yx′=(uv) x′=u x′v+uv x′ =(2x2－3) x′·1x2+(2x2－3)·=4x1x2即yx′=

2x33x1x22x1x2 6x3x1x2 6x3x1x.