正弦交流电路分析

正弦交流电路分析

一、学时：4学时 二、目的和要求：

三、重点： R、L、C元件的特性、功率的计算方法

四、难点：R、L、C元件的特性、功率的计算方法五、教学方式：多媒体或传统方法。

六、习题安排： 七、教学内容：

2.2正弦交流电路分析 2.2.1单一参数的交流电路

1、电阻元件及其交流电路 （1）电压电流关系

① 瞬时关系：u =iR



②相量关系：令iImsin(ti) 即ImImi uRImsin(ti)

mURImRImiUmu

UmRIm 即

UmImUIR

ui

u、i波形与相量如图（b）（c）所示。 （2）功率

①瞬时功率puiUmImsin2tUI(1cos2t) ②平均功率P1TT0UI(1cost)dtUIRI22U2R

（3）结论

在电阻元件的交流电路中，电流和电压是同相的；电压的幅值（或

有效值）与电流的幅值（或有效值）的比值，就是电阻R。

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2、电感元件的交流电路 ⑴电压电流关系

① 瞬时关系：

di dt

uL② 相量关系： 令iImsin(ti)即ImImi如图（c）

uLLILIdImsin(ti)dtm

cos(ti)sinti2umUmUmLIm2iUmLImuUmIm2iUI

LXL2fL（称XL为感抗）

u、I的波形图与相量图，如图（b）、(c)所示。

⑵ 功率

①瞬时功率为

p =ui=UmImsinωt.sin(ωt+90º)

=UmImsinωt.cosωt=UmImsin2ωt＝UIsin2ωt

2②平均功率为

P＝1T0（3）结论

电感元件交流电路中， u比i超前

2Tpdt＝1UIT0Tsin2tdt＝0

；电压有效值等于电流有效值与

感抗的乘积；平均功率为零，但存在着电源与电感元件之间的能量交换，所

2

以瞬时功率不为零。为了衡量这种能量交换的规模，取瞬时功率的最大值，即电压和电流有效值的乘积，称为无功功率用大写字母Q表示，即 Q=UI=I2XL=U2/ XL (VAR)

3、电容元件交流电路

⑴ 电压电流关系

①瞬时关系： 如图（a）所示

i=Cdu

dt② 相量关系：在正弦交流电路中

 = U 令u=Umsin（ωt +u ）即 Umum则

i= Cdu=CdUmdtsin(tu)dt

=ωCUmcos（ωt+u）= ωCUmsin(ωt+u+90

º)=Imsin(ωt+u+90º)

Im=Im∠ψi=ωCUm∠900+u

可见，Im=ωCUm =Um/XC （XC=1/ωC称为电容的容抗）

=ψu-ψi= --900

u、i的波形图和相量图，如图（b）（c） 。

⑵功率

①瞬时功率

p =u i =UmImsinωt.sin(ωt+90º)=UmImsinωt.cosωt=UmImsin2ωt

2＝UIsin2ωt

②平均功率

P＝1T0Tpdt＝1UIT0Tsin2tdt＝0

（3）结论

在电容元件电路中，在相位上电流比电压超前900；电压的幅值（或

有效值）与电流的幅值（或有效值）的比值为容抗XC ；电容元件是储能元

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件，瞬时功率的最大值（即电压和电流有效值的乘积），称为无功功率，为了与电感元件的区别，电容的无功功率取负值，用大写字母Q表示，即

Q=－UI=－I2XC=－U2/ XC

注：1 XC、XL与R一样，有阻碍电流的作用。

2适用欧姆定律，等于电压、电流有效值之比。 3 XL与 f成正比，XC与 f成反比，R与f无关。

对直流电f=0，L可视为短路，XC=，可视为开路。 对交流电f愈高，XL愈大，XC愈小。

 例题讨论

 把一个100Ω的电阻元件接到频率为50Hz ，电压有效值为10V的正弦电源上，问电流是多少？如保持电压值不变，而电源频率改变为5000 Hz，这时电流将为多少？

解： 因为电阻与频率无关，所以电压有效值保持不变时，频率虽然改变但电流有效值不变。

即 I=U/R=（10/100）A=0.1=100mA

 若把上题中的，100Ω的电阻元件改为25μF的电容元件，这时电流又将如何变化？

【解】当f=50Hz时

XC＝

12fCUXC＝=

10127.4123.1450(25106＝127.4（Ω）

)I=

当f=5000Hz时

XC＝

=0.078（A）=78（mA）

123.145000(25106＝1.274（Ω）

)I=

101.274=7.8（A）

可见，在电压有效值一定时，频率越高，则通过电容元件的电流有效值越大。

2.2.2-2.2.3阻抗的概念与正弦交流电路的分析、功率 1.电路分析

(1) 电压与电流的关系 uR=RImsinωt=URmsinωt ①瞬时值计算：设i=Imsinωt

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则 u= uR+ uL+ uC= RImsinωt+XL Imsin(ωt + 90º)+XC Imsin(ωt－ 90º)

