第1章作业

1、已知A(t)2tt5，求（1）a(t)；（2）I3；(3) i4。

1215A(t)tt k5kk5 由a(0)1，得a(0)001，则k5

k21所以，A(t)tt1

55解答：（1）由A(t)ka(t)，得a(t)（2）由A(t)2tt5，则

I3A(3)A(2)(635)(425)2322.318 （3）i4

2、设a(t)atb，且a(6)73，如果期初本金为10个单位，求A(8). 解答：依题意得 a(0)b1，a(6)36ab73 解得：b1，a2

所以，A(8)10（6421)1290

3、已知 a(t)atb ，若在0时刻投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。 解答：由a(0)1，得a(0)b1；

由A(5)180，得A(5)100a(5)100a51180

所以，a0.032。

所以，A(8)3000.03231386.4（元）

2A(4)A(3)(845)(635)430.1781

A(3)(635)1132224、若A(3)100，in0.01n，确定I5； 解答：由in0.01n，得i40.04，i50.05 由i4A(4)A(3)A(4)1000.04，得A(4)104

A(3)100所以，I5A(5)A(4)i5A(4)0.051045.2

5、某项投资的单利利率为0.1，问那个时期它等价于0.05的实际利率？ 解答：设第n期实际利率为in，则 inA(n)A(n1)10.1n10.1n10.10.05

10.1n1A(n1)0.90.1n所以，n11

6、已知某笔投资在三年后的积累值为1000元，第一年的利率为10%，第二年的利率为8%，第三年的利率为6%，求该笔投资的原始金额。 解答：设原始金额为C，则由题意可得：

C(110%)(18%)(16%)1000

解得：C794.1

因此这笔投资的原始金额为794.1元。

7、已知300元的投资经过3年将增长至400元，试确定分别在第二年末、第四年末、第六年末各付款500元的现值之和。

解答：设原投资利率为i，则由题意可得：

3001i400

解得：v0.909

所以，所求现值和为：500vvv

32461036.58（元）

CH1 第2次作业：

1、确定10000元在3年末的积累值：（1）名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%； （2）名义贴现率为每四年计息一次的年名义贴现率6%。 解答：设所求的积累值为A3，则有： （1）A3100001i3i(4)1000014430.0610000111956.18（元）

412（2）A3100001i

3 100001d3d(0.25)1000010.250.2530.061000010.250.7512285.41(元）

(5)i(5)d1(m)1id(m)55 2、已知（1）1； （2）1(6)imd(6)m11661i(m)i(m)1im 解答：（1）由11i，得1mmmi(5)1111i551i30 所以有：(6)1i1i616所以由：1i1301i，得m30

(m)(m)1m（2）同理可解得：m30 3、设m1，按大小增加的次序排列 i，i，d，d，

解答：本题可用特殊值法来解决，设m2，i0.1，则有：i0.1；

i(m)11m1im1210.1210.0976

dd(m)i0.10.0909 1i10.111m11dm2110.090920.09307

ln1iln1.10.09531

所以，大小关系为：ii(m)d(m)d

4、已知第一年的实际利率为10%，第二年的实际贴现率为8%，第三年的每季度计息的年名义利率为6%，第四年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这四年的投资利率。 解答：设该实际利率为i，则：

6%(1i)110%18%144145%11.33493

22 所以，计算得：i0.0749

5、假设某人在1984年7月1日投资1000元于某基金，该基金在t时的利息强度为：

t32t，其中t为距1984年1月1日的年数，求该笔投资在1985年1月1日的积累值。 50解答：因为t为距1984年1月1日的年数，即投资开始时的时刻是t=0.5，依题意得： At

6、投资1在利息强度的情况下，经过27.72年将增加到2，在每两年计息一次的年名义利率的情况下，经过n年将增加到7.04，求n。 解答：依题意得： 1e27.721000e0.5132tdt501000e0.0451046.03（元）

2，解得：0.025； 0.0257.04， 0.5n2所以，11解得：n80（年）

t31a(3)。 1007、已知在t时刻的利息强度为，求

解答：依题意得：

tdt0.01t00e a(3)e1所以，a(3)1333dte0.20251.22446

a(3)10.8167

1.22446CH1 第3次作业：

1、一笔1000元的贷款一每季度计息一次的年名义利率12%计息，该贷款以三次付款来还清，第一年末支付400元，第五年末支付800元，余下的在第十年末付清，求在第十年末未付的金额。

解答：依题意设第十年末付款X元，则：

10004001i8001iX1i1510

4012%12% 4001800144解得：X657.84（元）

42012%X14

2、按某一利率以下两种付款形式的现值相等：（1）第五年末付200元加上第十年末付500元；（2）第五年末付400.94元。现在以同样的利率投资300元，并在第五年末取出200元，余下的在第十年末积累到X元，求X。 解答：设利率为i，则v515105，依题意得：200v500v400.94v 1i5解得：v1i0.40188

