三角形的三条中线交于一点

法一：相似三角形法

已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。 求证：AE=CE

证明：如图，过点O作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N； 过点O作PQ∥AB，交BC于点P，交AC于点Q。 ∵MN∥BC

∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD ∴MO/BD=AO/AD，NO/CD=AO/AD ∴MO/BD=NO/CD

∵AD是△ABC的一条中线 ∴BD=CD ∴MO=NO

∵PQ∥AB

∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF ∴PO/BF=CO/CF，QO/AF=CO/CF ∴PO/BF=QO/AF

∵CF是△ABC的一条中线 ∴AF=BF ∴PO=QO

∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO ∴△MOP≌△NOQ(SAS) ∴∠MPO=∠NQO

∴MP∥AC（内错角相等，两条直线平行） ∴△BMR∽△BAE，△BPR∽△BCE ∴MR/AE=BR/BE，PR/CE=BR/BE ∴MR/AE=PR/CE

∵MN∥BC，PQ∥AB

∴四边形BMOP是平行四边形

∴MR=PR（平行四边形的对角线互相平分） ∴AE=CE

法二：面积法

已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。 求证：AE=CE

证明：如图，

∵点D是BC的中点，点F是AB的中点 ∴S△CAD = S△BAD，S△COD = S△BOD ∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD 即S△AOC（绿） = S△AOB（红）

∵S△ACF = S△BCF，S△AOF = S△BOF ∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF 即S△AOC（绿） = S△BOC（蓝） ∴S△AOB（红） = S△BOC（蓝）

∵S△AOE:S△AOB（红） = OE:OB，S△COE:S△BOC（蓝） = OE:OB ∴S△AOE:S△AOB（红） = S△COE:S△BOC（蓝） ∵S△AOB（红） = S△BOC（蓝） ∴S△AOE = S△COE ∴AE=CE 法三：中位线法

已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。 求证：AE=CE

证明：如图，延长OE到点G，使OG=OB。

∵OG=OB

∴点O是BG的中点 又∵点D是BC的中点

∴OD是△BGC的一条中位线

∴AD∥CG（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）

∵点O是BG的中点，点F是AB的中点 ∴OF是△BGA的一条中位线 ∴CF∥AG

∵AD∥CG，CF∥AG

∴四边形AOCG是平行四边形 ∴AC、OG互相平分 ∴AE=CE