《向量的数乘运算及其几何意义》教学设计

温江二中 何汝兵

一、教材分析：

向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.但是引进向量，而不研究它的运算，则向量只是起到一个路标的作用；向量只有引进运算后才显得威力无穷.本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义.

向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线

向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l就可以用点A和某个向量a表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提

条件：向量a是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.

二、学情分析：

学生在已经学习了近一学期的高中课程内容后，在思想和思维模式上已经适应了高中的课程和高中的教学方式。学生能适应自主探究、师生互动的学习方式，动手操作能力强，勇于创新，敢于发表自己的见解。只要教师创设情境合理，精心设计问题串，循序渐进层层深入，学生能很快地构建起新的数学知识，教师只要作必要的归纳，就会帮助学生上升到理性认识的层面。同时为了更熟练地掌握知识和应用知识，需加强学生的课堂练习。

三、教学目标：

1、知识与技能

通过经历探究数乘运算法则及其几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量积的运算律。 2、过程与方法

通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行。 3、情感态度与价值观

通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用。

四、教学重难点

教学重点：

1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义； 2．熟练地掌握和运用实数与向量积的运算律； 3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线。 教学难点：对向量共线的等价条件的理解以及运用。

五、教具选取

三角板、投影仪、多媒体辅助教学。

六、教学基本流程

实例引入 探究：观察、发现和类比

口答题、练习题 向量数乘运算的定义及其几何意义

向量数乘运算律及其几何意义 例1及巩固练习 共线向量定理 练习 例2讲解 变式一、变式二讲解 归纳总结 例3、例4讲解 课堂作业 课堂小结 作业布置 七、教学过程 教学环节 复习回顾 引入新课 教学内容 向量的加法、向量的减法 教师提问 学生回答 复习回顾，引发新知 教师活动 学生活动 设计意图 已知非零向量a，作出a+a+a和（a）+（a）+（a） 想一想：它们的大小和方向有什么变化？ 学生作图，观察并思考 认识和理解向量数乘的几何意义必须从几何直观入手，即通过让学生自己作图，以及独立观察、思考，让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识，进而为下一步对向量的数乘的定义及其几何意义的理性认识作好铺垫。 通过引出向量的数乘的定义，让学生体会从特殊到一般的思想方法 新课讲解 实数与向量的积的定义： 一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下： （1）|a||||a|； （2）当0时，a的方向与a的方向相同； 当0时，a的方向与问题1：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？ 小组合作交流，学生单独作答 a的方向相反； 当 0 时，a0． 问题2：你能说明它的几何意义吗？ 小组合作交流，学生单独作答 从从直观入手，从具体开始，逐步抽象。通过师生互动，得到向量数乘的几何意义是把向量a沿a的方向或反方向伸长或缩短 倍。 说一说： a与下列向量之间的关系： 11a、a、222a、2a 练一练： 抽学生回答，并指出其几何意义 通过简单口答题来巩固学生对向量数乘的理解及应用，同时渗透几何问题向量化的一种思考方式。 从心理学认为：概念一旦形成，必须及时巩固 教材P90 练习2、3题 实数与向量的积的运算律： 问题4：数的运算（1）(a)()a（结合律）； 和运算律是紧密运算律可（2）()aaa（第一相连的，以有效地简化运分配律）； 类比数的乘法（a+b）=ab（第二分算。（3）的运算律，你能说配律）． 出数乘的运算律 吗？ 