10510因此：X3001i2001i300v

3、已知某四年期的贷款以下列方式计息： （1）第一年以实际贴现率6%；

（2）第二年以每两年计息一次的年名义利率5%；

200v51359.84（元）

（3）第三年以每半年计息一次的年名义利率5%； （4）第四年以利息强度5%。 求这四年的年实际利率。

解答：设这四年的年实际利率为i，则： (1i)16%415%10.50.55%0.051e

221.238549

所以，i0.054941。

4、美国一家商业银行将1000万美元置换成瑞士法郎投资瑞士政府债券，期限一年，年利率为8%，在投资业务开始时美元兑换瑞士法郎的汇率是1:2，在投资期末美元兑换瑞士法郎汇率变为1:1.6，计算美国这家商业银行的实际投资收益率。

解答：由于投资的是瑞士政府债券，因此要先将美元兑换成瑞士法郎，用瑞士法郎进行投资，待投资期末再将终值兑换回美元。

在投资业务开始时，1000万美元可兑换的瑞士法郎为2000万，经过1年的投资，终值为：

200018%2160（万瑞士法郎）

再将2160万瑞士法郎兑换回美元，这时的汇率为1:1.6，所以能够兑换的数量为：

21601.61350（万美元）

所以，实际投资利率为：i

5、小王购买了一张2年期定期存单，年利率9%，若提前支取则面临两种可供选择的惩罚方式：第一，变为活期存款，年利率为7%；第二，损失三个月的利息。小王要在第18个月末支取，则他应选择何种惩罚方式较为有利？

解答：小王的决策必然是两种惩罚方式中利息损失最小的那一种，因此现在就要分别计算两种惩罚方式下的利息损失，假设本金为1，则：

第一种惩罚方式下，18个月相当于1.5年，也就是说本来利率是9%，结果由于存期缩减为1.5年后，利率就变味7%，因此利息损失为：

A(1)A(0)135010000.35

A(0)1000(19%)1.5(17%)1.50.03118

第二种惩罚方式下，损失三个月的利息，即利率不变，仍为9%，但是实际上存了18个月（即1.5年），结果却只算了15个月（即1.25年），因此利息损失为：

(19%)1.5(19%)1.250.02426

可见，第二种惩罚方式下的利息损失较小，因此小王会选择第二种惩罚方式。

6、一家批发商向零售商销售商品，零售商可以立即按照低于零售价36%的价格付款，或者在半年后按照低于零售价30%的价格付款。当年利率多少时，这两种选择是无差异的？ 解答：假设商品的零售价为R，依题意得：

立刻付款的情形：要支付的货款=R136% 半年后付款情形：要支付的货款=R130%

这两种情况要无差异，即要使得半年后付款的现值和立即支付的款项正好相等，即：

R130%vR136%

解得：i19.63%

7、亚洲某商业银行同业资金拆借利率如下，假设本金为1000万元，则拆借一周和一个月的利息分别是多少？

期限 名义利率（%） 1天 11.75 2天 11.625 7天 11.5 1个月 11.375 2个月 11.25 12解答：从经济常识可知表中的利率均是年名义利率，期限即为计息周期，故依题意可得：

i(7)3650.115  j10.1157，

365i(12)0.11375  j2所以拆借一周的利息为：

0.11375 120.1157)10002（万元） 3650.11375)10009（万元） 12 1000(1+j11)10001000(1拆借一个月利息为：

1000(1+j21)10001000(1

8、某商业银行提供如下表所示的存款单： 种类 1 2 3 4 储蓄年限 1 2 3 4 名义利率（每半年计息） 6% 7% 8% 9% 无论何种类型的存单，该银行不允许提前支取，单据在年限之末到期，在6年内，银行继续提供这四种类型的存单。假如你现在有资金6000元，那么你将作何选择才能使6年后的收益最大？

A. 先存3年，再存3年； B. 先存4年，再存2年；

C. 先存3年，再存2年，接下来再存1年； D. 先存3年，再存1年，接下来再存2年； E. 先存1年，再存2年，接下来再存3年。

解答：要知道如何选择，就要计算在每一种方案下，6年以后的积累值哪一种最大：

0.08A：600012230.0812239606.2（元）

220.09B：6000120.08C：600012240.07120.07129791.4（元） 0.06120.07120.08122123229242.4（元）

0.08D：6000120.06E：600012230.06120.071221229242.4（元）

2122239242.4（元）

因此，应选择方案（B）