用导数研究函数的单调性教案

⽤导数研究函数单调性

【课 题】导数的应⽤—⽤导数研究函数的单调性

【教学⽬标】1.正确理解利⽤导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利⽤导数判断函数单调性的⽅法【教学重点】利⽤导数判断函数单调性【教学难点】如何⽤导数研究函数的单调性【课 型】新授课【教 具】多媒体【引 例】

1、 确定函数243=-+y x x 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？ 解：2243(2)1y x x x =-+=--，在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数。 问：1、为什么243=-+y x x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数？2、研究函数的单调区间你有哪些⽅法？

（1） 观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）（2） 利⽤函数单调性的定义。（复习⼀下函数单调性的定义）

2、确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？（1） 能画出函数的图象吗？那如何解决？试⼀试。提问⼀个学⽣：解决了吗？到哪⼀步解决不了？（产⽣认知冲突）（2） （多媒体放映）

【发现问题】定义是解决单调性最根本的⼯具，但有时很⿇烦，甚⾄解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f(x )=2x 3－6x 2+7，这就需要我们寻求⼀个新的⽅法来解决。（研究的必要性）事实上⽤定义研究函数243=-+y x x 的单调区间也不容易。【探 究】

我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下⾯通过函数的图象规律来研究。 问：如何⼊⼿？（图象） 从函数f (x)=2x 3－6x 2+7的图象吗？

1、研究⼆次函数243=-+y x x 的图象；（1）

学⽣⾃⼰画图研究探索。 （2）

提问：以前我们是通过⼆次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？ （3）（开⼝⽅向，对称轴）既然要寻求⼀个新的办法，显然要换个⾓度分析。 （4）

提⽰：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？ （5） 学⽣继续探索，得出初步规律。⼏何画板演⽰，共同探究。

得到这个⼆次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学⽣总结）： ①该函数在区间(,2)-∞上单调递减，切线斜率⼩于0，即其导数为负；

}都是反映函数随⾃变量的变化情况。

在区间(2,)+∞上单调递增，切线斜率⼤于0，即其导数为正；注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？

②就此函数⽽⾔这种规律是否⼀致？是否其它函数也有这样的规律呢？2、先看⼀次函数图象；

3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）（1） 观察三次函数3y x =的图象；（⼏何画板演⽰）（2） 观察某个函数的图象。（⼏何画板演⽰）

指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何⽤导数研究函数的单调性（幻灯放映课题）。【新课讲解】

4、请同学们根据刚才观察的结果进⾏总结：导数与函数的单调性有什么关系？请⼀个学⽣回答。（幻灯放映）⼀般地，设函数()y f x =在某个区间可导，则函数在该区间内如果在这个区间内'()0f x >，则()y f x =为这个区间内的增函数；如果在这个区间内'()0f x <，则()y f x =为这个区间内的减函数。若在某个区间内恒有'()0f x =，则()f x 为常函数。

这个结论是我们通过观察图象得到的，只是⼀个猜想，正确吗？答案是肯定的。严格的证明需要⽤到中值定理，⼤学⾥才能学到。这⼉我们可以直接⽤这个结论。

⼩结：数学中研究问题的常规思想⽅法是：从特殊到⼀般，从简单的复杂。结论应⽤：

由以上结论知：函数的单调性与其倒数有关，因此我们可以⽤导数法去探讨函数的单调性。下⾯举例说明：【例题讲解】

例1、 求证：31y x =+在(,0)-∞上是增函数。由学⽣叙述过程⽼师板书：

'3'2(1)2y x x =+=，(,0)x ∈-∞，20x ∴>，即'0y >，∴函数31y x =+在(,0)-∞上是增函数。注：我们知道3

1y x =+在R 上是增函数，课后试⼀试，看如何⽤导数法证明。 学⽣归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。例2、 确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数. 由学⽣叙述过程⽼师板书：解：f ′(x )=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x , 令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0

∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数;当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2.∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数.学⽣⼩结：⽤导数求函数单调区间的步骤：（1） 确定函数f (x )的定义域；（2） 求函数f (x )的导数f ′(x ).

（3） 令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间【课堂练习】

1．确定下列函数的单调区间(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3

(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4)令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.

∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)

(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1)令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1.∴y =3x －x 3的单调增区间是(－1，1).令－3(x +1)(x －1)＜0，解得x ＞1或x ＜－1.∴y =3x －x 3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)

2、设)x (f y '=是函数)x (f y =的导数, )x (f y '=的图象如图所⽰, 则)x (f y =的图象最有可能是( )

⼩结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪⾥发⽣联系？【课堂⼩结】

1.函数导数与单调性的关系:若函数y =f (x )在某个区间内可导,如果f ′(x )>0, 则f (x )为增函数;如果f ′(x)<0, 则f (x )为减函数.

2.本节课中,⽤导数去研究函数的单调性是中⼼,能灵活应⽤导数解题是⽬的,另外应注意数形结合在解题中的应⽤.3.掌握研究数学问题的⼀般⽅法:从特殊到⼀般,从简单到复杂.【思考题】

对于函数f (x )=2x 3－6x 2+7思考1、能不能画出该函数的草图？思考2、3

276x x +=在区间（0，2）内有⼏个解？ 【课堂作业】课本p 42习题2.4 1,2【课后记】

本节课是⼀节新授课，课本所提供的信息很简单，如果直接得出结论，学⽣也能接受，可学⽣只能进⾏简单的模仿应⽤。为了突出知识的发⽣过程，不把新授课上成习题课，设计思路如下，以便教会学⽣会思考解决问题：1、⾸先研究从熟悉的⼆次函数⼊⼿，简单复习回顾以前的⽅法；

2、 从不熟悉的三次函数⼊⼿，使学⽣体会到以前的知识已不能解决，必须寻求⼀个新的

解决办法，产⽣认知冲突，认识到再次研究单调性的必要性；

3、 从简单的、熟悉的函数图象⼊⼿，引导学⽣从函数的切线斜率变化观察函数单调性的

变化，再与新学的导数联系起来，形成结论。另外，也使学⽣感受到解决数学问题的⼀般⽅法：从简单到复杂，从特殊到⼀般。

4、 应⽤中重点指导学⽣的解题步骤，避免考试中隐性失分。

在今后的教学中，应注重学⽣的参与，引发认知冲突，教会学⽣思考问题。加强教案设计的合理性，语⾔做到准确、简练。节奏要把握好。