学生单独作答 小组交流探讨 数学中引进一个新的量自然要看看它的运算及其运算律的问题。向量运算可以与学生熟悉的数的运算进行类比，从中得到启发。而书的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效的简化运算。类比数的乘法的运算律引出数乘向量的运算律。 问题5：你能解释上述运算律的几何意义吗？ 提问、及时评价 小组交流探讨 独立完成，单独回答 例1 计算： （1）(3)4a； （2）3(ab)2(ab)a； （3） (2a3bc)(3a2bc)． 从心理学认为：概念一旦形成，必须及时巩固，通过例1加深学生对数乘向量运算律的理解。 及时练习，及时巩固，反馈学生的学习情况 练一练 教材P90 练习5题 学生单独作答 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意的向量 本节作为向量线性运算的最后一a,b，以及任意实数,1,2，恒有(1a2b)1a2b 问题6：引入数乘对于向量a(a0)、b，如果向量后，你能发现数乘向量与原向量的位置关系吗？ 合作交流，独立作答. 节，有必要综合认识向量线性运算。 有一个实数，使ba，那么由向量数乘的定义知a与b共线，a且向量b是向量(a0)模的思考: 1) a为什么师生共同活动引出向量共线的定理；引导学生理解向量共线只需看这两个向量的方向相同或是相反，在向量要是非零向量? 倍，而的正负由向量a(a0)、2) b可以是b的方向所决定. 零向量吗? 3) 怎样理解反过来，已知向量a与b共向量平行？与两直线平行有什么线，a0，且向量b的长度是向异同？  量a的长度的倍，即ba，a(a0)的前提下，向量a(a0)、b共线，当且仅当有一个实数，使得ba；且实数那么当a与b同方向时，有ba；当a与b反方向时，有ba. 从上述两方面可知 的唯一性是由向量a和b的模和方向同时决定. 通过学生合作交流，促进学生合作的集体意识；通过学生独立作答，提高学生分析问题、解决问题的能力. （板书）共线向量定理：向量a(a0)、b共线，当且仅当有一个实数，使得ba. 练一练 教材P90练习题4题 学生单独作答 从心理学认为：概念一旦形成，必须及时巩固 例2、如图，已知AD3AB，DE3BC.试判断AC与AE是否共线 引导学生思考 学生思考作答 共线向量定理的应用一：判断两向量是否共线 变式一：如图，已知AD3AB，DE3BC.试判断A、C、E三点的位置关系。 引导学生思考 学生思考作答 共线向量定理的应用二：判断三点共线 变式二：如图，已知引导学生思考 AD3AB，AE3AC. 求证：BC//DE例3.如图，已知任意两个向量引导学生思考 a,b,试作出学生思考作答 共线向量定理的应用三：判断直线平行 这道例题是先让学生猜想，再证明；利用向量共线证明点共线，具体方法是先证明向量共线，再证明向量有公共点；进而引出利用向量共线证明直线平行. 综合运用向量的加、减、数乘等向量的线性运算. 使学生明确：有了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以得到向量表示，这是利用向量解决几何问题的重要步骤. 1.知识性内容的总结，可以把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质.2.运用数学方法，创新素质的小结能让学学生思考作答 OAab,OBa2b,OCa3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？ ABCD的两条引导学生思考 对角线相交于点M，且例4.如图，学生思考作答 ABa,ADb，你能用a,b表示MA,MB,MC,ND吗？ 课堂小结 一、① a的定义及运算律； (a0)， ② 向量共线定理ba 向量a与b共线. 二、 定理的应用： （1） 证明向量共线； 引导学生体会本 节学习中用到的思想方法：特殊到一般，归纳，猜想，类比，分类讨论，等价转化. （2） 证明三点共线；ABBCA、B、C三点共线； （3） 证明两直线平行： ABCD,AB与CD不在同一条直线上,直线AB∥直线CD. 三、你体会到了那些数学思想.  课后作业 教材P91，A组9—13题 （选做）B组3、4、5 课后思考： 生更系统，更深刻地理解数学理想方法在解题中的地位和作用，并且逐渐培养学生的良好个性品质.3.由学生口头表述，不仅可以提高学生的综合概括能力，还能提高学生的口头表达能力. 分层布置作业，让每个学生都得到发展。 课后的思考题让学生通过思考发现三点共线的另一种形式。培养学生的综合能力。 已知三点A、B、C共线，O是平日面内任意一点，若有OCOAOB，试求证1 八、板书设计

2.2.3向量数乘的运算及其几何意义 1. 向量数乘的定义； 例2、变式一、变式二 2.数乘向量的运算律； 例3. 3.共线向量定理； 例4 例题讲解 课堂小结 例1．