=Umsin(ωt+φ) 其幅值为Um，与电流的相位差为φ。 ② 相量计算：

如果用相量表示电压与电流的关系，则为

U=UR+UL+UC=RI+jXLI－jXCI=[R+j(XL－XC)]I 此即为基尔霍夫定律的相量形式。

令

Z=

UI=R+j(XL－XC) =|Z| / φ 由（b）图可见 UR、UL—UC、U组成一个三角形，称电压三角形，电压u与电流i之间的相位差可以从电压三角形中得出，

φ=arctanULUC= arctanXLXCURR

|Z|、R和(XL－XC)也可以组成一个直角三角形，称为阻抗三角形。

⑵ 功率 ① 瞬时功率：

p=ui=UmIm sin(ωt+φ) sinωt=UIcosφ－UIcos(2ωt+φ)

② 平均功率：

P=1TT=1T0pdtT0[UIcosUIcos(2t)]dt=UIcosφ

又称为有功功率，其中 cosφ称为功率因数。

③ 无功功率：

Q=ULI－UCI= I2(XL－XC)=UIsinφ

④ 视在功率：

S=UI称为视在功率 可见 SP2Q2 2.2.4电路中的谐振

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由上图的电压三角形可看出，当XL=XC时 即电源电压u与电路中的电

流i同相。这时电路中发生谐振现象。

1、串联谐振

谐振发生在串联电路中，称为串联谐振。

⑴ 发生串联谐振的条件，XL=XC或2πfL=并由此得出谐振频率

f=f0=

⑵ 串联谐振的特征 ① 电路的阻抗最小，ZR(XLXC)2212fC

12LC

＝R。

② 由于电源电压与电路中电流同相(φ＝0)，电路对电源呈现电阻性。

在相位上相反，互相抵与U③ 由于XL=XC，于是UL＝UC。而UCL＝U。 消，因此电源电压UR⑶ 应用：常用在收音机的调谐回路中。

2、并联谐振

谐振发生并联电路中，称为并联谐振。 ⑴ 并联谐振频率为 ff0⑵ 并联谐振的特征： ① 谐振时电路的阻抗为

Z01RCLLRC12LC

其值最大，即比非谐振情况下的阻抗要大。因此在电源电压U一定的情况下，电路的电流I将在谐振时达到最小值。

② 由于电源电压与电路中电流同相(φ=0)，因此，电路对电源呈现电

阻性。

③ 当R<<ω0L时，两并联支路的电流近似相等，且比总电流大许多

倍。

2.7功率因数的提高 1、意义

（1）电源设备的容量能充分利用 （2）减小输电线路的功率损耗 2、功率因数不高，根本原因

就是由于电感性负载的存在。 3、常用的方法

就是与电感性负载并联静电电容器（设置在用户或变所中）。

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⑴ 电路图和相量图

⑵ 并联电容器的作用：

并联电容器后，电感性负载的电流和功率因数均未发生变化，这时因

为所加的电压和电路参数没有改变。但电路的总电流变小了；总电压和电路总电流之间的相位差φ变小了，即cosφ变大了。

① 并联电容器后，减小了电源与负载之间的能量互换。

② 并联电容器后，线路电流也减小了（电流相量相加），因而减小了功率损耗。

③ 应该注意，并联电容器以后有功功率并未改变，因为电容器是不消耗电能的。  问题讨论

 有一电感性负载，共功率P=10KW，功率因数 cosφ1=0.6，接在电压U=220V的电源上，电源频率f=50Hz。（1）如果将功率因数提高到

cosφ=0.95，试求与负载并联的电容器的电容值和电容器并联前后的线路电流。（2）如要将功率因数从0.95再提高到1，试问并联电容器的电容值还需增加多少？

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